低頻大位移多工作模式壓電直線驅(qū)動(dòng)器非線性遲滯控制及實(shí)驗(yàn)研究

摘要：提出具有低頻、大位移和高負(fù)載特性的壓電直線驅(qū)動(dòng)器，實(shí)現(xiàn)三種行程工作模式，能夠滿足不同工況的需要。分析了壓電驅(qū)動(dòng)器的工作原理和不同負(fù)載下的位移放大倍數(shù)。針對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器存在的遲滯非線性現(xiàn)象，建立了一種改進(jìn)的遲滯非線性模型，該模型以PI為基礎(chǔ)，通過遺傳算法優(yōu)化的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GA-BP）進(jìn)行改進(jìn)。建立了GA-BP前饋模糊自整定PID復(fù)合控制系統(tǒng)，開展了壓電直線驅(qū)動(dòng)器的遲滯非線性補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明：兩壓電疊堆同時(shí)工作時(shí)壓電驅(qū)動(dòng)器的最大輸出位移為558.3 μm，正弦信號(hào)下軌跡跟蹤的最大相對(duì)誤差為0.0573 μm。實(shí)施改進(jìn)的控制策略有效提高了系統(tǒng)的性能，使得軌跡跟蹤控制精度可達(dá)97%，延遲時(shí)間縮短至2 ms以內(nèi)，并能在60 ms內(nèi)實(shí)現(xiàn)控制反應(yīng)。該策略不僅提高了系統(tǒng)響應(yīng)的速度，還將穩(wěn)態(tài)誤差減小到0.09%以下，驗(yàn)證了壓電驅(qū)動(dòng)器的快速響應(yīng)與低穩(wěn)態(tài)誤差的性能。

關(guān)鍵詞：壓電驅(qū)動(dòng)器；大位移；遲滯；非線性模型；控制系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：TH139

Nonlinear Hysteresis Control and Experimental Study of Low-frequency Large Displacement Multi-mode Piezoelectric Linear Actuators

LI Chong* BAI Xin TONG Yujian FANG Jiwen

School of Mechanical Engineering，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang，Jiangsu，212100

Abstract： A piezoelectric linear actuator featuring low frequency， large displacement， and high-load characteristics was proposed， capable of operating in three modes to accommodate a variety of operational conditions. The working principle of the actuators and the displacement amplification under different loads were analyzed. For the hysteresis nonlinear phenomenon of the piezoelectric actuators， an improved hysteresis nonlinearity model was developed， which was based on PI and enhanced through a genetic algorithm optimized backpropagation neural network（GA-BP）. A GA-BP feedforward fuzzy self-tuning PID compound control system was established， and the hysteresis nonlinear compensation experiments of the actuators were carried out. Results show that the maximum output displacement of the actuators is as 558.3 μm when two piezoelectric stacks are working simultaneously， and the maximum relative error of trajectory tracking is as 0.0573 μm under sinusoidal signals. The implementation of the improved control strategy effectively enhances the performance of the systems， resulting in a trajectory tracking control accuracy of up to 97%， a reduction of the delay time to less than 2 ms， and the ability to realize the control response within 60 ms. This strategy accelerates the system’s response speed， and reduces the steady-state errors to less than 0.09%， demonstrating the capability for rapid responses and minimal steady-state errors.

Key words： piezoelectric actuator; large displacement; hysteresis; nonlinear model; control system

0 引言

遲滯現(xiàn)象在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中廣泛出現(xiàn)，包括物理學(xué)、工程學(xué)、控制系統(tǒng)等多個(gè)領(lǐng)域［1-3］，彰顯了其在科研和技術(shù)應(yīng)用中的普遍影響。為了提高精密測(cè)量的準(zhǔn)確性并降低誤差，遲滯問題的控制顯得尤為關(guān)鍵。在高精度測(cè)量要求的環(huán)境下，實(shí)現(xiàn)對(duì)遲滯現(xiàn)象的有效管理，對(duì)確保測(cè)量結(jié)果的精確性和可靠性具有決定性作用。

遲滯問題在多領(lǐng)域中的顯著影響促使大量科研人員對(duì)其展開研究。SABARIANAND等［4］分析了為解決滯后和蠕變等主要問題的途徑，并得出廣義控制解并不適用于所有類型的壓電作動(dòng)器。NGUYEN等［5］針對(duì)具有遲滯特性的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器，提出了一種新的遞推建模與控制方法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性和位置（位移）跟蹤控制效果。JUHSZ等［6］提出了一種新的嵌入式壓電疊堆致動(dòng)器參數(shù)的識(shí)別方法，并給出了一種實(shí)時(shí)的遲滯補(bǔ)償措施。GHAFARIRAD等［7］提出了一種基于復(fù)合干擾抵消器的魯棒控制方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法實(shí)現(xiàn)了精確的微定位存在的估計(jì)干擾。壓電陶瓷執(zhí)行器由于其固有的非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象、蠕變非線性和振蕩特性，通常表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性行為。KHADRAOUI等［8］研究了微機(jī)器人系統(tǒng)壓電驅(qū)動(dòng)器的建模與控制方法，并對(duì)所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證討論。AGUIRRE等［9］提出了一種新的補(bǔ)償策略，制定一種新的簡(jiǎn)化模型來處理非對(duì)稱滯后的補(bǔ)償策略，實(shí)驗(yàn)證明了新的補(bǔ)償方法能提高精度。SALAH等［10］提出了一種具有滯后動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)腜EAs魯棒輸出反饋控制器，該控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。

國內(nèi)學(xué)者在遲滯問題方面也進(jìn)行了一系列的研究。張連生等［11］提出了一種新的電荷泵驅(qū)動(dòng)，用于減少殘余遲滯現(xiàn)象，通過推導(dǎo)出校正參數(shù)，優(yōu)化了傳統(tǒng)電荷泵驅(qū)動(dòng)的遲滯非線性問題，遲滯率顯著降低至0.47%以下，相較于傳統(tǒng)方法，提出的方法使遲滯減小了約83%，這種改進(jìn)技術(shù)在高精度測(cè)量等應(yīng)用領(lǐng)域展現(xiàn)出了潛在的價(jià)值。WANG等［12］搭建了一種利用Lissajous圖形來描述和補(bǔ)償動(dòng)態(tài)遲滯的精確模型，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示基于此模型的補(bǔ)償器能夠有效減少壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)遲滯現(xiàn)象。GU等［13］提出了一種新的類橢圓數(shù)學(xué)模型來描述壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器中的遲滯現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在低頻和高頻下，遲滯效應(yīng)都有明顯的減小。楊浩等［14］針對(duì)傳統(tǒng)壓電陶瓷的低韌性問題開發(fā)了基于高效率壓電宏纖維的MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)，充分利用了其優(yōu)越的變形能力，提出了一個(gè)雙極性偏置PI遲滯模型來詳細(xì)描述MFC動(dòng)態(tài)偏置時(shí)的遲滯非線性現(xiàn)象，并對(duì)其實(shí)施了前饋補(bǔ)償控制。這一新模型有效地描繪了在不同頻率條件下MFC致動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)遲滯行為，并通過前饋補(bǔ)償實(shí)現(xiàn)了柔性梁構(gòu)件的振動(dòng)位移與目標(biāo)跟蹤位移之間的高度一致性，達(dá)到了4.62%的線性度誤差。王琴琴等［15］針對(duì)壓電疊堆作動(dòng)器的遲滯特性，開發(fā)了一種新的建模方法，這種方法基于非對(duì)稱的單邊反沖算子的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來模擬遲滯現(xiàn)象。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在處理高頻、低頻及混合頻率下的動(dòng)態(tài)行為時(shí)，相較于傳統(tǒng)的PI模型，平均誤差減小了70.90%至89.98%，相對(duì)誤差也減小了70.69%至89.84%，該結(jié)果證實(shí)了提出的模型在精度和頻率適應(yīng)性方面的顯著優(yōu)勢(shì)。

雖然在解決遲滯問題上已經(jīng)取得了眾多的科研成果，然而大多數(shù)已有成果存在響應(yīng)速度慢且穩(wěn)態(tài)誤差大等缺點(diǎn)。本文針對(duì)低頻大位移壓電直線驅(qū)動(dòng)器的非線性遲滯問題，提出了一種改進(jìn)的遲滯非線性模型。

1 壓電驅(qū)動(dòng)器工作原理

本文提出一種低頻大位移多工作模式壓電直線驅(qū)動(dòng)器，如圖1所示。該壓電直線驅(qū)動(dòng)器綜合了位移放大機(jī)構(gòu)、位移輸出機(jī)構(gòu)以及輔助裝配機(jī)構(gòu)，從而達(dá)到了高精度位移控制與靈敏的負(fù)載適應(yīng)性。采用的橋式結(jié)構(gòu)與雙級(jí)杠桿耦合系統(tǒng)不僅提高了設(shè)備的機(jī)械穩(wěn)定性，也增加了位移操作的準(zhǔn)確性與可重復(fù)性。利用非對(duì)稱放大結(jié)構(gòu)改善了垂直位移效率，保障了設(shè)備在多樣化的工作環(huán)境中的性能表現(xiàn)。位移放大機(jī)構(gòu)利用橋式和雙級(jí)杠桿系統(tǒng)的整合作用，顯著擴(kuò)展了壓電位移的輸出范圍，實(shí)現(xiàn)了廣泛的位移調(diào)整。位移輸出機(jī)構(gòu)結(jié)合導(dǎo)軌與移動(dòng)輸出平臺(tái)及非對(duì)稱放大結(jié)構(gòu)精確控制負(fù)載位移，提高了設(shè)備的適應(yīng)性和靈活性。輔助裝配機(jī)構(gòu)包括底座、外殼、端蓋和預(yù)緊螺釘，為驅(qū)動(dòng)器提供了堅(jiān)固的支持和保護(hù)，確保了在各種負(fù)載下的操作可靠性和系統(tǒng)穩(wěn)定性，使得該驅(qū)動(dòng)器能夠滿足多樣化的應(yīng)用需求。

壓電驅(qū)動(dòng)器的位移放大原理見圖2，基于施加的驅(qū)動(dòng)電壓，壓電驅(qū)動(dòng)器可實(shí)現(xiàn)三個(gè)工作模式。當(dāng)僅對(duì)右側(cè)的壓電疊堆1施加電壓時(shí)，它會(huì)發(fā)生伸長(zhǎng)變形并產(chǎn)生放大位移Δda，該位移與右側(cè)杠桿的放大位移Δha通過頂部的杠桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行耦合（圖2a）。相反，當(dāng)僅對(duì)左側(cè)的壓電疊堆2施加電壓，該疊堆也會(huì)伸展，經(jīng)左側(cè)的橋式結(jié)構(gòu)和杠桿系統(tǒng)Δdb放大其位移，這一位移隨后被頂部的杠桿結(jié)構(gòu)進(jìn)一步增大（圖2b）。當(dāng)電壓同時(shí)施加于兩個(gè)壓電疊堆時(shí)，兩者均會(huì)伸長(zhǎng)，左側(cè)橋式結(jié)構(gòu)和杠桿機(jī)構(gòu)放大的位移Δdb與右側(cè)杠桿的放大位移Δha通過頂部杠桿機(jī)構(gòu)耦合并放大（圖2c）。

利用有限元計(jì)算不同負(fù)載下各工作模式的輸出位移，如圖3所示。同時(shí)，計(jì)算得到各負(fù)載下的放大倍數(shù)，如圖4所示。右端壓電疊堆1工作時(shí)放大倍數(shù)大于左端壓電疊堆2工作時(shí)的放大倍數(shù)，且兩端壓電疊堆同時(shí)工作時(shí)輸出位移最大。

無負(fù)載情況下最大放大倍數(shù)為22.566。隨著負(fù)載的增加，位移放大機(jī)構(gòu)的放大倍數(shù)略微下降。

2 壓電驅(qū)動(dòng)器非線性建模

2.1 數(shù)據(jù)采集與預(yù)處理

為探究大位移壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯非線性現(xiàn)象，使用NI 6002采集卡發(fā)出正弦信號(hào)，經(jīng)過15倍信號(hào)放大后，使用芯明天MTP150/7×7/39.1壓電疊堆作動(dòng)力單元，同時(shí)應(yīng)用LVDT接觸式電感位移傳感器對(duì)放大機(jī)構(gòu)尾端的位移輸出進(jìn)行測(cè)量。原理如圖5所示。

采用小波濾波對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，小波函數(shù)的表達(dá)式為

wf（a，b）=|a|12f（t）ψ（t－ba）dt（1）

式中：wf（a，b）為信號(hào)f（t）在尺度a和位置b下的小波變換系數(shù)，具體表示信號(hào)f（t）在給定的小波函數(shù)ψa，b（t）上的投影；f（t）為原始信號(hào)（時(shí)域信號(hào)），它是被小波變換處理的目標(biāo)函數(shù)；ψ（t－ba）表示小波函數(shù)ψ（t）在時(shí)間和尺度上的變換，t為當(dāng)前時(shí)刻，a和b分別為尺度因子和平移因子。

在對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器的輸出信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，采用了小波逆變換來進(jìn)行信號(hào)的重構(gòu)和濾波分析。相對(duì)于常規(guī)的低通濾波器，小波濾波展現(xiàn)了其在保持信號(hào)原始幅值和消除噪聲方面的高效性。這一方法解決了低通濾波器引起的信號(hào)失真和延遲問題，突顯了小波濾波在信號(hào)處理領(lǐng)域的優(yōu)越性。小波濾波通過保持信號(hào)的基本特性和削減噪聲，提高了壓電驅(qū)動(dòng)器輸出信號(hào)的清晰度和信賴度，從而在多樣化的應(yīng)用場(chǎng)景中增強(qiáng)了其效果和精確度。信號(hào)采集與濾波處理結(jié)果如圖6所示。

2.2 PI遲滯非線性模型

通過Preisach-Ishlinskii（PI）模型構(gòu)建了壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯模型，該模型由多個(gè)Play遲滯算子的加權(quán)重疊構(gòu)成。

Play遲滯算子的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

p（t）=Hr，wi（u（t），p（t－T））=wi·

max（u（t）－r，min（u（t）+r，p（t－T）））（2）

式中：Hr，wi為遲滯算子，用于描述壓電驅(qū)動(dòng)器中非線性遲滯現(xiàn)象；u（t）為輸入信號(hào)；r為遲滯算子的閾值；T為采樣周期；p為遲滯算子的輸出；wi為每個(gè)算子的權(quán)重。

若干Play算子各自擁有獨(dú)特的閾值r，通過線性疊加構(gòu)建了PI遲滯模型：

y（t）=

∑nsi=1Hr，wi（u（t），p（t－T））

=

∑nsi=1wi·max（u（t）－

ri，min（u（t）+ri，pi（t－T）））=

WTHr（u（t），p（t－T））（3）

式中：WT、ri和ns分別為權(quán)重向量的轉(zhuǎn)置形式（權(quán)重用于加權(quán)不同的Play算子貢獻(xiàn)）、閾值和算子總數(shù)量。

為了合理評(píng)估模型的擬合精度，采用相對(duì)誤差（RE）、均方根誤差（RMSE）和最大絕對(duì)誤差（MAE）作為評(píng)價(jià)模型性能的三個(gè)指標(biāo)：

ERE=∑nei=1（Y－y）2/∑nei=1y2

ERMSE=∑nei=1（Y－y）2/ne

EMAE=max|Y（t）－y（t）|" 1≤t≤ne（4）

式中：Y為實(shí)際觀測(cè)值或真實(shí)值，是模型擬合的目標(biāo)值；y為模型預(yù)測(cè)值或計(jì)算值，是模型根據(jù)輸入變量預(yù)測(cè)的結(jié)果。

利用最小二乘遞推方法確定擬合模型，并計(jì)算出上述三個(gè)性能指標(biāo)，結(jié)果見圖7a。當(dāng)算子數(shù)量超過14個(gè)時(shí)，最大絕對(duì)誤差變得穩(wěn)定，因此選擇15個(gè)算子來進(jìn)行模型辨識(shí)。PI遲滯模型的擬合效果見圖7b。誤差主要集中在-10～15 μm范圍內(nèi)，電壓下降階段的擬合精度較高，而電壓上升階段的擬合精度相對(duì)較低。在電壓由上升轉(zhuǎn)為下降的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處，誤差較大，表明模型有進(jìn)一步優(yōu)化的可能。

2.3 基于PI的改進(jìn)GA-BP遲滯非線性模型

由圖7可知，由Play算子組合形成的模型無法完全精確地匹配真實(shí)的遲滯曲線，因此，通過將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與PI遲滯模型結(jié)合來提高遲滯模型的精度。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最基本的單元是模仿神經(jīng)元的處理單元結(jié)構(gòu)，經(jīng)過單個(gè)神經(jīng)元的作用，輸出值y為

y=f（∑nsi=1wixi－ry）（5）

式中：f、xi分別為激勵(lì)函數(shù)和輸入信號(hào)；ry為神經(jīng)元的閾值。

為了防止數(shù)值差異過大影響權(quán)值調(diào)整，需對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)執(zhí)行歸一化處理。

隱藏層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)量為

n=nin+nout+k（6）

式中：nin、nout分別為輸入層和輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)；k為常數(shù)。

在構(gòu)建前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，其輸出層采用線性激勵(lì)函數(shù)以直接表示網(wǎng)絡(luò)的最終輸出，而隱藏層選用long-sigmoid型激勵(lì)函數(shù)，有助于復(fù)雜非線性關(guān)系的處理與傳遞。該設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)使得從輸入層的第i個(gè)輸入到隱藏層的第j個(gè)神經(jīng)元的轉(zhuǎn)換可以用精確的數(shù)學(xué)形式表達(dá)，如下所示：

bj=fb（∑3i=1wijxi－rj）

fb（x）=11+e－x（7）

式中：bj為隱藏層中的第j個(gè)神經(jīng)元的輸出；wij為權(quán)重；為調(diào)整激活函數(shù)形狀的因子。

在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架內(nèi)，隱藏層中的第j個(gè)神經(jīng)元到輸出層的數(shù)學(xué)關(guān)系可表述如下：

y=g（∑12j=1λjbj－θ）

g（x）=kx+b（8）

式中：λj為權(quán)重；θ為偏置項(xiàng)。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)面臨強(qiáng)隨機(jī)性、易落入局部最小值和緩慢的收斂速度等問題，為此，使用遺傳算法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化。

遺傳算法從初始解開始，依照一定的規(guī)則進(jìn)行迭代，以產(chǎn)生新的解決方案，直至滿足既定的條件，流程如圖8所示。此過程開始于對(duì)初始權(quán)重與閾值的聯(lián)合編碼，生成m個(gè)隨機(jī)個(gè)體形成起始種群，這里的種群規(guī)模m設(shè)定為200。接下來確定最大迭代次數(shù)為80次，設(shè)定交叉概率為0.8和變異概率為0.05，運(yùn)用這些遺傳算法操作來識(shí)別最適應(yīng)的個(gè)體。適應(yīng)度函數(shù)Fi作為衡量個(gè)體表現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)，通過計(jì)算擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的均方誤差來評(píng)價(jià)個(gè)體的性能。

為了驗(yàn)證遺傳算法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)的有效性，分別運(yùn)行BP和GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行30次擬合性能對(duì)比，如圖9所示。結(jié)果表明，GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂效率和減少平均誤差方面表現(xiàn)出色，并且具備逃離局部最優(yōu)解、尋找全局最優(yōu)解的能力，從而達(dá)到更優(yōu)的擬合性能。

分別使用非奇對(duì)稱性質(zhì)MPI模型、徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器電壓上升段和電壓下降段進(jìn)行擬合，如圖10所示。對(duì)每種算法進(jìn)行了相對(duì)誤差（RE）、均方根誤差（RMSE）和最大絕對(duì)誤差（MAE）的計(jì)算，結(jié)果見表1。由結(jié)果可知： GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在整體和局部誤差上均顯著小于前述模型，表現(xiàn)出更優(yōu)的擬合能力。

3 壓電驅(qū)動(dòng)器非線性控制策略

3.1 遲滯非線性逆模型求解

PI逆模型的表達(dá)式與正模型的表達(dá)式基本類似，也是對(duì)遲滯算子的疊加，Play遲滯逆運(yùn)算的數(shù)學(xué)公式表示如下：

q（t）=WTH－1r（y（t），q（t－T））=

max（y（t）－r′，min（y（t）+r′，q（t－T）））（9）

式中：y（t）為t時(shí)刻的輸入量；r′為逆模型的閾值；q為逆遲滯算子的輸出。

通過線性組合多個(gè)r′的Play逆算子，可以形成PI遲滯的逆模型：

q（t）=WTH－1r′（y（t），q（t－T））=

∑ni=1w′i·max（y（t）－r′i，min（y（t）+r′i，qi（t－T）））（10）

式中：H－1r′為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變換矩陣的逆；qi為第i個(gè)部分在時(shí)間t-T時(shí)刻的輸出量；w′i、r′i分別為各個(gè)逆算子的權(quán)重和閾值。

權(quán)值和閾值表達(dá)式分別為

w′i=（－wi/∑ij=1wj）∑i－1j=1wj

r′i=∑ij=1wj（ri－rj）（11）

i=1，2，…，n

式中：rj為不同階段的偏移量。

3.2 模糊自適應(yīng)改進(jìn)PID控制器

為了方便控制，PID控制器通常離散化，表達(dá)式為

u（k）=Kp{e（k）+TTi∑ki=1e（i）+

TdT［e（k）－e（k－1）］}（12）

式中：Kp、Ti、Td和e（k－1）分別為比例增益、積分時(shí)間常數(shù)、微分時(shí)間常數(shù)和上一時(shí)刻的誤差；k、T分別為采樣序號(hào)和周期。

為了減小誤差，對(duì)積分環(huán)節(jié)的積分元進(jìn)行改進(jìn)：

TTi∑ki=1e（i）+e（i－1）2（13）

采用分離法對(duì)微分環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn)：

TdT［e（k）－e（k－1）］（14）

β=0" |e（k）|gt;ε

1|e（k）|≤ε（15）

式中：β、ε分別為常系數(shù)和偏差的臨界值。

改進(jìn)得到的PID離散化表達(dá)式為

u（k）=Kp{e（k）+TTi∑ki=1e（i）+e（i－1）2+

βTdT［e（k）－e（k－1）］}（16）

k-1時(shí)刻的輸出控制電壓表達(dá)式為

u（k－1）=Kp{e（k－1）+TTi∑k－1i=1e（i）+e（i－1）2+

βTdT［e（k－1）－e（k－2）］}（17）

將式（16）和式（17）相減可得

u（k）=u（k－1）+Kp{e（k）－e（k－1）+

TTie（i）+e（i－1）2+TdT［e（k）－2e（k－1）+

e（k－2）］}=u（k－1）+g0e（k）+

g1e（k－1）+g2e（k－2）（18）

各項(xiàng)系數(shù)為

g0=Kp（1+T2Ti+TdT）

g1=－Kp（1－T2Ti+2TdT）

g2=KpTdT（19）

為了提高性能，設(shè)計(jì)了一種可以自動(dòng)調(diào)節(jié)PID控制器參數(shù)的系統(tǒng)。這種自適應(yīng)模糊PID控制器融合了模糊邏輯算法和PID參數(shù)的自動(dòng)調(diào)節(jié)功能，實(shí)現(xiàn)了有機(jī)整合，具體過程如圖11所示。

模糊控制器處理精確的輸入和輸出數(shù)據(jù)，而模糊邏輯控制關(guān)注的是模糊變量的處理，這要求模糊化。為了簡(jiǎn)化模糊規(guī)則并增強(qiáng)其易懂性，誤差e和誤差變化率ec的量化范圍設(shè)定在（-3，3）之間。同樣，將ΔKp、ΔTi和ΔTd的量化界限定為（-3，3），并細(xì)分為七類語言變量：負(fù)大（NB）、負(fù)中（NM）、負(fù)小（NS）、零（ZO）、正小（PS）、正中（PM）和正大（PB），使用三角形作為隸屬度函數(shù)。利用重心法經(jīng)過解模糊化才能得到PID參數(shù)的精確值V：

V=∑ni=1MiFi∑ni=1Mi（20）

式中：M、F分別為隸屬度和模糊量化值。

3.3 復(fù)合控制及仿真

整合前饋和反饋控制方法，初始階段利用前饋控制器補(bǔ)償遲滯非線性效應(yīng)，隨后通過反饋控制器修正模型誤差和外部干擾，構(gòu)建了圖12所示的復(fù)合控制方案。

為了驗(yàn)證上述復(fù)合控制方案，對(duì)各控制方案的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖13所示。在僅僅使用前饋控制時(shí)，系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)彈性可能在階躍信號(hào)下產(chǎn)生振蕩，約0.23 s后穩(wěn)定。前饋PID系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間大概為0.11 s，前饋模糊PID系統(tǒng)則需約0.08 s。在實(shí)現(xiàn)設(shè)定位移的過程中，前饋PID可能會(huì)振蕩，而前饋模糊PID系統(tǒng)未見振蕩現(xiàn)象。面臨干擾時(shí)，前饋控制的超調(diào)率為26.59%，與之相比，前饋PID和前饋模糊PID系統(tǒng)的超調(diào)率分別減至10.11%和8.34%。

為加快系統(tǒng)反應(yīng)速率，實(shí)施了針對(duì)模糊PID控制器的Kp、Ti和Td參數(shù)的遺傳算法離線優(yōu)化，采用以下適應(yīng)度函數(shù)：

Fga=1－1∫∞0t0t|e（t）|dt（21）

式中：t0、e分別為響應(yīng)時(shí)間和系統(tǒng)誤差。

經(jīng)過優(yōu)化，得到Kp為0.991，積分系數(shù)Ti為77.013，微分系數(shù)Td為0.0140。將優(yōu)化后的初始參數(shù)配置入控制系統(tǒng)中，得到圖14所示結(jié)果。

由圖14分析可見，前饋PID控制與前饋模糊PID控制在階躍信號(hào)響應(yīng)上幾乎相同，響應(yīng)時(shí)間約為0.05s，無超調(diào)現(xiàn)象，接近目標(biāo)的過程非常平穩(wěn)。面對(duì)干擾，前饋PID與前饋模糊PID系統(tǒng)的超調(diào)率分別為8.17%與6.69%。這顯示了前饋模糊PID系統(tǒng)快速響應(yīng)和較小超調(diào)率的能力，突出其優(yōu)異的抗干擾性能。

對(duì)控制系統(tǒng)開展跟蹤模擬，使用正弦信號(hào)和步進(jìn)微位移作為輸入進(jìn)行模擬跟蹤。如圖15所示，正弦信號(hào)的最大相對(duì)誤差為0.0573 μm，平均相對(duì)誤差為0.0318 μm，表明該控制系統(tǒng)具有優(yōu)秀的跟蹤能力。步進(jìn)微位移的響應(yīng)時(shí)間僅為0.076 s，定位誤差極小，表明前饋模糊PID控制具有快速的響應(yīng)和高精度的定位特性。

4 壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯非線性補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

4.1 軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)

圖16給出了壓電驅(qū)動(dòng)鏡頭微位移控制實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，包含了關(guān)鍵部件，包括主機(jī)、壓電驅(qū)動(dòng)電源、壓電位移放大裝置、NI數(shù)據(jù)采集卡、感應(yīng)式微位移傳感器和LVDT電感測(cè)量?jī)x。該系統(tǒng)的協(xié)調(diào)運(yùn)作保障了微位移操作的高精度和穩(wěn)定性。通過LabVIEW和MATLAB開發(fā)的控制平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了主機(jī)與數(shù)據(jù)采集卡間的串口通信，從而控制了壓電驅(qū)動(dòng)電源的電壓和功率放大過程。此外，LVDT電感式位移傳感器可以將測(cè)得的微位移轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，并傳輸至數(shù)據(jù)采集卡，完成控制流程的閉環(huán)。

通過計(jì)算機(jī)生成的正弦波信號(hào)驅(qū)動(dòng)壓電疊堆進(jìn)行路徑跟蹤測(cè)試，信號(hào)在放大15倍之后，其最大幅值達(dá)到了150 V。考慮到壓電驅(qū)動(dòng)器主要在低頻范圍內(nèi)操作，測(cè)試僅展示了1～3 Hz的控制效果。另外本文通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出壓電位移放大機(jī)構(gòu)的一階固有頻率為55.41 Hz，不存在達(dá)到諧振頻率下的偶然性。在1 Hz和2 Hz的條件下，采用傳統(tǒng)的PID控制、PI前饋PID控制、改進(jìn)的GA-BP前饋控制以及GA-BP前饋PID模糊控制進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果包括位移隨時(shí)間的變化、位移隨電壓的變化以及誤差隨時(shí)間的變化，結(jié)果見圖17。

在圖17a和圖17b中，通過對(duì)比控制曲線和理想曲線的吻合度能夠判斷壓電驅(qū)動(dòng)器的輸出滯后水平。當(dāng)兩個(gè)壓電疊堆共同工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)器的最大輸出位移達(dá)到558.3 μm。在固定采樣率下，驅(qū)動(dòng)頻率的升高會(huì)導(dǎo)致壓電驅(qū)動(dòng)器的輸出滯后增加。在高頻率條件下，使用GA-BP前饋模糊PID控制能較好地補(bǔ)償這種滯后。在圖17c和圖17d中，通過傳統(tǒng)的PID控制、PI前饋PID控制、改進(jìn)的GA-BP前饋控制以及GA-BP前饋模糊PID控制實(shí)現(xiàn)了壓電驅(qū)動(dòng)器的近似線性位移輸出，且本文采用的GA-BP前饋模糊PID控制效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制效果。由圖17e和圖17f的對(duì)比分析可知，在低頻范圍內(nèi)，誤差主要源于非線性因素，而在高頻范圍內(nèi)，滯后效應(yīng)成為誤差較大的主要原因。

表2給出了不同控制方案的平均絕對(duì)誤差，可見GA-BP前饋模糊PID控制的絕對(duì)誤差最小，精度最高。隨著頻率的增大，控制誤差增大，原因是本研究設(shè)計(jì)的壓電驅(qū)動(dòng)器為多級(jí)放大機(jī)構(gòu)，當(dāng)頻率較高時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)不及時(shí)，因此控制效果減弱。

4.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)

動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)壓電作動(dòng)器的精度產(chǎn)生重要影響，本研究使用階躍信號(hào)作為目標(biāo)位移，探討了在150V驅(qū)動(dòng)電壓條件下壓電驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)反應(yīng)。圖18展示了在最大驅(qū)動(dòng)電壓情況下的動(dòng)態(tài)反應(yīng)，傳統(tǒng)控制采用PI前饋加PID反饋控制方式，而改進(jìn)策略融合了經(jīng)遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前饋及遺傳算法優(yōu)化的模糊PID反饋控制方法。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，該改進(jìn)控制策略的輸出結(jié)果與理想值最為吻合。

為探索壓電驅(qū)動(dòng)器在特定目標(biāo)位移下的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)，本研究采用400 μm和200 μm作為目標(biāo)位移，分析各種控制策略的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)，如圖19所示。進(jìn)一步，為了檢驗(yàn)不同負(fù)載條件下的控制性能，實(shí)驗(yàn)中在輸出端分別附加100 g和200 g砝碼作為負(fù)載，并以400 μm為目標(biāo)位移進(jìn)行了測(cè)試，相關(guān)結(jié)果見圖20。通過圖19和圖20可知：當(dāng)沒有控制措施時(shí)，壓電材料的遲滯屬性導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)存在延遲，影響了微位移系統(tǒng)的反應(yīng)效率。前饋控制通過補(bǔ)償遲滯效應(yīng)來減少響應(yīng)時(shí)間，而反饋控制在檢測(cè)到誤差時(shí)迅速通過比例調(diào)節(jié)進(jìn)行調(diào)整，提高了系統(tǒng)的反應(yīng)速度。在改進(jìn)控制方案下，不同期望位移和負(fù)載下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)均接近理想結(jié)果，驗(yàn)證了改進(jìn)控制算法的優(yōu)越性。

由于壓電材料的非線性特征和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，未施加控制時(shí)系統(tǒng)容易出現(xiàn)振動(dòng)。前饋控制建模時(shí)考慮非線性因素和振動(dòng)現(xiàn)象，有助于更快達(dá)到目標(biāo)值并減少振動(dòng)；反饋控制將非線性和振動(dòng)的影響納入誤差補(bǔ)償中。傳統(tǒng)控制方法中，固定的積分系數(shù)導(dǎo)致小誤差時(shí)難以精確達(dá)標(biāo)，而PID控制性能高度依賴于參數(shù)調(diào)整，可進(jìn)一步優(yōu)化。本研究的改進(jìn)策略通過對(duì)遲滯非線性進(jìn)行精細(xì)建模，并利用自適應(yīng)反饋控制來調(diào)整剩余誤差，以便快速而準(zhǔn)確地達(dá)成目標(biāo)位置。

圖21和圖22呈現(xiàn)了不同目標(biāo)位移與負(fù)載下各控制方案的動(dòng)態(tài)反應(yīng)的比較。數(shù)據(jù)顯示，改進(jìn)的控制方案在本文中被證明能將延遲時(shí)間減至2 ms以內(nèi)，并在60 ms內(nèi)實(shí)現(xiàn)控制反應(yīng)，同時(shí)將穩(wěn)態(tài)誤差限制在0.09%以下，展示了其快速響應(yīng)與低穩(wěn)態(tài)誤差的能力。

5 結(jié)論

本文提出了一種低頻大位移多工作模式壓電直線驅(qū)動(dòng)器，分析了壓電驅(qū)動(dòng)器的工作機(jī)制，并依據(jù)PI遲滯非線性模型，構(gòu)建了一種基于PI的GA-BP改進(jìn)的遲滯非線性模型。開展了三種非線性控制方法研究，并通過搭建遲滯非線性補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驗(yàn)證了所提改進(jìn)模型的優(yōu)越性。結(jié)果表明：

1）不同負(fù)載下，兩個(gè)壓電疊堆同時(shí)工作時(shí)壓電驅(qū)動(dòng)器能實(shí)現(xiàn)最大的輸出位移558.3 μm。隨著負(fù)載的增大，放大倍數(shù)逐漸減小。無負(fù)載時(shí)，壓電驅(qū)動(dòng)器的放大倍數(shù)最高，達(dá)到22.566。

2）通過計(jì)算MPI模型、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的相對(duì)誤差、均方根誤差和最大絕對(duì)誤差，結(jié)果顯示GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在整體和局部誤差方面均明顯優(yōu)于其他模型，表現(xiàn)出最佳的擬合性能。

3）壓電驅(qū)動(dòng)器在正弦信號(hào)下軌跡跟蹤的最大相對(duì)誤差為0.0573 μm。改進(jìn)的模糊PID反饋控制方法能將壓電驅(qū)動(dòng)器的延遲時(shí)間減少至2 ms以內(nèi)，并在60 ms內(nèi)實(shí)現(xiàn)控制反應(yīng)，同時(shí)將穩(wěn)態(tài)誤差限制在0.09%以下，驗(yàn)證了壓電驅(qū)動(dòng)器的快速響應(yīng)與低穩(wěn)態(tài)誤差的性能。

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（編輯 王旻玥）

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51905228）；江蘇高校“青藍(lán)工程”優(yōu)秀青年骨干教師資助項(xiàng)目（蘇教師函〔2022〕29號(hào)）；江蘇省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（BE2022062-3）

作者簡(jiǎn)介：

李 沖*，男，1988年生，博士、副教授。主要研究方向?yàn)閴弘婒?qū)動(dòng)與控制。E-mail：lichong@just.edu.cn。

本文引用格式：

李沖，栢新，童玉健，等.低頻大位移多工作模式壓電直線驅(qū)動(dòng)器非線性遲滯控制及實(shí)驗(yàn)研究［J］. 中國機(jī)械工程，2025，36（3）：493-503.

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