音級集合理論的比較研究

［摘 要］ 音級集合理論在中國已有四十余年的發展歷程。從早期的譯介到近期國內學者專家撰寫的論著，都對該理論在中國的傳播與發展起到了重要的推動作用。本文以五部后調性理論著作中的音級集合理論為切入點，通過比較與述評的方式類比其共性與差異，并對不同著作中相同內容的闡述深度、稱謂各異及部分內容的缺失現象進行梳理。

［關鍵詞］ 音級集合；后調性；比較；標準序；原型

［中圖分類號］ J613" " " " " "［文獻標識碼］ A " " " "［文章編號］ 1007-2233（２０２5）03-0110-03

本文討論的五部后調性理論著作分別為：［美］約瑟夫·內森·施特勞斯著，齊研譯《后調性理論導論》；［美］羅伊格·弗朗科利著，杜曉十、檀革勝譯《理解后調性音樂》；高暢著《后調性理論基礎》；齊研著《后調性理論與應用》；賈達群等著《后調性音樂中的音高組織體系、技法及分析》（王中余撰）。下文分別將這五部著作簡稱為：“施著”“弗著”“高著”“齊著”和“賈著”。這五部著作中存在多個同一內容被賦予不同的名號，以及對集合理論的某些知識點存在疏漏的現象。本文將逐一對這些現象進行梳理、總結與歸納，并提供一個相對宏觀的學習視角，同時在本文中，筆者將結合自身的研習經驗提出一些設想和思考。

一、理論概況

由于調性的瓦解，功能和聲體系已不再適應對無調性音樂的分析。音級集合理論的形成“解決了無調性音樂分析無從下手的難題，將十二個音級編以0—11個數字，通過各種數理運算挖掘音樂內部的邏輯關系，是20世紀以來研究無調性作品的主要分析方法”［1］。“集合理論最初通過豪爾（J.M.Hauer）的‘特洛普’理論進駐音樂創作理論，在巴比特（Milton Babbitt）等理論家的著作中得到確立，福特（Allen Forte）將集合理論引入音樂分析領域并發揚光大。”［2］自20世紀80年代初起，我國音樂理論界開始陸續引入艾倫·福特的音級集合理論。經過四十多年時間的積淀與發展，音級集合理論研究在中國已經取得了斐然成果，并對我國音樂分析學科發展和當代專業音樂創作產生了重要且有指導性的促進作用。

二、異名同實

異名同實是指一個實質相同的事物具有多個名稱，這一現象在音級集合理論中顯得尤為突出。如在表示兩個音級集合通過倒影能夠形成相互映射的關系時，“賈著”“高著”稱之為倒影，而“弗著”“施著”“齊著”則將其稱作反演；又如在表示同一個集合中的各元素按最為緊湊的方式排序時，“弗著”“施著”和“賈著”將其稱作標準序，而“高著”“齊著”稱之為標準型；此外，共同音與不變音也為同一意思，在“施著”“高著”“齊著”中被稱為共同音，而在“弗著”中則被稱為不變音。

此外，還有一個更為重要的概念需要厘清，即集合級與原型。集合級，即表示一個集合與它可以形成移位或倒影移位關系的所有集合類型的統稱。如果用數字表示，只需將這些類型中的任意一個集合標準序的第一個數從0開始記，即將其記為該集合的原型。集合級在“高著”中被稱作集合族，“施著”和“齊著”則稱之為集合級，而在“弗著”中又被稱為集合類型。原型在“高著”中被稱作原型，“弗著”“施著”“賈著”和“齊著”則稱之為基本型。無論是集合級還是原型，均表示一個集合（包括與其形成移位或倒影移位）的所有類型的最佳形式。

縱覽上述諸多稱謂，可將它們總結為：倒影=反演、標準型=標準序、共同音=不變音、集合族=集合級=集合類型=基本型=原型。由此可見，上述著作在述及同一理論中的同一知識點時，異名同實現象可真令人目不暇接。

三、內容比較

“安·本特曾指出，‘音樂分析的本質在于比較’。因為有比較才有鑒別，有鑒別才有判斷，有判斷才有目標的實現，才有問題的解決。”［3］為更好地掌握音級集合理論的操作方法與基本原理，并明晰其理、了解其源，對不同著作中的相同內容進行比較研究是很有必要的。

（一）集合原型的求找

在集合原型的求解方法方面，童忠良、羅忠镕、華萃康、敬悅吾、鄭剛、陳雷、周雨等專家學者都曾發表相關論文專門進行過多番論述，在此本人僅對五部著作中的原型求找的方法進行比較和概括。

求找集合原型，首先要確定好其標準序。“‘標準’序是指在一個集合的‘循環排列’（Circular Permutation）中，首末兩數之差為最小值的最佳排列形式。”［4］對于基數較小的集合，如3音集合是可以直接通過心算求得其標準序的（前提是要將各音級的整數標記熟記于心）。舉個簡單的例子，如：F-■-bA，首先將該集合按升序重新排列為：F-bA-■，它們之間的音級音程列是3-2，顯然右邊音程更為緊湊。此時就可以直接將從右向左排列的集合視為標準序，而后再將右邊第一個音級以0為開始進行記寫，最終即可得出原型（014）。

對于基數較大的集合，例如4音集合、5音集合直至11音集合，則需要通過計算才能得出集合的標準序。第一種方法是對各音級依次進行輪轉排列，找出所有排列中首末兩音差數最小的那組排列，即為標準序，這種方法在五部著作中都有述及。但這種方法過于煩瑣，不利于快速找出集合的標準序。第二種方法是“施著”“弗著”“齊著”和“高著”中的利用鐘面圖求找集合的標準序，這也是一種較為直觀且便捷的求找方法。第三種方法僅在“弗著”中有所論述，即通過相鄰音級間的音程關系來確定其標準序。該方法在介紹時可能顯得有些復雜，但一旦真正理解之后，依筆者愚見，這種方法最為簡便。具體步驟如下：

第一，將一組集合按照升序的方式進行排列（排完后需將第一個音級再記寫在最后）；第二，將相鄰音級的音程以整數的方式進行記寫；第三，找出其中最大的音程數；第四，從最大的音程數右邊的那個整數開始依次排列各音級，結果即為標準序。如果最大音程數有兩個（或以上），則要重復第四步的操作將另一組也排列出來，然后再對比兩種排列中倒數第二個與第一個元素的算數差，差數小的一組即為標準序。如果數值依然相同，需繼續對比倒數第三與第一個元素的算術差，直至找到最小的差數，該排列就是標準序。如果在所有的排列中，不論是首尾兩數，還是其他位置的元素與首位數之間的差都相同，那么就選擇從最小音級數開始的那組排列，將其作為該集合的標準序。求得集合的標準序后，只需將左起的第一個數以0開始順次記寫，即可得到原型。

（二）移位和倒影

移位和倒影是通過適當操作實現集合間相互轉化的等量關系，也是集合理論中最常用的關系之一。關于移位關系的論述，在這五部著作中內容基本一致。它們都是通過在集合的每個音級上加上相同數量的半音，從而得到移位后的另一個集合的（無論有序與否）。判斷兩個集合是否存在移位關系，只需計算對應音級之間的差值。如果差值相同，則說明它們之間存在移位關系。例如，通過T2將［1，3，6，8］進行移位操作，即在每個音高級別上加2，得到移位后的集合為［3，5，8，10］；反之亦然，此時差值為2。

倒影移位是一個復合操作過程，其中“高著”“施著”和“齊著”均描述了先進行反演（倒影），然后再進行移位的操作步驟。如“將1做T9I運算，先反演1，得出11，然后移位，T9（11）=［11+9=20-12=8］”［5］。因此，倒影后對應的音級為8（bA）。該方法略顯煩瑣，“高著”“施著”和“弗著”中都給出了另外一種更為簡便的操作方法：直接用指數（和）n依次減去被運算集合中的每一個元素，便可得到倒影后對應的集合。按照公式TnI（a）=n-a對上例進行重新操作，可記為：T9I（1）=9-1=8。該方法在“賈著”和“齊著”中未提及。需要注意的是，為了方便集合間的比較，倒影移位后的結果應按照逆行方式重新記寫，所得到的結果即為其標準形式（但也有例外情況）。

在判斷兩個集合是否存在倒影移位關系時，需要比較它們之間對應音級的和數（指數）是否相同。五部著作中所描述的倒影移位操作方法大體一致，這里不再贅述。總而言之，集合間的移位問題與集合間的差數有關，而倒影移位問題則與集合間的和數有關。

（三）共同音與對稱集合

音級集合的共同音分為移位中的共同音和倒影中的共同音。在移位中，“弗著”“齊著”言簡意賅地指出了移位中的共同音可以直觀明了地通過音程級含量進行鑒別；在倒影中，“施著”“弗著”“齊著”“高著”所述倒影的共同音可以采用兩種方法來查找：一是通過集合的求和矩陣計算；二是直接通過集合的指數向量求找。需要注意的是，在運用指數向量求找共同音時，其原型的指數向量與移位或倒影后的指數向量有所不同，必須經過輪轉［6］后才能得到正確結果。關于這一要點，“高著”和“齊著”中有詳細介紹，“弗著”則只是對此現象進行提示，并未進行詳細講解。“賈著”（王中余撰）在論述該內容時存在缺失，但在王中余教授的博士論文［7］中對不變量的內容有詳細講解。

對稱集合是指當一個集合在做移位或倒影移位操作時，其結果能夠完全映射自身的集合，也就是說操作后的集合中的所有音級均保持不變。移位可以通過音程向量求找，倒影移位可以通過指數向量求找。

（四）Z關系集合

對于該內容的論述不需要具體的操作步驟，只需辨識出集合間的音程級含量相同，并且它們既不是移位也不是倒影關系即可。關于這一內容，“弗著”與“賈著”僅進行過簡短的介紹，而“高著”“齊著”和“施著”則通過具體實例充分闡述。盡管Z關系的集合之間不如同一集合族之間的關系密切，但由于其音響氣質相似，同樣是作曲家們經常使用的集合類型。在“施著”中，還曾戲謔地指出：“一個集合集的成員關系如同一個家庭中的兄弟姐妹，那么Z關系集合就像表兄弟。”［8］

（五）集合相似性

基數相同的集合之間可通過移位、倒影以及Z關系來判斷他們的親疏關系。除此之外，還有一些既不是移位、倒影也不是Z關系的集合，他們之間可能也會存在一些較為親密的關系。對于集合相似性問題的論述，“弗著”“施著”和“齊著”中均未涉及，現僅就“高著”和“賈著”中的相關內容進行比較。

在“高著”中，對于該問題的闡述較為詳細。該著介紹了其概念和依據艾倫·福特定義的強、弱表現，并通過實例清晰地說明了不同集合族之間具象和抽象的音級相似性關系；而音程級相似性則主要利用音程級向量來判斷集合之間的相似度，并根據6項參數之間的關系區分出R1和R2兩種關系，以及最小相似性關系。最后，“高著”還論述了音級相似性與音程級相似性之間的聯系以及它們在音樂分析中所起到的作用。

“賈著”對相似性進行了精確而清晰地闡述。首先，通過具體集合實例詳細地說明了音級相似性的相關特點，并強調了其強弱表現；其次，以成對集合的音程向量舉例，介紹了音程級最小相似性R0、音程級最大相似性R1與R2兩種類型。通過類比，我們可以得知，“賈著”以極簡方式呈現音級相似性與音程級相似性內容，在此過程中省去了煩瑣的理論闡釋。

（六）包含與互補

包含關系是指較小集合與較大集合之間的隸屬關系；而互補關系則表示一個集合與不包括在該集合中的所有其他音高級組成的集合所呈現的關系，它們的結合構成了十二個音高級的全集。包含關系與互補關系都能反映作品音高間的關聯程度。五部著作都從具象和抽象兩個方面對包含關系與互補關系進行了詳盡闡釋。其中，“高著”以點陣圖和推理的方式對具象包含、抽象包含、具象互補和抽象互補進行了深入解析，以便讀者能更好地理解包含關系和互補關系。

此外，“施著”和“弗著”對于補集之間的音程特性都有類似的說明：“兩個互補集合之間每種音程出現的次數差，與這些集合之間的基數差是相同的（除了音程級6，此時基數差必須除以2）。”［9］“施著”中所表達的含義基本相同，只是將基數差命名為大小差。筆者認為，在構成集合的數量方面，其使用基數較為恰當且更加明確，但大小這一概念可能會導致人們對數字大小或數量大小產生模糊感。在其他章節中，“施著”也存在以集合級數量來命名集合基數的現象。

除了對包含關系與互補關系進行詳細論述外，“高著”還進一步介紹了互補關系集合的基數和福特名、互補關系集合的對稱度和成員數量、互補關系集合的音程向量之差、互補關系的Z關系集合以及通過補集求找集合原型的方法，進一步充實了互補集合的其他關系。

（七）集合復合型與集合類屬型

在揭示無調性音樂的深層結構方面，集合復合型與集合類屬型突顯出獨特的效果。然而，除了“賈著”和“高著”（僅有集合復合型）中有提及該內容外，其他幾部著作均未涉及這兩種集合類型。雖然集合復合型與集合類屬型在運用和操作上相對復雜和繁瑣，“但從一定意義上講，有關集合復合型關系的分析，也還相當于和聲分析中的‘調性關系’分析”［10］。在對大段落或整部無調性音樂作品進行分析時，集合復合型與集合類屬型的統攝作用以及全局觀念是其他方法（至少在目前階段）所不能媲美的。

結" "語

綜上所述，五部后調性理論著作均對音級集合理論進行了專門章節的闡述，充分說明了其在20世紀以來的音樂分析中具有重要的地位。文章述及的五部著作對音級集合理論的討論程度和深入程度各有差異，每部著作都具備其獨特的優勢。但其中不乏存在異名同實的現象，筆者以為這主要是由學者們在翻譯或參考外文文獻的過程中對詞意的理解存在差異所導致的。總的來說，這種差異并不會影響學習者對相應知識點的理解，但務必厘清，否則就會陷入知識點混亂的窘境。上述幾部著作無疑為我國音樂分析學科的發展作出了巨大貢獻。作為學習者，我們應當深入研習上述著作，汲取其精髓，將其運用到音樂分析的實踐中，而不能寄望于通過一本教材完全掌握該理論的全部內容。

參考文獻：

［1］ 賈達群.“中國特色作曲理論體系研究”項目述要［J］.音樂研究，2022（06）：9.

［2］ 王中余.音級集合——阿倫·福特的無調性音高結構理論及其擴展.后調性音樂中的音高組織體系、技法及分析［M］.上海：上海音樂學院出版社，2023：443.

［3］ 彭志敏.20世紀音樂分析文集續編［M］.上海：上海音樂學院出版社，2023：150.

［4］ 王中余.音級集合——阿倫·福特的無調性音高結構理論及其擴展.后調性音樂中的音高組織體系、技法及分析［M］.上海：上海音樂學院出版社，2023：447.

［5］ ［美］約瑟夫·內森·施特勞斯.后調性理論導論［M］.齊研譯.北京：人民音樂出版社，2014：48.

［6］ 高暢.后調性理論基礎［M］.北京：人民音樂出版社，2018：153-154.

［7］ 王中余.阿倫·福特音級集合理論研究［M］.上海：上海音樂學院出版社，2017：29-35.

［8］ ［美］約瑟夫·內森·施特勞斯.后調性理論導論［M］.齊研譯.北京：人民音樂出版社，2014：97.

［9］ ［美］羅伊格-弗朗科利.理解后調性音樂［M］.杜曉十，檀革勝譯.北京：人民音樂出版社，2012：96.

［10］ 錢仁平.音集運動的結構功能——以威伯恩《六首管弦樂小品》之四為例［J］.音樂研究，2006，（04）：80-90.

（責任編輯：韓瑩瑩）