采用長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓電式六維力/力矩傳感器解耦算法

摘要：針對(duì)壓電式六維力/力矩傳感器存在的維間耦合導(dǎo)致傳感器測(cè)力性能下降問(wèn)題，提出了一種基于長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（LSTM）的壓電式六維力/力矩傳感器解耦算法。首先，通過(guò)六維力傳感器靜態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，獲取解耦算法所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并對(duì)其進(jìn)行處理；然后，通過(guò)分析傳感器維間耦合產(chǎn)生的原因及LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦原理，構(gòu)建LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦模型；最后，采用基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法，對(duì)傳感器輸出的多維非線性特性開(kāi)展優(yōu)化，解耦后得到傳感器輸入、輸出之間的映射關(guān)系和對(duì)應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)，并與徑向基函數(shù)（RBF）及最小二乘（LS）解耦算法進(jìn)行對(duì)比分析。研究結(jié)果表明：所使用四點(diǎn)支撐式壓電六維力傳感器的最大重復(fù)性誤差為1.55%；采用基于LSTM的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法解耦后，傳感器輸出結(jié)果的最大非線性誤差、交叉耦合誤差分別為0.55%和0.28%，均小于RBF和LS算法。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法能有效減少六維力/力矩傳感器的維間耦合，提高傳感器的測(cè)量精度，對(duì)航空航天領(lǐng)域的發(fā)展具有參考意義。

關(guān)鍵詞：六維力/力矩傳感器；壓電式；解耦算法；長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；維間耦合

中圖分類(lèi)號(hào)：TP212.9；TN384 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202504015 文章編號(hào)：0253-987X（2025）04-0158-13

Decoupling Algorithm of Piezoelectric Six-Dimensional Force/Torque Sensor

Using Long Short-Term Memory Neural Network

QI Zhenguang1， WANG Guicong^1，2， CHU Hongbo1， ZHANG Shuai1， LI Yingjun^1，2

（1. School of Mechanical Engineering， University of Jinan， Jinan 250022， China; 2. Shandong Key Laboratory of Sensing Technology and High Precision Weighing Instruments， Jinan 250022， China）

Abstract：To address the issue of decreased force measurement performance in piezoelectric six-dimensional force/torque sensors due to inter-dimensional coupling， a decoupling algorithm for piezoelectric six-dimensional force/torque sensors based on long short-term memory neural network （LSTM） is proposed. Firstly， experimental data needed for the decoupling algorithm is obtained through static calibration experiments of the six-dimensional force sensor and processed accordingly. Then， by analyzing the causes of inter-dimensional coupling in sensors and the decoupling principle of the LSTM neural network， an LSTM neural network decoupling model is constructed. Finally， the decoupling algorithm based on the LSTM neural network is used to optimize the multi-dimensional nonlinear characteristics of the sensor output， obtaining the mapping relationship between sensor inputs and outputs after decoupling， and corresponding output data. A comparative analysis is conducted with radial basis function （RBF） and least squares （LS） decoupling algorithms. The research results show that the maximum repeatability error of the four-point supported piezoelectric six-dimensional force sensor is 1.55%. After utilizing the LSTM-based neural network algorithm for decoupling， the maximum nonlinear error and cross-coupling error of the sensor output results are 0.55% and 0.28% respectively， both lower than those of the RBF and LS algorithms. The LSTM neural network decoupling algorithm effectively reduces inter-dimensional coupling in the six-dimensional force/torque sensor， improving measurement accuracy and holding important implications for the development of the aerospace industry.

Keywords：six-dimensional force/torque sensor; piezoelectric sensor; decoupling algorithm; long short-term memory neural network; interdimensional coupling

自風(fēng)洞試驗(yàn)問(wèn)世以來(lái)，航空航天技術(shù)得到了顯著的發(fā)展與完善^［1］。風(fēng)洞試驗(yàn)作為分析和評(píng)估飛行器氣動(dòng)彈性特性的關(guān)鍵手段，使得工程師們能夠在地面上模擬飛行器在真實(shí)飛行環(huán)境中的受力情況。在飛行器設(shè)計(jì)階段，通過(guò)氣動(dòng)彈性風(fēng)洞試驗(yàn)可以驗(yàn)證飛行器的設(shè)計(jì)強(qiáng)度和性能是否達(dá)到要求，并為優(yōu)化改進(jìn)提供指導(dǎo)^［2］。風(fēng)洞試驗(yàn)作為推動(dòng)航空航天技術(shù)進(jìn)步的重要工具，已成為現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)和測(cè)試的堅(jiān)實(shí)技術(shù)保障。

在風(fēng)洞試驗(yàn)研究領(lǐng)域中，一直將飛行器模型在不同氣流作用下的受力情況作為重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容^［3］。六維力/力矩傳感器（以下簡(jiǎn)稱六維力傳感器）可在 oxy 直角坐標(biāo)系下同時(shí)檢測(cè)力Fx、Fy、Fz和力矩Mx、My、Mz，并具有感知信息豐富、測(cè)量精度高的特點(diǎn)。六維力傳感器的應(yīng)用，使得試驗(yàn)人員能夠全面了解包括升力、阻力、側(cè)力及扭矩等風(fēng)載荷對(duì)模型的影響。這些數(shù)據(jù)對(duì)于精確評(píng)估氣動(dòng)性能和結(jié)構(gòu)響應(yīng)至關(guān)重要，能夠提高設(shè)計(jì)的可靠性和效率。傳感器在使用過(guò)程中，由于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、加工制造、安裝精度等因素，測(cè)量精度會(huì)受到較大影響，使某一信號(hào)在傳輸時(shí)受到其他信號(hào)的干擾，即維間耦合，從而制約傳感器在高、精、尖領(lǐng)域的發(fā)展和應(yīng)用。因此，降低或消除傳感器的維間耦合是傳感器技術(shù)發(fā)展的關(guān)鍵。

近年來(lái)，為了提高傳感器在應(yīng)用過(guò)程中的精度，國(guó)、內(nèi)外學(xué)者提出了多種解耦算法。針對(duì)不同類(lèi)型的傳感器，需要選擇不同的解耦算法，以尋求傳感器的最優(yōu)性能。目前，對(duì)于六維力傳感器的解耦算法可分為靜態(tài)線性解耦和靜態(tài)非線性解耦。線性解耦算法^［4-7］采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行修正，要求傳感器系統(tǒng)必須是線性的，因此解耦存在一定的局限性和不穩(wěn)定性。相比之下，非線性解耦算法通過(guò)多函數(shù)映射的方式進(jìn)行解耦，不依賴于傳感器的線性特性，能夠應(yīng)用于更復(fù)雜的系統(tǒng)，具有更高精度。為此，許多學(xué)者針對(duì)不同構(gòu)型的六維力傳感器提出了各種非線性解耦算法^［8-13］。李映君等^［14］提出了基于徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法，結(jié)果表明最大耦合誤差為1.56%。孫世政等^［15］提出了一種基于白鯊優(yōu)化算法的優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)（WSO-ELM）非線性解耦算法，結(jié)果表明：極限學(xué)習(xí)機(jī)具有訓(xùn)練速度快、解耦簡(jiǎn)單、調(diào)參容易等優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)輸入數(shù)據(jù)比較敏感以及對(duì)神經(jīng)元數(shù)比較依賴的特點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不穩(wěn)定，解耦后的最大耦合誤差為0.65%。陳偉等^［16］采用改進(jìn)型XGBoost機(jī)器學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)對(duì)力信號(hào)進(jìn)行解耦，結(jié)果顯示：該算法預(yù)測(cè)效果較好，能避免陷入局部最優(yōu)解，且明顯優(yōu)于隨機(jī)森林模型以及傳統(tǒng)多元線性回歸模型。董翔等^［17］提出了一種基于改進(jìn)煙花算法優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)（IFWA-ELM）的解耦算法，解決了極限學(xué)習(xí)機(jī)對(duì)神經(jīng)元數(shù)比較依賴以及對(duì)初始參數(shù)比較敏感的問(wèn)題，顯著降低了解耦誤差。張軍等^［18］針對(duì)壓電式多維力測(cè)力儀維間干擾大、制約測(cè)量精度的問(wèn)題，分析了維間干擾對(duì)測(cè)力儀測(cè)量精度的影響，提出了一種基于支持向量回歸機(jī)（SVR）的非線性解耦算法，并采用混合模擬退火算法（HSA）尋找SVR參數(shù)的最優(yōu)解，結(jié)果表明：經(jīng)過(guò)解耦后傳感器的維間干擾最大為0.52%，非線性誤差最大為0.21%，顯著提高了傳感器的測(cè)量精度。

本文根據(jù)長(zhǎng)短期記憶（LSTM）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的循環(huán)和記憶原理，提出了基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓電六維力傳感器解耦算法，并應(yīng)用于課題組研制的四點(diǎn)支撐式壓電六維力傳感器研究。

1 傳感器檢測(cè)原理及標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

1.1 六維力傳感器的測(cè)量原理

本文所使用的四點(diǎn)支撐式壓電六維力傳感器，選用石英晶片為壓電材料。由于單片晶體的壓電系數(shù)較低，為保證傳感器具有較高的測(cè)量靈敏度，在進(jìn)行晶組組裝時(shí)，將兩片相同切型的晶片組合為測(cè)力晶組，對(duì)單維力進(jìn)行測(cè)量^［19］。單維測(cè)力晶組結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示。將3種不同方向的測(cè)力晶組用導(dǎo)電膠組合，得到六維力傳感器的單元晶組，如圖1（b）所示。

壓電六維力傳感器的測(cè)量原理是基于石英晶體的壓電效應(yīng)。當(dāng)石英晶片受到外力發(fā)生形變時(shí)，其內(nèi)部產(chǎn)生極化現(xiàn)象，會(huì)在晶片的相對(duì)表面產(chǎn)生等量相反的電荷，且電荷量與外力成正比，這種效應(yīng)一般稱為正壓電效應(yīng)。四點(diǎn)支撐式壓電六維力傳感器實(shí)物如圖2所示。

同時(shí)測(cè)量傳感器中對(duì)稱布置的4個(gè)單元晶組的同向力并進(jìn)行代數(shù)相加，得到三維正交力Fx、Fy、Fz。通過(guò)各方向分力及測(cè)力晶組的位置關(guān)系，得到三維正交力矩Mx、My、Mz。晶組產(chǎn)生的電荷信號(hào)經(jīng)過(guò)電荷放大器轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)后，再通過(guò)信號(hào)調(diào)節(jié)器轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)。

根據(jù)空間力系統(tǒng)平衡原理，設(shè)Fij為單個(gè)單元晶組的測(cè)得力，其中i為單維晶組測(cè)力方向，i=x， y， z；j為單元測(cè)力晶組編號(hào)，j=1～4。定義a為空間外力與傳感器中心的距離，則三維力Fx、Fy、Fz和三維力矩Mx、My、Mz可寫(xiě)為

Fx=Fx1+Fx2+Fx3+Fx4

Fy=Fy1+Fy2+Fy3+Fx4

Fz=Fz1+Fz2+Fz3+Fz4

Mx=a（Fz2－Fz4）

My=a（Fz3－Fz1）

Mz=a（Fy1－Fy3+Fx4－Fx2）（1）

1.2 六維力傳感器靜態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

傳感器標(biāo)定是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)傳感器來(lái)確定待測(cè)傳感器的準(zhǔn)確性和精度的一種校準(zhǔn)方式，通過(guò)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)可以建立待測(cè)傳感器輸入和輸出之間的準(zhǔn)確關(guān)系。同時(shí)，傳感器的輸入力與輸出力可作為解耦實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)集。

在進(jìn)行靜態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)時(shí)，采用課題組研制的六維力傳感器靜態(tài)標(biāo)定臺(tái)作為載荷施加工具開(kāi)展實(shí)驗(yàn)。待標(biāo)定傳感器由螺栓固定于轉(zhuǎn)接板，轉(zhuǎn)接板由螺栓固定于加載臺(tái)。進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，通過(guò)加載頭向傳感器施加穩(wěn)定的力/力矩載荷，如圖3所示，其中 H 為加載點(diǎn)位置與傳感器下平面的高度差。靜態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)的硬件由六維力傳感器靜態(tài)標(biāo)定臺(tái)、標(biāo)準(zhǔn)傳感器（量程為50kN、靈敏度為（2.0±0.005）mV/V）、傳感器樣機(jī)、簡(jiǎn)儀科技JY-61902B型數(shù)據(jù)采集卡、江蘇聯(lián)能YE5850型電荷放大器以及計(jì)算機(jī)端組成。標(biāo)準(zhǔn)傳感器與加載頭通過(guò)螺紋連接，標(biāo)準(zhǔn)傳感器連接有數(shù)值顯示器，可獲取施加載荷。

采用等距逐步加載的方法，對(duì)傳感器：沿 z 方向的加載力 Fz 為0～20kN，步長(zhǎng)為4kN；沿 x 方向的加載力 Fx 為0～3kN，步長(zhǎng)為0.6kN；沿 y 方向的加載力 Fy 為0～3kN，步長(zhǎng)為0.6kN；施加轉(zhuǎn)矩 Mz 為0～150N·m，步長(zhǎng)為30N·m；施加彎矩 Mx 為0～480N·m，步長(zhǎng)為96N·m；施加彎矩 My 為0～150N·m，步長(zhǎng)為30N·m。

沿六維力方向依次施加載荷至滿量程，共進(jìn)行3次實(shí)驗(yàn)，采用重復(fù)性誤差R N 衡量3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏離程度，表達(dá)式如下

R N = Δ r max /F max （2）

式中： Δ r max 為施加相同載荷時(shí)3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最大偏差；F max 為滿量程載荷。

由3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算可得，重復(fù)性誤差最大為1.55%，根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 376，力傳感器標(biāo)定重復(fù)性誤差需小于2%，因此該傳感器符合實(shí)驗(yàn)要求。為減少實(shí)驗(yàn)誤差，取3次實(shí)驗(yàn)的平均值作為最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并采用計(jì)算機(jī)記錄數(shù)據(jù)。圖4～圖9為傳感器輸入載荷與輸出載荷之間的標(biāo)定曲線。

由圖4可見(jiàn)，當(dāng)施加軸向力 Fz 時(shí)，傳感器的各向輸出性能均較好，相間干擾較少。

由圖5可見(jiàn)，當(dāng)沿x方向施加力Fx時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的干擾力矩My。這是由于在進(jìn)行傳感器標(biāo)定時(shí)，傳感器的力學(xué)坐標(biāo)建立在傳感器下平面圓心處，與加載位塊置會(huì)產(chǎn)生高度差H，所以在沿此方向加載時(shí)，會(huì)產(chǎn)生附加力矩My。

由圖6可見(jiàn)，沿y方向施加力Fy，此時(shí)干擾力矩Mx較大。這同樣是因?yàn)榧虞d塊與晶組位置存在高度差，在沿y方向加載時(shí)會(huì)產(chǎn)生附加力矩Mx。

由圖7可見(jiàn)，當(dāng)施加轉(zhuǎn)矩Mz時(shí)，傳感器的各向輸出性能均較好，相間干擾較少。

由圖8可見(jiàn)，施加彎矩Mx時(shí)，亦會(huì)產(chǎn)生一部分橫向載荷的分力，此時(shí)會(huì)存在較大的橫向力Fy干擾。

從圖9可見(jiàn)，加載彎矩My時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一部分橫向載荷的分力，此時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的橫向力Fx干擾。

2 非線性解耦原理及耦合指標(biāo)的確立

2.1 傳感器非線性解耦原理

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）是一種智能學(xué)習(xí)模型，能夠模擬人類(lèi)大腦神經(jīng)系統(tǒng)的工作方式，體現(xiàn)了人腦在并行和分布式信息處理方面的能力，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)智能化。ANN能夠通過(guò)計(jì)算和分析數(shù)據(jù)樣本之間的邏輯關(guān)系和概率分布，揭示樣本的內(nèi)在聯(lián)系。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備強(qiáng)大的非線性處理能力，能夠通過(guò)樣本之間簡(jiǎn)單的邏輯對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)反應(yīng)其復(fù)雜的映射關(guān)系。通過(guò)給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供一定量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，可以建立基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)的多維耦合關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)非線性解耦。本文采用基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法，結(jié)合傳感器標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，對(duì)壓電式六維力傳感器開(kāi)展非線性解耦研究。傳感器非線性解耦算法原理流程圖如圖10所示。

2.2 耦合指標(biāo)的確立

在傳感器測(cè)量指標(biāo)的研究中，對(duì)測(cè)量精度進(jìn)行評(píng)估非常重要。與單維力傳感器的耦合誤差不同，六維力/力矩傳感器耦合誤差包括結(jié)構(gòu)性耦合和誤差性耦合兩種形式^［20］。其中，結(jié)構(gòu)性耦合^［21］主要由標(biāo)定誤差及制造誤差引起，無(wú)法通過(guò)算法將其減??；誤差性耦合主要由傳感器輸出信號(hào)時(shí)各測(cè)量方向之間的干擾誤差引起，可以用Ⅰ類(lèi)誤差和Ⅱ類(lèi)誤差來(lái)評(píng)估傳感器誤差性耦合的測(cè)量精度^［22］。Ⅰ類(lèi)誤差表示傳感器上施加的與傳感器實(shí)際測(cè)得的力/力矩之間的差值占該方向全量程的比例，又稱為靜態(tài)非線性誤差，反映了六維力傳感器加載方向測(cè)量值與實(shí)際加載值之間的偏離程度和6個(gè)維度的線性度，即組間誤差。若 i 表示測(cè)力方向，則傳感器Ⅰ類(lèi)誤差可表示為

eF，i=（F K ，i－F M ，i）/F Q ，i，

e M，i=（M K ，i－M M ，i）/M Q ，i， i=x，y，z（3）

式中：eF，i、eM，i分別為力和力矩的Ⅰ類(lèi)誤差；F K ，i、F M ，i、M K ，i、M M ，i分別為i方向測(cè)量得到的和實(shí)際施加的力、力矩；F Q ，i、M Q ，i分別為i方向力和力矩的全量程值。

Ⅱ類(lèi)誤差表示在某一方向施加力或力矩時(shí)，其他方向受到這一方向干擾所產(chǎn)生的附加干擾力/力矩占這一方向全量程的比重。Ⅱ類(lèi)誤差又稱為靜態(tài)交叉耦合誤差，反應(yīng)了六維力傳感器6個(gè)維度之間的干擾程度，即組內(nèi)誤差。若i、j表示測(cè)力方向，則i對(duì)j方向產(chǎn)生的Ⅱ類(lèi)誤差可表示為

eF，ij=Fij/F Q ，i，

eM，ij=Mij/M Q ，i， i=x， y， z， j=x， y， z， i≠j （4）

式中：eF，ij、eM，ij分別為力和力矩的Ⅱ類(lèi)誤差；Fij、Mij分別為j方向未施加載荷而i方向施加載荷時(shí)，j方向測(cè)得的力和力矩。

采用百分比耦合矩陣表示六維力傳感器的Ⅰ類(lèi)誤差和Ⅱ類(lèi)誤差，表達(dá)式如下

Eαβ=E11E12E13E14E15E16E21E22E23E24E25E26E31E32E33E34E35E36E41E42E43E44E45E46E51E52E53E54E55E56E61E62E63E64E65E66（5）

式中：α、β分別為矩陣的行數(shù)和列數(shù)，α=1～6，β=1～6。α=1～3對(duì)應(yīng)于在x、y、z方向施加力，α=4～6對(duì)應(yīng)于在x、y、z方向施加力矩，β=1～6分別為得到的力在x、y、z方向的誤差和力矩在x、y、z方向的誤差。由上可知，當(dāng)α=β時(shí)，矩陣的對(duì)角線表示傳感器的Ⅰ類(lèi)誤差；當(dāng)α≠β時(shí)，矩陣內(nèi)元素表示傳感器的Ⅱ類(lèi)誤差，即耦合誤差。

3 基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法

3.1 循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本原理

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）能夠捕獲和記住上、下文信息，利用上一時(shí)刻的信息及當(dāng)前時(shí)刻信息共同計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻的輸出結(jié)果，這使得模型能夠生成更準(zhǔn)確更連貫的輸出。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般由輸入層、隱含層和輸出層組成。實(shí)現(xiàn)步驟為：樣本從輸入層輸入，進(jìn)入隱含層進(jìn)行處理并輸出到輸出層；若輸出的解耦數(shù)據(jù)與實(shí)際加載力誤差過(guò)大，則進(jìn)行前向傳播進(jìn)入下次循環(huán)，直至解耦數(shù)據(jù)與實(shí)際加載數(shù)據(jù)的誤差小于預(yù)設(shè)值后停止。RNN循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖11所示，其中x為輸入層，h為隱含層，o為輸出層，W、U、V分別為輸入層、隱含層和輸出層的權(quán)重矩陣，t為時(shí)間。

在RNN循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，在 t =1s時(shí)，初始化隱含層時(shí)間為0，初始化輸入層、隱含層、輸出層權(quán)重矩陣，然后對(duì)下式進(jìn)行計(jì)算

h1=f（Ux1+Wh0+b′ i ）（6）

o1=g（Vh1+b′ o ）（7）

式中：h1、o1分別為t=1 s 時(shí)的隱含層和輸出層；f為隱含層激活函數(shù)，通常為 tanh 函數(shù)；g為輸出層激活函數(shù)，通常為 softmax 函數(shù)；W=［W1，W2，…，Wn］ T 、U=［U1，U2，…，Un］ T 、V=［V1，V2，…，Vn］ T 分別為輸入層、隱含層和輸出層的權(quán)重矩陣；n為權(quán)重矩陣的行數(shù)，其大小由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本數(shù)據(jù)量與深度決定；b′ i 、b′ o 分別為輸入層和輸出層神經(jīng)元的閾值矩陣。

經(jīng)過(guò)時(shí)間 t 后，模型的最終預(yù)測(cè)結(jié)果如下

yt=g（Vht+b′ o ）（8）

式中：yt為t時(shí)刻的輸出層，即最終預(yù)測(cè)結(jié)果；ht為t時(shí)刻的隱含層。

在RNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中，各時(shí)刻使用的閾值b′ i 、b′ o "及權(quán)重U、W、V均相同，這是RNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)循環(huán)計(jì)算的重要前提。

3.2 LSTM循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種特殊的RNN網(wǎng)絡(luò)^［23-24］。傳統(tǒng)的RNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理長(zhǎng)時(shí)間依賴時(shí)會(huì)遇到梯度消失和梯度爆炸的問(wèn)題^［25］，導(dǎo)致層數(shù)比較深的權(quán)重?zé)o法更新，不能繼續(xù)學(xué)習(xí)，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)難以記住和利用長(zhǎng)時(shí)間跨度的信息。

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)設(shè)計(jì)RNN隱含層中的結(jié)構(gòu)，添加記憶細(xì)胞狀態(tài)機(jī)制和門(mén)控機(jī)制，可以解決傳統(tǒng)RNN中長(zhǎng)時(shí)間序列存在的依賴關(guān)系以及梯度消失和梯度爆炸問(wèn)題^［26-28］，并有效處理序列中的噪聲和其它影響因素。圖12展示了LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型。其中，C為細(xì)胞狀態(tài)，ft為遺忘門(mén)輸出向量，ft∈［0，1］，σ為 sigmoid 函數(shù)，it為輸入門(mén)輸出向量，it∈［0，1］，C′t為新細(xì)胞狀態(tài)，o′t為輸出門(mén)的輸出向量，pointwise為點(diǎn)乘操作。

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵在于細(xì)胞狀態(tài)機(jī)制，其通過(guò)隱含層的門(mén)控機(jī)制調(diào)節(jié)信息傳遞。門(mén)控機(jī)制包含一個(gè)sigmoid函數(shù)層和一個(gè)pointwise點(diǎn)乘操作，sigmoid函數(shù)將輸入樣本數(shù)據(jù)壓縮至［0，1］區(qū)間，用于判斷信息的重要程度，其中1為完全記住，0為完全忘記。

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的門(mén)控機(jī)制由遺忘門(mén)、輸入門(mén)、輸出門(mén)組成，因其隱含層中含有4個(gè)交互層，并以獨(dú)特的方式進(jìn)行交互，故每一門(mén)都具有獨(dú)立的權(quán)

重和閾值。在信號(hào)輸入進(jìn)LSTM網(wǎng)絡(luò)時(shí)，第一步就是決定系統(tǒng)要丟棄的信息，此過(guò)程由遺忘門(mén)進(jìn)行，如下所示

ft=σ（W f "ht－1，xt+b f ）（9）

式中：W f 為遺忘門(mén)的權(quán)重矩陣；ht－1為前一時(shí)間步的輸出；xt為當(dāng)前時(shí)間步的輸入；b f 為遺忘門(mén)的閾值矩陣。

輸入門(mén)決定哪部分新的信息會(huì)被存放在細(xì)胞中，其包含兩個(gè)部分：第一部分為sigmoid層，該層決定更新的值，作用效果與遺忘門(mén)相同；第二部分為tanh層，該層為單元更新層，用于創(chuàng)建新的細(xì)胞狀態(tài)C′t。兩部分可分別表示為

it=σ（W i "ht－1，xt+b i ）（10）

C′t= tanh （W C "ht－1，xt+b C ）（11）

式中：W i 為輸入門(mén)權(quán)重矩陣；b i 為輸入門(mén)的閾值矩陣；W C 為更新單元的權(quán)重矩陣，b C 為更新單元的閾值矩陣。

完成遺忘門(mén)與輸入門(mén)的計(jì)算后，需要進(jìn)行細(xì)胞狀態(tài)的更新，此時(shí)要將遺忘門(mén)與輸入門(mén)的輸出信息添加到細(xì)胞狀態(tài)中，即將Ct－1更新為Ct，如下所示

Ct=ftCt－1+itC′t（12）

輸出門(mén)負(fù)責(zé)決定當(dāng)前時(shí)刻的輸出，其組成及原理與輸入門(mén)一致，輸出的最終值為ot，表達(dá)式如下

o′t=σ（W o "ht－1，xt+b o ）（13）

ot=o′t "tanh "Ct（14）

式中：W o 為輸出門(mén)權(quán)重矩陣；b o 為輸出門(mén)閾值矩陣。

3.3 LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦模型設(shè)計(jì)

利用MATLAB軟件的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱，可以方便地構(gòu)建LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基本模型。本文采用5層LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，搭建傳感器非線性解耦算法模型。

解耦實(shí)驗(yàn)所需樣本數(shù)據(jù)集由標(biāo)定實(shí)驗(yàn)獲取，實(shí)驗(yàn)共得到5組標(biāo)定數(shù)據(jù)，每組標(biāo)定數(shù)據(jù)由一個(gè)維度為6×6的矩陣組成，包括36個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（每個(gè)加載方向各6個(gè)），樣本數(shù)據(jù)以組為單位輸入解耦算法。將標(biāo)定數(shù)據(jù)的80%用于訓(xùn)練LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法，20%用于測(cè)試解耦算法的精度。為提升神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度及提高模型的收斂性，利用MATLAB中Mapminmax函數(shù)將實(shí)驗(yàn)所需數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，將樣本數(shù)調(diào)整在［－1，1］之間。這一步不僅提高了計(jì)算效率，還有助于提升模型的整體精度和泛化能力，從而確保解耦算法的可靠性。樣本歸一化公式如下

y=（y max －y min ）（x－x min ）x max －x min +y min （15）

式中：y為歸一化后的數(shù)據(jù)；y max 、y min 分別為目標(biāo)區(qū)間的最大值和最小值；x為待歸一化數(shù)據(jù)；x max 、x min 分別為輸入數(shù)據(jù)的最大值和最小值。

由于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)適用于處理時(shí)間序列數(shù)據(jù)，因此需將標(biāo)定數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換格式。在使用該網(wǎng)絡(luò)時(shí)，可用MATLAB中的Num2cell函數(shù)將六維標(biāo)定數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為單元數(shù)組，以適應(yīng)LSTM網(wǎng)絡(luò)的輸入要求。將轉(zhuǎn)換為單元數(shù)組標(biāo)定數(shù)據(jù)的6個(gè)力值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層數(shù)據(jù)，將標(biāo)定加載的6個(gè)力值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層數(shù)據(jù)。在隱含層中的門(mén)控機(jī)制使用sigmoid函數(shù)作為激活函數(shù)，在生成更新信息時(shí)，使用雙曲正切函數(shù)tanh作為激活函數(shù)，然后添加Relu函數(shù)層對(duì)全連接層的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性激活，最終經(jīng)全連接層和回歸層對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行輸出。基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性解耦算法流程圖如圖13所示。

在構(gòu)建解耦算法模型時(shí)，由于模型的不確定性，無(wú)法準(zhǔn)確獲取最佳神經(jīng)元數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)設(shè)初始隱含層神經(jīng)元數(shù)為10，每增加10個(gè)神經(jīng)元后單獨(dú)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。隱含層神經(jīng)元數(shù)的最優(yōu)解由多次訓(xùn)練的結(jié)果決定。設(shè)置最大迭代次數(shù)為3000，梯度閾值為1，初始學(xué)習(xí)率為0.05。在訓(xùn)練2000次后降低學(xué)習(xí)率，將學(xué)習(xí)率下降因子設(shè)置為0.01，每次迭代重新隨機(jī)選擇256個(gè)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，其他參數(shù)為默認(rèn)值。采用均方根誤差 E RMSE評(píng)估隱含層神經(jīng)元對(duì)解耦精度的影響，計(jì)算公式如下

E RMSE =1n∑ni=1（Ui－U′i）2（16）

式中：n為樣本數(shù)；Ui、U′i分別為第i個(gè)樣本的真實(shí)值和預(yù)測(cè)值。

對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行多次訓(xùn)練，改變隱含層神經(jīng)元數(shù)得到解耦算法的均方根誤差，如圖14所示。由圖可見(jiàn)，神經(jīng)元數(shù)的改變對(duì)解耦算法影響較大，當(dāng)神經(jīng)元數(shù)為50時(shí)，解耦算法的均方根誤差最小為7.7。

采用上述設(shè)置完成LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法訓(xùn)練，得到輸入層、隱含層和輸出層權(quán)重矩陣的元素個(gè)數(shù)分別為3600、10000、600，輸入層和輸出層閾值矩陣的元素個(gè)數(shù)分別為200、12。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練誤差性能曲線如圖15所示。

3.4 LSTM解耦算法解耦效果分析

采用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法對(duì)傳感器進(jìn)行多維非線性優(yōu)化，得到解耦后的結(jié)果如圖16～圖21所示。

從圖16～圖21可以看出，采用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法對(duì)六維力傳感器的輸出力進(jìn)行解耦后，當(dāng)各向分別施加載荷時(shí)，傳感器的輸出力/力矩曲線顯示出良好的測(cè)力標(biāo)準(zhǔn)和線性度。此外，當(dāng)單獨(dú)施加某一方向的載荷時(shí)，其他方向的輸出力相對(duì)較小，表明傳感器的維間耦合效應(yīng)得到了有效抑制。實(shí)驗(yàn)表明：LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法顯著提高了六維力傳感器的解耦性能，使得各個(gè)方向上的載荷測(cè)量更加精準(zhǔn)。該算法不僅提升了測(cè)量的準(zhǔn)確性和可靠性，還進(jìn)一步驗(yàn)證了LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理非線性耦合問(wèn)題時(shí)的強(qiáng)大能力。

3.5 LSTM解耦算法解耦精度分析

為評(píng)估LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法的誤差性耦合數(shù)值及測(cè)量精度，首先，選取20%未參與訓(xùn)練的標(biāo)定樣本U′進(jìn)行解耦算法精度測(cè)試；然后，將樣本U′作為輸入層數(shù)據(jù)，經(jīng) LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦后得到的輸出力矩陣F′ LSTM ；最后，根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入力F′和解耦后的輸出力F′ LSTM ，通過(guò)式（2）、式（3）計(jì)算，得到 LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法的百分比耦合矩陣E LSTM 。測(cè)試樣本數(shù)據(jù)U′、輸出力矩陣F′ LSTM 及百分比耦合矩陣E LSTM 的具體表達(dá)式如下

U′=6 825.308.10－22.00303.334 150.33－443.33－222.905 936.4067.00－2 923.00－403.67747.33－704.10－715.207 790.00410.00－819.33－29.0054.60－616.5012.00654.3154.20－0.78599.40－24.90－8.0042.00642.00－0.02－12.90－13.50－14.00－5.10－51.84－453.21（17）

F′ LSTM =2 991.641 80.068 70.819 52.637 33.899 9－0.109 31.386 82 987.414 15.237 60.866 00.975 45.776 5－19.997 44.228 419 889.842 08.820 312.594 519.869 8－0.257 80.253 00.318 0478.253 10.394 60.254 7－0.170 10.614 51.088 8－0.050 5478.274 10.882 2－0.167 70.044 90.129 80.067 00.094 6149.474 9（18）

E LSTM =0.278 60.002 30.027 30.087 90.130 00.003 60.046 20.419 50.028 90.030 00.032 50.192 50.100 00.021 10.550 80.044 10.063 00.099 30.053 70.052 70.066 20.363 90.022 10.022 10.035 40.128 00.226 80.010 50.359 60.183 80.111 80.030 00.086 50.044 70.063 00.350 0（19）

由式（19）可以看出，經(jīng)過(guò)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦后，四點(diǎn)支撐傳感器的最大靜態(tài)非線性誤差為0.55%，發(fā)生在采用 Fz 加載時(shí)；最大靜態(tài)交叉耦合誤差為0.23%，發(fā)生在采用 My 加載時(shí)，此時(shí) Fx 的干擾最大。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法的解耦性能，基于標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，選取RBF非線性解耦算法和最小二乘法（LS）線性解耦算法進(jìn)行比較分析。表1給出了采用3種解耦算法時(shí)，得到六維力傳感器百分比耦合矩陣形式（見(jiàn)式（5））的Ⅰ類(lèi)誤差和Ⅱ類(lèi)誤差對(duì)比。3種解耦算法的最大Ⅰ類(lèi)誤差和Ⅱ類(lèi)誤差對(duì)比如圖22所示。

由圖22可見(jiàn)，采用LS線性解耦方法時(shí)，解耦效果較差，解耦后的最大Ⅰ類(lèi)和Ⅱ類(lèi)誤差分別為4.26%、3.25%。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性解耦后的最大Ⅰ類(lèi)和Ⅱ類(lèi)誤差分別為1.29%、1.53%。采用基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法對(duì)六維力傳感器進(jìn)行解耦后，傳感器的最大Ⅰ類(lèi)和Ⅱ類(lèi)誤差分別為0.55%、0.23%。結(jié)果表明：基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的六維力傳感器解耦算法效果理想，滿足了傳感器在使用中兩類(lèi)誤差均低于2%的要求，顯著提升了六維力傳感器的測(cè)量精度和性能。

5 結(jié) 論

為有效提升壓電式六維力/力矩傳感器的測(cè)量精度，降低維間耦合誤差，本文基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開(kāi)展了傳感器非線性解耦算法研究，得到如下主要結(jié)論。

（1）基于壓電效應(yīng)分析了四點(diǎn)支撐式壓電六維力傳感器的測(cè)量原理，并結(jié)合其標(biāo)定實(shí)驗(yàn)闡述了維間耦合產(chǎn)生的原因，確立了傳感器精度測(cè)量指標(biāo)。

（2）分析了傳感器非線性解耦的原理，提出基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的六維力傳感器解耦算法，建立了LSTM解耦算法模型，并利用MATLAB中Mapminmax和Num2cell函數(shù)提升了算法的整體精度和泛化能力。

（3）采用均方根誤差為指標(biāo)，分析對(duì)比了不同隱含層神經(jīng)元數(shù)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度的影響。結(jié)果表明：該指標(biāo)較好地展示了解耦算法的整體解耦效果，在神經(jīng)元數(shù)為50時(shí)，均方根誤差最小，為7.7。

（4）基于獲取的標(biāo)定數(shù)據(jù)分別對(duì)LSTM、RBF以及LS算法進(jìn)行了訓(xùn)練和驗(yàn)證，對(duì)3種模型的解耦結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果顯示：經(jīng)LSTM解耦算法解耦后，傳感器的最大Ⅰ類(lèi)和Ⅱ類(lèi)誤差分別降低至0.55%、0.28%，耦合誤差顯著減小。

本文研究結(jié)果有效降低了傳感器非線性測(cè)量系統(tǒng)中存在的維間耦合問(wèn)題，為高精度力傳感器的開(kāi)發(fā)以及更精確地進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)提供了新的解決方案和理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

［1］唐志共， 袁先旭， 錢(qián)煒祺， 等. 高速空氣動(dòng)力學(xué)三大手段數(shù)據(jù)融合研究進(jìn)展 ［J］. 空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)， 2023， 41（8）： 44-58.

TANG Zhigong， YUAN Xianxu， QIAN Weiqi， et al. Research progress on the fusion of data obtained by high-speed wind tunnels， CFD and model flight ［J］. Acta Aerodynamica Sinica， 2023， 41（8）： 44-58.

［2］周學(xué)文， 閆華東， 呂水燕， 等. 高超聲速火箭橇氣動(dòng)特性優(yōu)化與風(fēng)洞試驗(yàn) ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2024， 58（5）： 156-166.

ZHOU Xuewen， YAN Huadong， L "Shuiyan， et al. Optimization of hypersonic rocket Sled aerodynamic characteristics and wind tunnel tests ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2024， 58（5）： 156-166.

［3］焦林虎， 任宗金， 張軍， 等. 六維壓電風(fēng)洞盒式天平研究 ［J］. 傳感器與微系統(tǒng)， 2024， 43（10）： 31-34.

JIAO Linhu， REN Zongjin， ZHANG Jun， et al. Research on six dimensional piezoelectric wind tunnel box balance ［J］. Transducer and Microsystem Technologies， 2024， 43（10）： 31-34.

［4］李薈霖， 康雨， 趙保華， 等. 基于最小二乘的多維力/力矩傳感器線性解耦算法研究 ［J］. 應(yīng)用物理， 2024， 14（6）： 452-461.

LI Huilin， KANG Yu， ZHAO Baohua， et al. Study of linear decomposition algorithms for multidimensional force/torque sensors based on least squares ［J］. Applied Physics， 2024， 14（6）： 452-461.

［5］彭小武， 馬國(guó)鷺， 趙涌， 等. 三維力傳感器的設(shè)計(jì)和靜態(tài)解耦算法研究 ［J］. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào)， 2021， 34（11）： 1518-1522.

PENG Xiaowu， MA Guolu， ZHAO Yong， et al. Design of three-dimensional force sensor and research on the static decoupling algorithm ［J］. Chinese Journal of Sensors and Actuators， 2021， 34（11）： 1518-1522.

［6］LI Yingjun， WANG Guicong， YANG Xue， et al. Research on static decoupling algorithm for piezoelectric six axis force/torque sensor based on LSSVR fusion algorithm ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2018， 110： 509-520.

［7］王志軍， 張小濤， 李夢(mèng)祥. 基于多項(xiàng)式擬合的六維力傳感器解耦算法研究 ［J］. 工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)， 2023， 30（5）： 571-578.

WANG Zhijun， ZHANG Xiaotao， LI Mengxiang. Research on decoupling algorithm of six-dimensional force sensor based on polynomial fitting ［J］. Chinese Journal of Engineering Design， 2023， 30（5）： 571-578.

［8］石中盤(pán)， 趙鐵石， 厲敏， 等. 大量程柔性鉸六維力傳感器靜態(tài)解耦的研究 ［J］. 儀器儀表學(xué)報(bào)， 2012， 33（5）： 1062-1069.

SHI Zhongpan， ZHAO Tieshi， LI Min， et al. Research on static decoupling of large range flexible joint six-axis force sensor ［J］. Chinese Journal of Scientific Instrument， 2012， 33（5）： 1062-1069.

［9］查浩， 費(fèi)少華， 傅云， 等. 基于EtherCAT總線的六維力傳感器在線解耦技術(shù) ［J］. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）， 2023， 57（10）： 2042-2050.

ZHA Hao， FEI Shaohua， FU Yun， et al. Online decoupling technology of six-dimensional force sensor based on EtherCAT bus ［J］. Journal of Zhejiang University（Engineering Science）， 2023， 57（10）： 2042-2050.

［10］徐志成， 關(guān)佳希， 周興林. 基于ReLU函數(shù)的胎路接觸三向力傳感器解耦方法 ［J］. 儀表技術(shù)與傳感器， 2023（4）： 77-82.

XU Zhicheng， GUAN Jiaxi， ZHOU Xinglin. ReLU function-based decoupling method for tyre path contact three-way force sensors ［J］. Instrument Technique and Sensor， 2023（4）： 77-82.

［11］張家敏， 許德章. 基于蟻群BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的六維力傳感器解耦研究 ［J］. 輕工機(jī)械， 2016， 34（1）： 1-4， 13.

ZHANG Jiamin， XU Dezhang. Study on decoupling algorithms for six-axis force sensor based on ant algorithm and BP neural network ［J］. Light Industry Machinery， 2016， 34（1）： 1-4， 13.

［12］張軍， 王康， 錢(qián)敏， 等. 壓電矢量力傳感器力分量解耦與實(shí)驗(yàn)研究 ［J］. 儀表技術(shù)與傳感器， 2016（1）： 1-3.

ZHANG Jun， WANG Kang， QIAN Min， et al. Component decoupling of piezoelectric vector force sensor and experiment research ［J］. Instrument Technique and Sensor， 2016（1）： 1-3.

［13］LI Yingjun， YANG Cong， WANG Guicong， et al. Research on the parallel load sharing principle of a novel self-decoupled piezoelectric six-dimensional force sensor ［J］. ISA Transactions， 2017， 70： 447-457.

［14］李映君， 韓彬彬， 王桂從， 等. 基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓電式六維力傳感器解耦算法 ［J］. 光學(xué)精密工程， 2017， 25（5）： 1266-1271.

LI Yingjun， HAN Binbin， WANG Guicong， et al. Decoupling algorithms for piezoelectric six-dimensional force sensor based on RBF neural network ［J］. Optics and Precision Engineering， 2017， 25（5）： 1266-1271.

［15］孫世政， 龐珂， 于競(jìng)童， 等. 基于白鯊優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)的三維力傳感器非線性解耦 ［J］. 光學(xué)精密工程， 2023， 31（18）： 2664-2674.

SUN Shizheng， PANG Ke， YU Jingtong， et al. Nonlinear decoupling of 3D force sensors based on WSO-ELM ［J］. Optics and Precision Engineering， 2023， 31（18）： 2664-2674.

［16］陳偉， 張曉， 袁棟， 等. 農(nóng)田耕整載荷六維力傳感器結(jié)構(gòu)優(yōu)化與解耦研究 ［J］. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)， 2024， 55（2）： 28-35， 89.

CHEN Wei， ZHANG Xiao， YUAN Dong， et al. Structural optimization and decoupling of six dimensional force sensor for farmland tillage load ［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2024， 55（2）： 28-35， 89.

［17］董翔， 許子健， 曹會(huì)彬， 等. 基于IFWA-ELM的六維力傳感器解耦算法 ［J］. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào)， 2023， 36（12）： 1943-1951.

DONG Xiang， XU Zijian， CAO Huibin， et al. Decoupling algorithm of Six-Axis force sensor based on IFWA-ELM ［J］. Chinese Journal of Sensors and Actuators， 2023， 36（12）： 1943-1951.

［18］張軍， 蔡佳樂(lè)， 王郁赫， 等. 基于HSA-SVR的壓電式車(chē)削測(cè)力儀多維力解耦 ［J］. 儀表技術(shù)與傳感器， 2024（6）： 26-29.

ZHANG Jun， CAI Jiale， WANG Yuhe， et al. Decoupling for multidimensional force of piezoelectric turning dynamometer based on HSA-SVR ［J］. Instrument Technique and Sensor， 2024（6）： 26-29.

［19］LI Yingjun， WANG Guicong， ZHANG Shuai， et al. Design and calibration of spoke piezoelectric six-dimensional force/torque sensor for space manipulator ［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2024， 37（1）： 218-235.

［20］曹會(huì)彬， 孫玉香， 劉利民， 等. 多維力傳感器耦合分析及解耦方法的研究 ［J］. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào)， 2011， 24（8）： 1136-1140.

CAO Huibin， SUN Yuxiang， LIU Limin， et al. Coupling analysis of multi-axis force sensor and research of decoupling method ［J］. Chinese Journal of Sensors and Actuators， 2011， 24（8）： 1136-1140.

［21］趙鵬， 王桂從， 李映君， 等. 組合式自解耦壓電薄膜三維力傳感器研制 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2023， 57（3）： 139-149.

ZHAO Peng， WANG Guicong， LI Yingjun， et al. Development of combined self-decoupling piezoelectric thin film three-dimensional force sensor ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2023， 57（3）： 139-149.

［22］馬俊青， 宋愛(ài)國(guó)， 吳涓. 三維力傳感器靜態(tài)解耦算法的研究與應(yīng)用 ［J］. 計(jì)量學(xué)報(bào)， 2011， 32（6）： 517-521.

MA Junqing， SONG Aiguo， WU Juan. Research and application of static decoupling for 3-axis wrist force sensor ［J］. Acta Metrologica Sinica， 2011， 32（6）： 517-521.

［23］陳保家， 陳學(xué)力， 沈保明， 等. CNN-LSTM深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 55（6）： 28-36.

CHEN Baojia， CHEN Xueli， SHEN Baoming， et al. An application of convolution neural network and long short-term memory in rolling bearing fault diagnosis ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2021， 55（6）： 28-36.

［24］ZHANG Dongxiao， CHEN Yuntian， MENG Jin. Synthetic well logs generation via recurrent neural networks ［J］. Petroleum Exploration and Development， 2018， 45（4）： 629-639.

［25］吳全玉， 劉美君， 范家琪， 等. 遺傳算法與修正的自適應(yīng)矩估計(jì)優(yōu)化循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的心音分類(lèi)方法 ［J］. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2024， 48（2）： 202-208， 226.

WU Quanyu， LIU Meijun， FAN Jiaqi， et al. Heart sound classification method combining GA with rectified Adam for RNN optimization ［J］. Journal of Nanjing University of Science and Technology， 2024， 48（2）： 202-208， 226.

［26］劉穎， 楊鵬飛， 張立軍， 等. 前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性驗(yàn)證綜述 ［J］. 軟件學(xué)報(bào)， 2023， 34（7）： 3134-3166.

LIU Ying， YANG Pengfei， ZHANG Lijun， et al. Survey on robustness verification of feedforward neural networks and recurrent neural networks ［J］. Journal of Software， 2023， 34（7）： 3134-3166.

［27］LIN Chenxiao， TAN Yidong， WANG Qingxuan. Machine learning-based prediction approach for ranging resolution enhancement of FMCW LiDAR system with LSTM networks ［J］. Optics amp; Laser Technology， 2024， 179： 111299.

［28］張譯文， 王志恒， 邱睿賢， 等. 利用長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的改進(jìn)POD-Galerkin降階模型及其在流場(chǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 ［J］. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2024， 58（2）： 12-21.

ZHANG Yiwen， WANG Zhiheng， QIU Ruixian， et al. Improved POD-Galerkin reduced order model with long short-term memory neural network and its application in flow field prediction ［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2024， 58（2）： 12-21.

（編輯 李慧敏）