離散時間冷貯備可修重試系統可靠性建模

摘要：研究了離散時間冷貯備可修重試系統，該系統考慮了失效部件的兩階段維修行為和Bernoulli休假機制。系統中所有失效部件都進行第一階段基本維修，經過基本維修之后的部件會以一定概率進行第二階段可選維修。修理工每完成一個階段的維修均會以一定的概率進行休假或繼續留在系統中。針對離散時間多個事件可能會同時發生的情形，定義了多個事件同時發生的先后次序。基于兩類優先級規則，提出了兩種不同的模型。利用差分方程迭代解法和母函數法等推導出了系統可用度、可靠度和首次失效前平均時間等關鍵可靠性指標。通過數值算例，演示了各個參數的變化對系統性能指標的影響，得到了成本效益比最小值所對應的兩類維修率的最優值，比較了兩種模型瞬態可靠性指標的數值結果。

關鍵詞：重試；冷貯備；兩階段維修；Bernoulli休假；可靠度；可用度

中圖分類號： O213.2 文獻標識碼： ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2025.02.010

0引言

冷貯備冗余作為提高系統可靠性的有效手段，在醫院急救系統、供電系統和飛行控制系統等對可靠性要求特別高的關鍵任務系統中已經得到了廣泛的應用。多數可靠性文獻都是在部件壽命或維修時間連續的假設下來研究可修系統的可靠性建模與評估問題，但有時系統的壽命或維修時間由離散時間段度量。關于離散時間系統可靠性模型的早期研究見文獻[1-2]。隨后，Ruiz-Castro等[3]基于離散位相分布分析了離散時間冷貯備可修系統的可靠性。余玅妙等[4]采用離散向量Markov過程方法研究了修理工具有單重休假機制和兩同型部件并聯的離散時間可修系統。Eryilmaz[5]基于幾何分布分析了離散時間冷貯備可修系統首次故障前時間分布的表達式。溫艷清等[6]利用聚合隨機過程理論研究了具有多重休假策略的離散時間冷貯備可修系統的可靠性。最近，張婷婷等[7]針對樣本數據不足的情形構建了離散時間隨機不確定多狀態系統可靠性模型。王康等[8]建立了基于離散時間貝葉斯網絡的列控中心動態概率安全評估模型并進行了可靠性分析。Kan等[9]利用概率生成函數法分析了離散時間冷貯備系統的壽命分布，計算并評估了系統的可靠度和危險率函數。Chadjiconstantinidis等[10]研究了離散時間δ-沖擊可靠性模型中隨機變量的分布特性。

兩階段服務或維修是一種常見的多階段維修策略，在一些生產制造系統、計算機、通信工程及服務行業等領域具有一定的應用背景和前景。關于兩階段服務的研究多數集中在排隊系統模型上。程慧慧等[11]采用補充變量法研究了具有兩階段服務和多重休假機制的MX/G/1重試排隊系統。Wu等[12]考慮了一個具有兩階段異構服務方案的M/M/（1+c）排隊系統及雙目標優化問題。Laxmi等[13]研究了具有二次可選服務和工作休假的不耐煩顧客排隊系統。Xu等[14]研究了具有延遲假期的兩階段異構服務重試排隊系統模型和相關優化設計。以往可修系統可靠性的研究大多集中于失效部件的單階段維修，但這并不能滿足所有實際情況。因此，Wang等[15]在具有Bernoulli休假機制的連續k/n：F可修重試系統中考慮了失效部件的兩階段維修，比較分析了有無重試或休假系統的成本效益比（cost-benefit ratio，CBR） 。Gao[16]在具有重試機制的溫貯備系統中也考慮了失效部件的兩階段維修，分析了系統的可靠性指標。

基于離散時間重試機制的研究早期主要集中在排隊系統的排隊性能指標上。鑒于重試機制在許多實際問題中有著廣泛的應用，如數據中心、云服務計算中心、網絡通信系統等相關領域，近些年，一些學者從系統可靠性的角度研究了可修系統中失效部件的重試機制。Gao等[17]利用Markov過程方法和Laplace變換方法對具有不可靠修理設備和重試機制的混合貯備可修系統進行可靠性分析。Wang等[18]采用Laplace-Stieltjes變換方法對四種具有不可靠服務器和重試機制的系統可靠性進行了研究，并對其CBR進行了比較分析。康佳等[19]研究了具有不可靠修理設備和兩種不同類型部件的溫貯備可修重試系統可靠性與成本模型。Yu等[20]研究了具有重試機制和Bernoulli沖擊的離散時間k/n：G可修系統可靠性。

在實際系統中，管理者通過對系統運行情況與經濟效益的綜合考量，往往會針對修理工（服務員）制定一定的休假策略。Wang等[21]對修理工具有多重休假機制的系統可靠性建模與評估問題進行了研究。左凱等[22]研究了修理工具有多重休假機制的k/n溫貯備系統，該系統的修理設備可更換。但在工程實際中，每維修完一個失效部件后，即使系統中還有失效部件存在，修理工也有可能因特殊原因以一定概率去休假，此類休假規則被稱為Bernoulli休假。因其相較于其他休假更具現實性和靈活性，該休假規則廣泛應用于電子通訊系統、閘門控制系統和計算機等實際領域，文獻[15，23]考慮了修理工的Bernoulli休假機制。

基于以上文獻綜述可以看出，可修重試系統模型可以用于許多實際系統。在工程實際中，一些可修系統運行、維修及檢查時間由離散時間段度量?；诓煌膶嶋H需求，失效部件可能會進行可選維修。因此，針對失效部件的可選維修行為和修理工的休假機制，建立與分析離散時間可修重試系統的可靠性模型具有重要的理論與實際價值。這促使研究人員將失效部件的兩種維修行為和Bernoulli休假機制引入到離散時間冷貯備可修重試系統中，并對該系統進行可靠性建模與評估。本文與文獻[3，6]都考慮了離散時間冷貯備可修系統。與文獻[3]相比，本研究從重試機制、維修行為和休假機制三個方向對離散時間冷貯備可修系統模型進行了拓展；與文獻[6]相比，本研究從部件個數、重試機制和維修行為三個方向對離散時間冷貯備可修系統模型進行了拓展。本文與文獻[15]都研究了失效部件的兩階段維修行為和修理工的休假機制，不同之處在于文獻[15]中所有隨機變量均服從連續時間分布，本文中所有隨機變量均服從離散時間分布。本文主要創新性工作如下：1）將失效部件的兩階段維修行為和修理工的Bernoulli休假機制引入到離散時間冷貯備可修重試系統可靠性模型，分析了系統性能指標隨關鍵參數的變化情況，對CBR優化問題進行分析與求解。2）針對多個事件可同時發生的情形，考慮了兩類不同的離散時間可靠性模型，比較了兩類模型的瞬態可靠性指標。3）利用遞推法得到了系統穩態概率及穩態可靠性指標的計算表達式。本文的結構組織如下：首先詳細地描述了系統模型；其次推導了系統可用度、可靠度和首次失效前平均時間（mean time to first failure， MTTFF） 等可靠性指標，構建了系統期望成本函數和CBR 函數；最后分析了系統參數對系統性能指標的影響。

1系統模型描述與分析

本文研究的冷貯備可修系統由1個運行部件、n-1個冷貯備部件和1個修理工組成。初始時刻所有部件都是新的，系統正常運行，修理工空閑。當運行部件失效時，冷貯備部件立即替換失效部件開始運行（切換時間忽略）。若修理工空閑，則立即修理該部件。否則，該部件進入重試空間，并在隨機時間后重復其維修請求（重試規則先進先出）。基于不同的實際需求，失效部件要么在基本修復（主體功能修復如新）完成后以概率運行或等待運行，要么以概率λ選擇可選維修（主體功能修復如新下的附加性維護）。修理工修復完失效部件后，可能會以概率μ進行休假，也可能以概率留在系統中，等待新失效的部件到達。當部件選擇可選維修和修理工開始休假同時發生時，前者優先于后者。所有與修理工和部件有關的隨機變量均相互獨立。模型具體假定如下。

1） 運行部件的壽命、失效部件的基本維修時間、可選維修時間、失效部件的重試時間以及修理工休假時間分別服從參數為p、δ、η、r和υ的幾何分布。

2） 時間軸被分割成一系列相等的時間間隔，所有事件只能發生在分割好的分點處。針對同一離散時刻點上多個事件可同時發生的情形，構建如下兩種類型事件發生次序的優先級模型。

模型A：①任一階段維修完成，部件失效，失效部件重試；②修理工休假開始或結束，部件失效，失效部件重試。

模型B：①部件失效，失效部件重試，任一階段維修完成；②部件失效，失效部件重試，修理工休假開始或結束。

為了更加直觀地理解同一離散時刻點上事件發生的先后次序，圖1和圖2展示了兩類優先級模型中事件在同一時刻點發生次序的主要區別。

4數值分析

本節以三個部件的模型A為例，令p=0.18，δ=0.8，r=0.4，η=0.8，μ=0.5，λ=0.6，υ=0.4為系統參數的基本值。通過數值例子對所構建的模型進行了驗證。

4.1可靠性指標分析

圖3～圖7展示了模型A的瞬時可用度在各個參數下隨時刻τ的變化情況。從圖形提供的數值結果可看到系統瞬時可用度曲線隨時間的增加先急劇下降，然后緩慢下降到平穩態勢，此平穩值為系統的穩態可用度。參數p顯著影響著A（τ），參數δ對A（τ）的影響略大于參數η，參數υ對A（τ）的影響略大于參數r。從圖8可以看出系統穩態可用度隨著參數p的增大而減小，隨著參數r的增大而增大，即運行部件的失效率越小，系統正常運行的時間就越長，失效部件的重試率越大，重試空間中失效部件的重試時間就越短，從而保證失效部件能夠得到及時修復。從圖9可以看出系統穩態可用度隨著參數δ和η的增大而增大，即失效部件的兩階段維修率的值越大，處于維修狀態的部件修復時間就越短，系統中正常的部件就會越多。

4.2CBR分析

令C1=20，C2=10，C3=30，C4=50，C5=60，C6=20，Cs=80為參數基本值。圖10的數值結果展示了CBR（δ，η）隨參數δ和η變化情況，發現隨著參數δ和η的增大，圖形的表面呈現先下降后上升的趨勢，且該圖形存在最低點。令D=200，αmax=200，q1=0.4，q2=0.3，wmax=0.8，wmin=0.6，vmax=0.6，vmin=-0.6為粒子群算法中參數基本值。計算可得最優值（δ*，η*）=（0.460 9，0.341 2），對應CBR的最小值為CBR（δ*，η*）=121.586 3。

4.3兩類模型的瞬態可靠性指標比較

表2提供了模型A和B瞬態可靠性指標的數值比較結果。通過觀察表2可知模型A的可靠性（可用度和可靠度）高于模型B，即在構建模型時規定多個事件同時發生的不同先后次序會對系統可靠性產生影響。原因是：1）當失效部件的任意階段維修完成優先于部件失效時，系統中正常的部件數就會增加；2）當修理工休假結束優先于部件失效時，系統中失效的部件數就會減少。1）和2）都會導致系統處于工作狀態的時間變長，Vs（τ）變小，V（τ）變大，系統的可靠性變高。

5結論

本文研究了具有兩階段維修和Bernoulli休假機制的離散時間冷貯備重試系統可靠性建模與優化問題。系統中所有與修理工和部件有關的隨機變量均服從幾何分布。基于離散時間Markov理論定義了系統狀態空間和狀態轉移概率矩陣，建立了系統狀態概率方程組。通過對系統狀態概率進行分析，得到了系統可用度、可靠度、條件失效概率和MTTFF等可靠性指標，以及修理工處于各個狀態的概率、重試空間中失效部件的期望數和系統的穩態期望繁忙周期等系統性能指標。通過分析各個參數對系統瞬時可用度的影響，發現適當降低部件失效率對提高系統可靠性起到關鍵性作用。采用粒子群優化算法得到了CBR最小值所對應的δ*和η*，即可以從具有不同維修能力和水平的修理工中進行科學選擇，達到維修資源的合理配置。

參考文獻

[1] XEKALAKI E. Hazard functions and life distributions in discrete time[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 1983， 12（21）： 2503-2509.

[2] BRACQUEMOND C， GAUDOIN O. A survey on discrete lifetime distributions[J]. International Journal of Reliability， Quality and Safety Engineering， 2003， 10（1）： 69-98.

[3] RUIZ-CASTRO J E， PEREZ-OCON R， FERNANDEZ-VILLODRE G. Modelling a reliability system governed by discrete phase-type distributions[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2008， 93（11）： 1650-1657.

[4] 余玅妙， 唐應輝， 陳勝蘭. 離散時間單重休假兩部件并聯可修系統的可靠性分析[J]. 系統科學與數學， 2009， 29（5）： 617-629.

YU M M， TANG Y H， CHEN S L. Reliability analysis of discrete time two-unit parallel repairable system with single vacation[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences， 2009， 29（5）： 617-629.

[5] ERYILMAZ S. Discrete time cold standby repairable system： combinatorial analysis[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 2016， 45（24）： 7399-7405.

[6] 溫艷清， 崔利榮， 劉寶亮， 等. 冷貯備離散時間狀態聚合可修系統的可靠性[J]. 系統工程與電子技術， 2018， 40（10）： 2382-2387.

WEN Y Q， CUI L R， LIU B L， et al. Reliability of a cold standby discrete time state aggregated repairable system[J]. System Engineering and Electrics， 2018， 40（10）： 2382-2387.

[7] 張婷婷， 胡林敏， 王桂榮. 離散時間隨機不確定多狀態系統可靠性分析[J]. 系統科學與數學， 2021， 41（7）： 2006-2017.

ZHANG T T， HU L M， WANG G R. Reliability analysis of a discrete time random uncertain multi-state system[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences， 2021， 41（7）： 2006-2017.

[8] 王康， 齊金平， 周亞輝， 等. 基于離散時間貝葉斯網絡的列控中心可靠性分析[J]. 中國機械工程， 2021， 32（4）： 390-398.

WANG K， QI J P， ZHOU Y H， et al. Reliability analysis of train control center based on discrete-time Bayesian network[J]. China Mechanical Engineering， 2021， 32（4）： 390-398.

[9] KAN C， ERYILMAZ S. Reliability assessment of a discrete time cold standby repairable system[J]. Top， 2021， 29： 613-628.

[10] CHADJICONSTANTINIDIS S， ERYILMAZ S. The Markov discrete time δ-shock reliability model and a waiting time problem[J]. Applied Stochastic Models in Business and Industry， 2022， 38（6）： 952-973.

[11] 程慧慧， 田中連. 具有多重休假和兩階段服務的MX/G/1重試排隊系統[J]. 科學技術與工程， 2020， 20（32）： 13091-13098.

CHENG H H， TIAN Z L. MX/G/1 retrial queue system with multiple vacations and two-phase service[J]. Science Technology and Engineering， 2020， 20（32）： 13091-13098.

[12] WU C H， YANG D Y. Bi-objective optimization of a queueing model with two-phase heterogeneous service[J]. Computers and Operations Research， 2021， 130： 105230.

[13] LAXMI P V， JYOTHSNA K. Cost and revenue analysis of an impatient customer queue with second optional service and working vacations[J]. Communications in Statistics-Simulation and Computation， 2022， 51（8）： 4799-4814.

[14] XU W， LI L， FAN W， et al. Optimal control of a two-phase heterogeneous service retrial queueing system with collisions and delayed vacations[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing， 2024， 70： 2879-2906.

[15] WANG Y， HU L M， ZHAO B， et al. Stochastic modeling and cost-benefit evaluation of consecutive k/n： F repairable retrial systems with two-phase repair and vacation[J]. Computers and Industrial Engineering， 2023， 175： 108851.

[16] GAO S. Availability and reliability analysis of a retrial system with warm standbys and second optional repair service[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 2023， 52（4）： 1039-1057.

[17] GAO S， WANG J T. Reliability and availability analysis of a retrial system with mixed standbys and an unreliable repair facility[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2021， 205： 107240.

[18] WANG K H， WU C H， YEN T C. Comparative cost-benefit analysis of four retrial systems with preventive maintenance and unreliable service station[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2022， 221： 108342.

[19] 康佳， 胡林敏， 王妍. 基于優先使用權的溫貯備可修重試系統可靠性與期望成本模型[J]. 控制與決策， 2024， 39（4）： 1351-1360.

KANG J， HU L M， WANG Y. Reliability and expected cost model of warm standby repairable retrial system with priority in use[J]. Control and Decision， 2024， 39（4）： 1351-1360.

[20] YU X Y， HU L M， MA M R. Reliability measures of discrete time k-out-of-n： G retrial systems based on Bernoulli shocks[J]. Reliability Engineering and System Safety， 2023， 239： 109491.

[21] WANG G R， HU L M， ZHANG T T， et al. Reliability modeling for a repairable （k1，k2）-out-of-n： G system with phase-type vacation time[J]. Applied Mathematical Modelling， 2021， 91： 311-321.

[22] 左凱， 吳文青， 張元元. 修理工多重休假且修理設備可更換的n中取k溫貯備系統研究[J]. 系統科學與數學， 2021， 41（6）： 1729-1741.

ZUO K， WU W Q， ZHANG Y Y. Analysis of a k-out-of-n warm standby system with repairman’s multiple vacations and replaceable repair facility[J]. Journal of" Systems Science and Mathematical Sciences， 2021， 41（6）： 1729-1741.

[23] LIU S J， HU L M， LIU Z C， et al. Reliability of a retrial system with mixed standby components and Bernoulli vacation[J]. Quality Technology and Quantitative Management， 2021， 18（2）： 248-265.

Reliability modeling of discrete-time cold standby repairable retrial systems

MA Mengrao， HU Linmin， YU Xiaoyun

（School of Science， Yanshan University， Qinhuangdao， Hebei 066004， China）

Abstract： A discrete-time cold standby repairable retrial system is studied， which takes into account the two-phase maintenance behavior of failed components and Bernoulli vacation mechanism.All the failed components in the system are carried out the first phase of basic maintenance， and the components after basic maintenance will be carried out the second phase of optional maintenance with a certain probability. Upon completion of a phase of maintenance， the repairman will take a vacation or stay in the system with a certain probability. For the situation where multiple events may occur simultaneously in the discrete time， the priority order of multiple events occurring simultaneously is defined. Two different models are proposed based on two types of priority rules. The key reliability indexes such as system availability， reliability and mean time to first failure are derived by means of iterative algorithm of difference equation and generative function method. A numerical example is given to demonstrate the influence of each parameter on the system performance indexes， and the optimal values of two repair rates corresponding to the minimum value of the cost-benefit ratio are obtained， and the numerical results of transient reliability indexes of the two models are compared.

Keywords： retrial; cold standby; two-phase maintenance; Bernoulli vacation; reliability; availability

收稿日期：2024-03-19責任編輯：王建青

基金項目：國家自然科學基金資助項目（72071175）；中央引導地方科技發展資金項目（246Z0305G）；河北省軟件工程重點實驗室項目（22567637H）；石家莊市駐冀高校基礎研究項目（241790737A）

作者簡介：馬夢饒（1997-），女，河北邯鄲人，碩士研究生，主要研究方向為系統可靠性理論及應用；*通信作者：胡林敏（1978-），男，內蒙古通遼人，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為系統可靠性理論及應用，Email：linminhu@ysu.edu.cn。