一種路徑吞噬拓撲優(yōu)化新方法

摘要：針對復雜工程結構優(yōu)化過程中數(shù)學模型建立和求解困難的問題，建立了一種載荷傳遞路徑理論與吞噬算法相結合的拓撲優(yōu)化方法。利用載荷傳遞路徑理論求解結構的主傳遞路徑和次傳遞路徑，并根據結構中應力相對高的區(qū)域多分配材料、應力相對低的區(qū)域少分配材料的原則，提出吞噬算法對材料進行最優(yōu)分配。以懸臂梁和薄板結構為例，將所提路徑吞噬方法與變密度法進行仿真和試驗對比，結果表明，所提方法提高了結構的剛度和強度，減小了結構質量，證明該方法對結構優(yōu)化是準確有效的。該方法無需建立和求解復雜的數(shù)學模型，且考慮了光滑邊界處理，優(yōu)化后的結構可直接用于制造，尤其適合工程應用。

關鍵詞：拓撲優(yōu)化；路徑吞噬方法；載荷傳遞路徑理論；吞噬算法；變密度法

中圖分類號：TJ03

A New Method for Path-engulfment Topology Optimization

LIN Jiahui LI Zhuangzhuang LI Xuelin LI Jun*

School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，210094

Abstract： To address the difficulty in establishing and solving mathematical models in optimization processes of complex engineering structures， a topology optimization method was established combining load transfer path theory and engulfment algorithm. Using load-transfer path theory to solve the major and minor transfer paths of the structures， an engulfment algorithm was proposed to optimally allocate materials according to the principle of allocating more materials to the regions with relatively high-stress and fewer materials to the regions with relatively low-stress in the structures. Taking cantilever beam and thin plate structure as examples， the path-engulfment method herein was compared to variable-density method with simulations and experiments. Results show that the method herein improves the stiffness and strength of the structures， and reduces the mass of the structures， which proves the accuracy and effectiveness of the method in structure optimization. The method does not need to establish or solve complex mathematical models， and takes into account smooth boundary processing， the optimized structure may be directly used for manufacturing， which is especially suitable for engineering applications.

Key words： topology optimization; path-engulfment method; load-transfer path theory; engulfment algorithm; variable-density method

0 引言

良好的結構可降低制造成本，延長產品使用壽命，因此結構件的高性能和輕量化一直是工程領域追求的優(yōu)化目標^［1］。長期以來，在結構優(yōu)化時，拓撲優(yōu)化方法因能夠在最初結構拓撲關系未知的情況下即可找到最佳材料分布^［2-5］，故而比尺寸優(yōu)化方法^［6］和形狀優(yōu)化方法^［7］更具優(yōu)勢。但目前常見的拓撲優(yōu)化方法通常需要建立和求解復雜的數(shù)學模型，計算耗時，難以滿足工程需要^［8-9］，因此，迫切需要建立一種適于工程領域的快速高效的拓撲結構優(yōu)化方法。

拓撲優(yōu)化的實質是通過尋找最佳載荷傳遞路徑實現(xiàn)給定區(qū)域內的最佳材料分布，并根據載荷傳遞路徑的形式確定結構的拓撲形式，進而得到滿足預期目標的拓撲結構，通過分析載荷傳遞路徑建立對結構的整體評估，指導結構優(yōu)化^［10］。

關于載荷傳遞路徑理論已有許多研究。文獻［11-15］推導了載荷傳遞路徑理論基礎，將其擴展到動態(tài)加載，提出了一種同時考慮平移和旋轉自由度的載荷傳遞路徑理論，同時，引入設計準則作為優(yōu)化目標函數(shù)定量數(shù)據分析的依據，用一種新的評價載荷傳遞路徑分散系數(shù)表示載荷點、邊界點與結構內任意點之間的耦合強度。文獻［16-17］研究了載荷傳遞路徑理論的智能求解問題，采用基于殘差架構的卷積神經網絡實現(xiàn)高效載荷傳遞路徑系數(shù)的估算，以深度學習模型生成載荷傳遞路徑理論的數(shù)學系數(shù)。文獻［18-19］采用載荷傳遞路徑理論優(yōu)化汽車的控制臂和掛鉤，優(yōu)化后結構的剛強度和質量明顯得到改善。上述這些研究中，雖然求解得到了載荷傳遞路徑，但因其無法直接用于優(yōu)化，大多通過建立和求解復雜的數(shù)學模型才實現(xiàn)優(yōu)化。如我們所知，數(shù)學模型的建模和求解耗時耗力，無法適應工程結構快速高效優(yōu)化的需求。可見，建立一種智能優(yōu)化算法來代替復雜的數(shù)學模型，并將其與載荷傳遞路徑相結合形成新的拓撲優(yōu)化方法，是解決工程優(yōu)化問題的關鍵。

本文推導了載荷傳遞路徑系數(shù)和載荷傳遞路徑分散系數(shù)，并使用ABAQUS-Python聯(lián)合求解結構的載荷傳遞路徑。給出了本文智能優(yōu)化算法（即吞噬算法）的基本原理，然后將載荷傳遞路徑理論和吞噬算法相結合，形成一種路徑吞噬拓撲優(yōu)化新方法。該方法從概念設計階段對結構展開拓撲優(yōu)化，避免了建立和求解復雜的數(shù)學模型。最后通過仿真和試驗證明了方法的有效性。

1 載荷傳遞路徑求解

在結構設計和優(yōu)化過程中，了解外部載荷在結構中的傳遞方式，對提高結構主要受力區(qū)的剛度和強度、減小次要受力區(qū)的質量十分必要^［20］。為了區(qū)分外部載荷在結構中的傳遞方式，將載荷傳遞路徑分為載荷主傳遞路徑和載荷次傳遞路徑。載荷主傳遞路徑是指結構的高剛度區(qū)域，是結構中傳遞載荷的主要區(qū)域；載荷次傳遞路徑表明結構材料的分布趨勢，是結構中傳遞載荷的次要區(qū)域。

1.1 載荷主傳遞路徑求解

含3個自由度的二維結構的載荷主傳遞路徑求解方法已有研究^［21-22］，本文主要介紹含6個自由度的三維結構的載荷主傳遞路徑求解方法。如圖1所示，將一個外部載荷FA和扭矩MA同時加載到一個線性彈性體上。

由載荷和扭矩引起的結構系統(tǒng)外部功和總應變能如下：

WF=12FAdA

WM=12MArA

U=WF+WM（1）

式中：WF、WM分別為由外部載荷和扭矩產生的系統(tǒng)外部功；dA、rA分別為在外部載荷和扭矩作用下A點的位移和旋轉。

載荷點A、邊界點B和任意點C之間的力位移扭矩旋轉關系遵循：

FAFBFCMAMBMC=KTAA…KTACKTCA…KTCCK^TRAA…K^TRACK^TRCA…K^TRCCK^RTAA…K^RTACK^RTCA…K^RTCCKRAA…KRACKRCA…KRCCdAdBdCrArBrC（2）

式中：Fi（i=A，B，C）、Mi（i=A，B，C）、di（i=A，B，C）和ri（i=A，B，C）分別代表相應點上的載荷、扭矩、位移和旋轉的三維向量；

KTij（i=A，B，C;j=A，B，C）、KRij（i=A，B，C;j=A，B，C）、K^TRij（i=A，B，C;j=A，B，C）、K^RTij（i=A，B，C;j=A，B，C）為六自由度下系統(tǒng)的內部剛度張量，分別描述載荷與位移、扭矩與旋轉、載荷與旋轉，以及扭矩與位移的關系^［14］。

在圖1a中，由于B點是邊界點，即dB=rB=0，則有

FA=KTAAdA+KTACdC+K^TRAArA+K^TRACrC（3）

MA=K^RTAAdA+K^RTACdC+KRAArA+KRACrC（4）

將式（3）和（4）代入式（1）得到

WF=12FAdA=12（KTAAdA+KTACdC+

K^TRAArA+K^TRACrC）dA（5）

WM=12MArA=12（K^RTAAdA+K^RTACdC+

KRAArA+KRACrC）rA（6）

根據文獻［17，22］可知，求解載荷傳遞路徑系數(shù)時，需要對系統(tǒng)賦予新的載荷和邊界條件。如圖1b所示，使任意點C也受全約束，在載荷點A處施加力F′A，以保證載荷點A的位移和旋轉仍是dA和rA。然后利用ABAQUS-Python聯(lián)合提取三維結構每個節(jié)點dA和rA。

對于圖1b所示系統(tǒng)，有dB=dC=rB=rC=0，即

W′F=12F′AdA=12（KTAAdA+K^TRAArA）dA（7）

W′M=12M′ArA=12（K^RTAAdA+KRAArA）rA（8）

求出結構修改前后的應變能后，根據式（1）～式（8），從應變能角度出發(fā)^［21-22］，定義三維結構的載荷傳遞路徑系數(shù)UM：

UM=U′－UU′=1－WF+WMW′F+W′M=

{1-（2WF+2WM）［（KTAdC）dA+（K^TRACrC）dA+

（K^RTACdC）rA+（KRACrC）rA］^－1｝^-1（9）

在式（9）中，dA、dC、rA和rC是常量，UM是KAC的函數(shù)，表征載荷點與結構中任意點之間的內部剛度大小。通過ABAQUS-Python聯(lián)合計算每個點的UM值，將相同載荷傳遞路徑系數(shù)的點連接起來形成不同的等值線，將等值線曲率最大點連接起來，即為三維結構的載荷主傳遞路徑。

1.2 載荷次傳遞路徑求解

根據載荷傳遞的可逆性，載荷可以從載荷點傳遞到邊界點，也可以從邊界點傳遞到載荷點。因此在求解載荷次傳遞路徑時，首先將A為載荷點、B為邊界點時求解的載荷傳遞路徑系數(shù)記為U1，U1表示任意點與載荷點之間的內部剛度；其次將A為邊界點、B為載荷點時求解的載荷傳遞路徑系數(shù)記為U2，U2表示任意點與邊界點之間的內部剛度，則載荷傳遞路徑分散系數(shù)Usum為

Usum=U1+U2（10）

Usum表示結構中任意點與載荷點和邊界點耦合的內部剛度，反映了給定結構中每個區(qū)域對載荷分布的貢獻，即Usum大的區(qū)域需要增添材料，Usum小的區(qū)域可以減少材料^［19］。這種材料分布趨勢下產生的路徑即為載荷次傳遞路徑。可見，載荷次傳遞路徑表征了材料分布的趨勢，是結構中傳遞載荷的次要區(qū)域。

為了更好地說明載荷主傳遞路徑和次傳遞路徑的求解過程，圖2給出了兩種載荷傳遞路徑的求解流程。

2 吞噬算法

工程結構在受到復雜外部載荷作用時，其應力分布往往不均勻，甚至會出現(xiàn)應力突變。應力分布不均勻意味著結構材料分布的不合理，即結構未能有效利用載荷傳遞路徑，因此該結構存在進一步優(yōu)化的潛力。為了得到應力均勻分布的最優(yōu)結構，本文首先將結構中各節(jié)點按照規(guī)定原則進行分類，形成不同應力大小的區(qū)域（該分類操作稱為聚集行為）；然后比較不同應力區(qū)域平均應力的大小，對應力相對大的區(qū)域增加材料，應力相對小的區(qū)域刪除材料（該增刪材料操作稱為吞噬行為），從而實現(xiàn)結構應力的均勻分布。將實施聚集行為和吞噬行為的上述過程稱為吞噬算法。

2.1 聚集原則

聚集行為以不同應力區(qū)域中應力最大的點（稱為父代貪婪節(jié)點）為基本點，將結構的其余節(jié)點（稱為子代貪婪節(jié)點）按照聚集原則進行分類，形成不同應力大小的區(qū)域。聚集行為遵循以下三個原則。

1）原則一。父代貪婪節(jié)點的應力一直是最大應力。這種情況下，將每次聚集的其余節(jié)點作為子代貪婪節(jié)點，聚集不超過父代貪婪節(jié)點應力50%的相鄰節(jié)點，直到最小節(jié)點應力不小于父代貪婪節(jié)點應力的50%。圖3展示了聚集原則一的實現(xiàn)過程。

如圖3所示，父代貪婪節(jié)點一直是最大應力節(jié)點，按照聚集原則一，第一次將相鄰的黃色節(jié)點聚集起來，第二次通過黃色節(jié)點將咖啡色節(jié)點聚集起來，不滿足要求的黑色節(jié)點則被排除在外，第三次通過咖啡色節(jié)點將藍色節(jié)點聚集起來，第四次用藍色節(jié)點進行聚集行為時，相鄰節(jié)點應力已小于父代貪婪節(jié)點應力的50%，黑色節(jié)點不滿足要求，不在此應力區(qū)域內。

2）原則二。父代貪婪節(jié)點應力不是最大應力，且最大應力不超過父代貪婪節(jié)點應力的50%。這種情況下，具有最大應力的節(jié)點是新的父代貪婪節(jié)點，原父代貪婪節(jié)點作為子代貪婪節(jié)點進行聚集行為，直到最小節(jié)點應力不小于父代貪婪節(jié)點應力的50%；若在聚集行為中，父代貪婪節(jié)點應力不是最大應力，但最大應力超過父代貪婪節(jié)點應力的50%，則不聚集該節(jié)點，然后比較第二大的應力與父代貪婪節(jié)點的應力大小；若超過父代貪婪節(jié)點應力大小的50%則不聚集，若不超過則成為新的父代貪婪節(jié)點，循環(huán)比較所有比父代貪婪節(jié)點應力大的節(jié)點，否則父代貪婪節(jié)點不變。圖4展示了聚集原則二的實現(xiàn)過程。

如圖4所示，在第一次聚集行為后，A點應力大于原父代貪婪節(jié)點B的應力，A節(jié)點成為新的父代貪婪節(jié)點，B節(jié)點變成子代貪婪節(jié)點。此后以新的父代貪婪節(jié)點A進行聚集，將咖啡色和藍色節(jié)點聚集，黑色節(jié)點不滿足要求，不在此區(qū)域內。

3）原則三。現(xiàn)有父代貪婪節(jié)點不能夠聚集所有節(jié)點。此時將產生新的父代貪婪節(jié)點，遵循原則一和原則二繼續(xù)聚集行為。

2.2 吞噬原則

經過聚集行為后，結構的節(jié)點按照其應力大小被聚集在不同區(qū)域。然后比較不同應力區(qū)域平均應力的大小，按照如下原則進行吞噬行為。

1）原則一。分為兩種情況：①如圖5a所示，當大應力區(qū)域的平均應力是小應力區(qū)域平均應力的2倍以上時，規(guī)定大應力區(qū)域（紅色區(qū)域）吞噬小應力區(qū)域（藍色區(qū)域），小應力區(qū)域等比例減少材料，大應力區(qū)域按照外形輪廓擴大，擴大面積（或體積）為小應力區(qū)域縮小的面積（或體積），且擴大的范圍不會擴散到小應力區(qū)域內，也不會擴散到結構優(yōu)化邊界外；②如圖5b所示，當大應力區(qū)域的平均應力是小應力區(qū)域平均應力的2倍以下時，保持各應力區(qū)域范圍不變。

3）原則三。如圖7所示，以邊界區(qū)域為例，當大應力區(qū)域吞噬小應力區(qū)域時，大應力區(qū)域按照外形輪廓擴大，由于存在邊界限制，導致大應力區(qū)域的擴大會完全覆蓋小應力區(qū)域，規(guī)定此時小應力區(qū)域仍被吞噬，但是擴大的面積（或體積）由其他大應力區(qū)域繼承，大應力區(qū)域是在所有區(qū)域內按照應力由大到小的順序依次選定。

每次吞噬行為結束后，再次形成不同應力大小的區(qū)域。為確定優(yōu)化收斂條件，定義靈敏度函數(shù)如下：

F（x）=∑ni=1（∑kj=1|xi－xj|xidij）（11）

式中：n為最終應力區(qū)域數(shù)量；k為每個應力區(qū)域的相鄰應力區(qū)域數(shù)量；xi為當前應力區(qū)域的平均應力；xj為當前應力區(qū)域相鄰區(qū)域的平均應力；dij為當前應力區(qū)域的中心與相鄰應力區(qū)域中心之間的距離。

當靈敏度函數(shù)值最小時，表示整體結構應力均勻，滿足目標要求。其中靈敏度函數(shù)值最小是指本次循環(huán)結束后，再進行3次循環(huán)，若這三次循環(huán)的靈敏度函數(shù)值都比本次循環(huán)的靈敏度函數(shù)值大且不超過本次靈敏度函數(shù)值的10%，則認為靈敏度函數(shù)達到最小并終止循環(huán)。通過不斷在應力大的區(qū)域增加材料，在應力小的區(qū)域減少或刪除材料，當滿足目標要求時終止迭代，得到最終優(yōu)化結構。

2.3 邊界光滑處理

由于吞噬算法計算過程中出現(xiàn)了不規(guī)則形狀的區(qū)域，為了得到可直接用于加工制造的優(yōu)化結構，采用以下方法對不規(guī)則形狀邊界進行光滑處理。

1）通過Python編程找到結構的邊界節(jié)點。具體方法為找到每個節(jié)點所在單元，求出每個節(jié)點與相鄰節(jié)點的夾角αi（i=1，2，…，n），n為相鄰單元數(shù)量。當αi滿足∑αi=360°時，認為節(jié)點為內部節(jié)點，否則為邊界節(jié)點，如圖8所示。對于a點，由于α1+α2+α3+α4lt;360°，因此a點為外部節(jié)點。對于b點，由于α1+α2+α3+α4+α5+α6=360°，因此b點為內部節(jié)點。

2）擬合產生新邊界。首先將邊界節(jié)點按照結構位置進行分類，然后對每段邊界節(jié)點進行最小二乘法擬合，產生新的邊界。依據新邊界對結構進行增加或刪除材料的操作，如圖9所示。圖9a表示確定區(qū)域的邊界節(jié)點；圖9b表示對邊界節(jié)點進行最小二乘法擬合，產生新的邊界，在新邊界的兩條邊界線內需要增加材料，邊界線外則需要刪除材料，形成圖9c所示結構。其余邊界按照相同方法處理。

由上述過程可以看出，本文算法避免了數(shù)學建模和求解時常出現(xiàn)的實體和空洞交替出現(xiàn)的棋盤格現(xiàn)象以及實體與空洞交界處模糊不清的灰度單元問題，得到的優(yōu)化結構可直接用于加工制造，節(jié)約了建立和求解數(shù)學模型以及后續(xù)邊界處理的時間。吞噬算法的流程見圖10。

3 路徑吞噬方法

路徑吞噬方法是將載荷傳遞路徑理論和吞噬算法結合形成的一種新的結構優(yōu)化方法。該方法首先求解結構的載荷傳遞路徑，然后沿載荷傳遞路徑進行材料最優(yōu)分配，以滿足結構高剛度、高強度和低質量的優(yōu)化目標。該方法從概念設計階段即對不同邊界條件和載荷條件的結構展開優(yōu)化，無需建立和求解復雜的數(shù)學模型。路徑吞噬方法的優(yōu)化過程如下。

1）將原始結構進行包絡模型處理，然后根據邊界條件和載荷條件將結構分成載荷區(qū)、邊界區(qū)和任意區(qū)，按照載荷傳遞路徑理論求解方法分別計算求解結構的載荷主傳遞路徑和載荷次傳遞路徑，找到結構載荷傳遞的關鍵區(qū)域。

2）根據結構的載荷主傳遞路徑、載荷次傳遞路徑和約束條件，計算載荷傳遞路徑總長度，利用面積或體積約束，按照一定截面尺寸沿載荷傳遞路徑均勻分布材料，得到用于吞噬算法的初始優(yōu)化結構。

3）對初始優(yōu)化結構施加相同的載荷條件和邊界條件，遵循聚集原則和吞噬原則，并進行光滑邊界處理，不斷迭代求解，當滿足最小靈敏度函數(shù)值時得到最終優(yōu)化的結構。

3.1 帶通孔約束的懸臂梁結構優(yōu)化

以工程中常見的通孔制造工藝約束為例，介紹本文方法的結構優(yōu)化過程。材料屬性見表1，采用2 mm×2 mm×2 mm的C3D8R網格計算求解。在圖11所示的90 mm×30 mm×30 mm懸臂梁結構中，沿X方向的中間位置有一個直徑10 mm、壁厚2 mm的通孔，其左側端面作為邊界完全固定，在右端面沿Y方向中間切出10 mm×30 mm的區(qū)域，在中心耦合點上施加沿Y軸負向的3000 N的集中載荷。

3.1.1 通孔懸臂梁變密度法仿真優(yōu)化

使用ABAQUS對結構進行變密度法優(yōu)化，優(yōu)化目標是使結構具有最小應變能，優(yōu)化約束是體積不超過初始體積的30%，優(yōu)化結果如圖12所示，優(yōu)化結構的應力和位移見表2。

3.1.2 通孔懸臂梁路徑吞噬方法仿真優(yōu)化

對通孔懸臂梁結構進行路徑吞噬方法優(yōu)化，其載荷傳遞路徑和初始結構優(yōu)化過程如圖13所示，其中圖13a是通過載荷傳遞路徑系數(shù)求解得到的載荷主傳遞路徑，圖13b是通過載荷傳遞路徑分散系數(shù)求解的載荷次傳遞路徑，圖13c為結構的載荷傳遞路徑，圖13d為根據載荷傳遞路徑得到的用于吞噬算法的初始結構。

通孔懸臂梁吞噬算法優(yōu)化過程如圖14所示，圖14a～圖14e分別為第1、3、7、9和11次優(yōu)化結果應力，圖14f為第11次優(yōu)化結果的位移，具體數(shù)據見表2，圖15是靈敏度函數(shù)值變化曲線。由圖14可見，每次迭代后材料向大應力區(qū)域聚集，進行重新分布，合理分配材料，最終達到應力均勻分布。整個吞噬過程共進行14次迭代，其中第12～14次迭代的靈敏度函數(shù)值均比第11次大，且不超過其10%，滿足收斂要求，由表2可以看出，在相同載荷和邊界條件下，路徑吞噬方法優(yōu)化結構的質量比變密度法減小8.1%，最大應力減小17.8%，最大位移減小19.1%。將兩種優(yōu)化結果的節(jié)點應力提取出來，按照大小均分成9組，如圖16所示，變密度方法中50%以上為低應力網格節(jié)點，說明材料利用率低，無效質量占比大。路徑吞噬方法的優(yōu)化結構不僅提高了結構的剛度和強度，還減小了結構質量。

3.2 對稱載荷區(qū)域的懸臂梁結構優(yōu)化

初始結構如圖17所示，90 mm×30 mm×30 mm的懸臂梁結構，左端邊界完全固定，在右端面沿Y方向中間切出3個10 mm×10 mm的區(qū)域，取兩側的10 mm×10 mm的區(qū)域，然后在端面中點耦合兩側區(qū)域，并在中心施加沿Y軸負向的3000 N的集中載荷。材料屬性見表1，采用2 mm×2 mm×2 mm的C3D8R網格計算求解。

3.2.1 受對稱載荷懸臂梁變密度法仿真優(yōu)化

使用ABAQUS對結構進行變密度法優(yōu)化，優(yōu)化目標是使結構具有最小應變能，優(yōu)化約束是體積不超過初始體積的30%，優(yōu)化結果如圖18所示，優(yōu)化結構的應力和位移見表3。

3.2.2 受對稱載荷懸臂梁路徑吞噬方法仿真優(yōu)化

對于受對稱載荷懸臂梁結構，采用與3.1.2節(jié)相同的優(yōu)化流程進行路徑吞噬方法優(yōu)化，優(yōu)化結果見圖19，具體數(shù)據見表3，圖20是靈敏度函數(shù)值變化曲線。

由表3可以看出，在相同載荷和邊界條件下，路徑吞噬方法優(yōu)化結構的質量比變密度法減小10.2%，最大應力減小19.2%，最大位移減小12.5%。路徑吞噬方法的優(yōu)化結構實現(xiàn)了對結構輕量化的同時也具有更高的剛度和強度。

3.3 等厚度薄板拉伸試驗

初始結構為圖21所示的180 mm×60 mm×6 mm薄板結構。在薄板兩端沿X方向各切出30 mm邊界，其中左端面完全固定，右端面中心耦合點上施加沿X軸正向的20 kN的集中載荷。材料屬性見表1，采用2 mm×2 mm×2 mm的C3D8R網格計算求解。

3.3.1 變密度法拉伸試驗準備

使用ABAQUS對結構進行變密度法優(yōu)化，優(yōu)化目標是結構具有最小應變能，優(yōu)化約束是體積不超過初始體積的30%，優(yōu)化結果如圖22所示。

為便于試驗，將圖22結構進行光滑邊界處理，形成可加工的結構，在相同邊界和載荷條件下，再用ABAQUS進行仿真計算，結果如圖23所示，結構應力和位移見表4。

3.3.2 路徑吞噬方法拉伸試驗準備

對薄板結構進行路徑吞噬方法優(yōu)化，載荷傳遞路徑和初始結構如圖24所示，其中圖24a是通過載荷傳遞路徑系數(shù)求解得到的載荷主傳遞路徑，圖24b是通過載荷傳遞路徑分散系數(shù)求解的載荷次傳遞路徑，圖24c為結構的載荷傳遞路徑，圖24d為根據載荷傳遞路徑得到的用于吞噬算法的初始結構。

路徑吞噬方法的優(yōu)化結果見圖25和表4。圖26是靈敏度函數(shù)值的變化曲線，整個吞噬過程共進行28次迭代，其中第26～28次迭代結果的靈敏度函數(shù)值均比第25次大，且不超過其10%，滿足收斂要求，因此第25次迭代結果為最終優(yōu)化結構。

從表4中可以看出，在相同載荷和邊界條件下，路徑吞噬方法優(yōu)化后結構的質量比變密度法減小2.9%，最大應力減小10.7%，最大位移減小1.1%。為了驗證仿真結果的可靠性，對兩種方法進行試驗比較。

3.3.3 試驗結果與比較

采用線電機切割和機加工相結合的方法制出兩個優(yōu)化結構的模型，如圖27所示。材料采用45鋼，加工后的試件尺寸與仿真模型一致。使用CSS-44200電子萬能試驗機對兩種試件進行材料拉伸試驗，上夾具固定，下夾具拉伸速率為0.05 mm/s^［23-24］，分別采集兩個試件承受的最大拉力。

45鋼的拉伸強度是600MPa，使用ABAQUS模擬兩個試件的材料拉伸過程。采用2 mm×2 mm×2 mm的C3D8R網格，左端30 mm完全固定，右邊30 mm耦合點處施加0.05 mm/s的邊界條件。試驗結果如圖28所示，在兩個試件達到最大拉伸強度時，最大應力的位置分別在A處和B處，與仿真結果吻合。

將數(shù)據收集器采集的試驗過程拉力繪制成曲線，如圖29所示，路徑吞噬方法優(yōu)化結構的抗拉性能明顯優(yōu)于變密度方法，抗拉強度提高約7%。

4 結論

本文提出了一種新的智能優(yōu)化算法——吞噬算法，并將其與載荷傳遞路徑理論相結合，形成了一種無需建立和求解復雜數(shù)學模型的路徑吞噬優(yōu)化方法。該方法不僅能確定結構的載荷傳遞路徑，還能確保材料沿載荷傳遞路徑的最優(yōu)分布，最大程度地滿足了結構性能的設計要求，實現(xiàn)了結構的高強度、高剛度和輕質量設計。本文方法與變密度法的仿真和試驗比較表明：

1）吞噬算法避免了變密度法中的棋盤格和灰度單元難題，鋸齒邊界容易處理，優(yōu)化后的結構可直接用于加工制造。

2）本文方法通過尋找不同邊界條件和載荷條件下結構的關鍵區(qū)域，實現(xiàn)了材料的均勻分布，確保了材料的有效利用，進而最大限度地提高了結構的剛度和強度，減小了結構質量。

3）本文方法無需建立和求解復雜的數(shù)學模型，可用于指導工程應用的優(yōu)化。與變密度法相比，路徑吞噬方法優(yōu)化后結構的質量減小了2.9%，最大應力減小了10.7%，最大位移減小1.1%，而抗拉強度則提高7%。

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（編輯 王旻玥）

作者簡介：

林家輝，男，1995年生，博士研究生。主要研究方向為智能算法、結構設計與優(yōu)化。

李 軍*（通信作者），男，1965年生，教授、博士研究生導師。E-mail：leejun_orcid@163.com。

本文引用格式：

林家輝，李壯壯，李學霖，等.一種路徑吞噬拓撲優(yōu)化新方法［J］. 中國機械工程，2025，36（3）：504-514.

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