基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)“情境—模型”雙向建構(gòu)教學(xué)實(shí)踐

［摘 要］“情境—模型”雙向建構(gòu)包括從情境到模型的抽象過程和從模型到情境的應(yīng)用過程，有助于知識(shí)的遷移和思維的拓展。初中數(shù)學(xué)采用“情境—模型”雙向建構(gòu)的設(shè)計(jì)理念，旨在加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。這一設(shè)計(jì)理念符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和知識(shí)解決實(shí)際問題，且與深度學(xué)習(xí)理念相契合。文章以“用銳角三角函數(shù)解決問題”為例，具體闡述了基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)“情境—模型”雙向建構(gòu)教學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用。

［關(guān)鍵詞］“情境—模型”；雙向建構(gòu)；深度學(xué)習(xí)；銳角三角函數(shù)

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2025）05-0018-04

“情境—模型”雙向建構(gòu)作為研究初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的新視角，包含兩層意圖：一是從“情境”向“模型”建構(gòu)，即從情境中抽象出數(shù)學(xué)模型；二是由“模型”到“情境”運(yùn)用，即用數(shù)學(xué)模型去解釋一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)情境，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解?！扒榫场Ｐ汀彪p向建構(gòu)教學(xué)呈現(xiàn)出體驗(yàn)性和靈活性的特征，通過雙向建構(gòu)將新知識(shí)與學(xué)生的已有知識(shí)進(jìn)行有效整合，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和思維的拓展?！扒榫场Ｐ汀彪p向建構(gòu)教學(xué)不僅貼近學(xué)生生活，還能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而促進(jìn)他們數(shù)學(xué)建模能力的提升，且與深度學(xué)習(xí)理念相契合。本文以初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“用銳角三角函數(shù)解決問題”為例，闡述筆者對(duì)“情境—模型”雙向建構(gòu)教學(xué)的理解和實(shí)踐。

一、從“情境”到“模型”，抽象特征

要想對(duì)相同或相似的數(shù)學(xué)問題情境進(jìn)行抽象，揭示幾何圖形變換的內(nèi)在本質(zhì)特征，深刻理解數(shù)學(xué)模型思想，提煉數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)，關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到變化的圖形中蘊(yùn)含著不變的規(guī)律。

（一）實(shí)踐操作，提煉歸納

上述問題情境源于教材拓展中的實(shí)驗(yàn)探究，這些探究聯(lián)系生活實(shí)際，易于理解且便于操作。它們能夠引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系軸對(duì)稱和特殊三角函數(shù)知識(shí)，建立基本數(shù)學(xué)模型。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅調(diào)動(dòng)了學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究的積極性，還使他們感受到了數(shù)學(xué)的魅力，豐富了實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)，并為學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）展示結(jié)果，理解模型

教師引導(dǎo)學(xué)生從拼接、平移等變換中抽象出六種常見的數(shù)學(xué)模型（如圖7）。這六種數(shù)學(xué)模型有助于學(xué)生深刻理解解直角三角形問題的本質(zhì)。盡管這些模型在形式上存在差異，但它們?cè)诒举|(zhì)上是一致的，即都是通過構(gòu)造基本圖形，利用特殊角的三角函數(shù)來解決相關(guān)的角度和邊長問題。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際背景中理解含特殊角的直角三角形的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)。

（三）深入思考，挖掘本質(zhì)

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，嘗試通過點(diǎn)[B]作線段[AD]的垂線段[BE]，探索新的發(fā)現(xiàn)?？偨Y(jié)六個(gè)數(shù)學(xué)模型的求解過程，交流探討求解過程中遇到的困難。歸納鈍角[△ADB]模型的處理方法，強(qiáng)調(diào)模型的多樣性。設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生基于已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，親身經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程，并對(duì)模型進(jìn)行闡釋與應(yīng)用，從而促進(jìn)學(xué)生在思維能力、情感態(tài)度以及價(jià)值觀等多方面取得進(jìn)步與成長。

通過調(diào)整問題的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用其解題經(jīng)驗(yàn)來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以深化對(duì)問題的理解。圍繞模型的結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入探究，通過有效追問、提出假設(shè)和進(jìn)行拓展，解決數(shù)學(xué)建模問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，并提升其數(shù)學(xué)思維能力。

二、從“模型”到“情境”，領(lǐng)悟思想

一類數(shù)學(xué)問題的解決，實(shí)際上是從模型思想的角度出發(fā)，去探究數(shù)學(xué)問題的情境。該過程是一個(gè)對(duì)問題情境進(jìn)行信息提煉、分析、歸納、升華的深度學(xué)習(xí)過程。它對(duì)于學(xué)生理解并準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)模型具有積極作用，能夠使學(xué)生將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于問題情境中。同時(shí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，使他們深入理解同一數(shù)學(xué)模型能夠解決多種問題，以及把握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特征。

（一）遷移拓展，靈活應(yīng)用

高級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)這些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行討論，最后再將這些數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于問題解決中。此過程側(cè)重打破學(xué)生的固定思維模式，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。“情境—模型”雙向建構(gòu)方式拓寬了學(xué)生的建模思路，有效提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

（二）活學(xué)活用，舉一反三

從“模型”到“情境”的建構(gòu)過程，需要注重建構(gòu)的靈活性與推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生應(yīng)在理解數(shù)學(xué)模型特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行模型的辨認(rèn)和建構(gòu)。由于每個(gè)數(shù)學(xué)模型可能對(duì)應(yīng)多個(gè)實(shí)際問題情境，因此從“模型”到“情境”的建構(gòu)具有多樣性。為此，教師應(yīng)通過問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，幫助學(xué)生發(fā)掘數(shù)學(xué)問題背后的模型。這樣做不僅能激發(fā)學(xué)生的求知欲，還能讓學(xué)生在嘗試解決問題的過程中體驗(yàn)成功的樂趣，鍛煉高階思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本題為以圓為背景的動(dòng)態(tài)幾何問題，用半徑[r]表示線段[DE]的長度，并在[△CDE]中構(gòu)造垂線段[DH]。依據(jù)幾何模型，巧妙地將半徑[r]與線段[DC]長的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值模型進(jìn)行求解。這一過程化抽象為直觀，從動(dòng)態(tài)變化中探尋動(dòng)點(diǎn)[C]的位置與半徑[r]之間的內(nèi)在規(guī)律，有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性，以及提升學(xué)生的創(chuàng)新能力與實(shí)踐能力。

構(gòu)建模型解決問題時(shí)，學(xué)生將熟悉的實(shí)際問題與抽象的幾何語言建立聯(lián)系，遷移并應(yīng)用已有知識(shí)和方法，將新知識(shí)融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，同時(shí)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中內(nèi)化新知識(shí)，從而完成知識(shí)建構(gòu)。

綜上所述，從“模型”到“情境”的思辨學(xué)習(xí)探究符合新課程理念。因此，在初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生為主體，結(jié)合學(xué)情科學(xué)設(shè)計(jì)具有探究性和拓展性的建模問題，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

三、感悟雙向建構(gòu)，領(lǐng)悟思想方法

（一）利用新教材，通過建模培養(yǎng)學(xué)生能力

教師應(yīng)充分發(fā)揮新教材的優(yōu)勢(shì)，創(chuàng)造性地使用教材，并有效創(chuàng)設(shè)問題情境。現(xiàn)實(shí)生活中的優(yōu)化問題，如計(jì)劃決策、建材造價(jià)、最佳投資、追求最大回報(bào)、制定最小成本方案等，均可通過建立數(shù)學(xué)模型來求解。在解決這類問題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極探索，親歷數(shù)學(xué)建模的全過程，從而鍛煉他們的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造能力。通過建模教學(xué)，讓學(xué)生掌握雙向建構(gòu)的方法，不斷提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，為他們的有效學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）通過雙向建構(gòu)，體會(huì)模型思想

雙向建構(gòu)的過程為：表層感知—建構(gòu)模型—深刻理解—應(yīng)用模型—內(nèi)化認(rèn)知。這一過程既具有趣味性和操作性，又具有研究價(jià)值，充分展現(xiàn)了建模的一般思維過程。雙向建構(gòu)能促使學(xué)生深入體會(huì)建模思想，引發(fā)他們的深度思考，并激勵(lì)他們主動(dòng)參與。借此過程，學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察身邊的事物，真正理解并掌握了新知識(shí)，構(gòu)建了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升了應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

（三）雙向建構(gòu)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)

雙向建構(gòu)的意義在于，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)踐出發(fā)，總結(jié)提煉數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用這些數(shù)學(xué)模型去解決問題。數(shù)學(xué)模型作為橋梁，能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)由特殊到一般的認(rèn)知過程，這符合建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。在具體實(shí)施中，以數(shù)學(xué)核心問題為驅(qū)動(dòng)，學(xué)生主動(dòng)參與雙向建構(gòu)模型的全過程，深入理解事物的性質(zhì)、規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系。在此過程中，學(xué)生初步體驗(yàn)科學(xué)研究模式，感悟解題方法。

綜上，在“情境—模型”雙向建構(gòu)過程中，學(xué)生先將數(shù)學(xué)情境抽象為數(shù)學(xué)模型，再將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于實(shí)際問題情境中，從而強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和應(yīng)用。通過與問題情境的互動(dòng)，學(xué)生體驗(yàn)了問題轉(zhuǎn)化的方法，拓展了思維的深度和廣度，提高了思維品質(zhì)，增強(qiáng)了想象能力，培養(yǎng)了創(chuàng)造能力。“情境—模型”雙向建構(gòu)教學(xué)真正踐行了“學(xué)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”的新課程理念。

（責(zé)任編輯" " 黃春香）