探秘二次根式的化簡技巧

二次根式在初中數學中占有重要地位，其中二次根式的化簡更是重中之重.下面舉例介紹二次根式的化簡技巧.

例1 若[y=x-4+4-x2-2]，求x + y的值.

解：∵[x-4≥0，4-x≥0，]∴x = 4，

∴y = -2，∴x + y = 2.

點評：二次根式的核心是被開方數必須是非負數，而本題存在兩個根式，因此要雙向考慮，進而找到突破口.

例2 已知x lt; 1，則化簡[x-12-1]的結果是 .

解：原式 = [x-1] - 1 = 1 - x - 1 = -x.

故填-x.

點評：因為[a2=a]，故a的正負性決定了去絕對值符號后的結果.

例3 化簡[--2a3]的結果是（ ）.

A. [a2a] B. [-a2a] C. [a-2a]" D. [-a-2a]

解：∵ -2a3 ≥ 0，∴a ≤ 0，

∴[--2a3=--2a·a2=--2a·a].

∵a ≤ 0，∴[a=-a]，

∴[--2a3=a-2a].

故選C.

點評：本題屬于二次根號內外互相移動問題，應以“入則平方，出則開方”為原則，其中將[a2]轉化為[a]起著關鍵性的作用.因為本題是化簡問題，所以應采用降冪原則解決，選擇“出則開方”的技巧為妙.

例4 已知[x=12]（[7+5]），[y=12]（[7-5]），求[yx+xy]的值.

解：∵x = [12]（[7+5]），y = [12]（[7-5]），

∴x + y = [7]，xy = [12]，

∴原式 = [x2+y2xy=x+y2-2xyxy=72-2×1212=12].

點評：本題屬于二次根式與乘法公式的組合應用，解題關鍵是熟記（a ± b）[2=a2±2ab+b2]和（a + b）（a - b） [=a2-b2]，并能熟練進行變式轉換.

例5 閱讀下面的解題思路：

[15+3=1×5-35+35-3=5-352-32=5-35-3=5-32].

請回答下列問題：化簡[413-3].

解：[413-3] = [4×13+313-313+3]" = [4×13+3132-32] = [4×13+34] = [13+3.]

點評：本題屬于二次根式與分母有理化的組合，解題關鍵是將分母用平方差公式處理掉根號，進行分母有理化計算.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：10分鐘

1. 化簡二次根式[1x-x3]的正確結果是 .

2. 若[2024-m2+m-2025=m]，求[m-20242]的值.

3. 若[-4lt;xlt;3]，化簡[x+4-x-32+x2-10x+25] .

難度系數：★★★★★ 解題時間：20分鐘

4. 已知[30-x+9-x=7]，求[30-x-9-x]的值.

5. 已知[x=3-13+1]，[y=3+13-1]，求[1x+1y]的值.

（答案見第39頁）

（作者單位：大連匯文中學）