具有邊界反饋的Euler-Bernoulli方程的一致穩(wěn)定性

摘要：研究了一類Euler-Bernoulli方程的穩(wěn)定性問題。在邊界反饋條件下，利用算子半群、乘子法和變量替換，建立了能量衰減不等式，證明了Euler-Bernoulli方程的解是一致穩(wěn)定的，推廣了邊界反饋控制作用的情形。

關(guān)鍵詞：抽象系統(tǒng)；矩邊界控制；正則性；算子半群；乘子法

中圖分類號(hào)：O231.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：0253-2395（2025）02-0373-08

0引言

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)理論中的基本問題之一，旨在研究系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，在工程技術(shù)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，是一個(gè)具有實(shí)際意義的研究課題。在眾多的穩(wěn)定性問題中，Euler-Bernoulli方程的穩(wěn)定性問題尤為引人關(guān)注。Euler-Bernoulli 方程是描述彈性細(xì)長(zhǎng)體（如梁、桿）橫向振動(dòng)的經(jīng)典模型，其穩(wěn)定性直接關(guān)系到結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。因此，對(duì)Euler-Bernoulli 方程的穩(wěn)定性問題的研究引起了廣大學(xué)者的興趣［1-9］，產(chǎn)生了一些研究方法，如譜方法、乘子法等，所取得的成果不斷豐富和發(fā)展著偏微分方程中的穩(wěn)定性理論。

在研究Euler-Bernoulli 方程的穩(wěn)定性時(shí)，能量衰減的耗散機(jī)制是通過不同的反饋控制設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)的。Wei等［10］設(shè)計(jì)了一種非線性反饋控制，利用單調(diào)算子理論，證明了具有局部擾動(dòng)的Euler-Bernoulli方程的指數(shù)穩(wěn)定性。Han等［11］構(gòu)造了適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，將指數(shù)穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為不等式方程的可解性，給出了具有內(nèi)部時(shí)間延遲和邊界阻尼的Euler-Bernoulli方程的指數(shù)穩(wěn)定區(qū)域。Bai［12］在混合邊界控制下，利用耗散反饋算子，建立了Euler-Bernoulli方程的能量衰減不等式。Fan等［13］設(shè)計(jì)了一種無(wú)限維擾動(dòng)估計(jì)量，利用Riesz 基方法，證明了在初始條件滿足一定的平滑條件下，閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。Wang等［14］提出了魯棒邊界控制方法，利用算子半群理論和Lyapunov方法，給出了閉環(huán)系統(tǒng)的適定性和一致有界性。Deng等［15］在邊界擾動(dòng)的條件下，應(yīng)用半群方法和Lyapunov函數(shù)，研究了非線性Euler-Bernoulli梁方程的穩(wěn)定性。但以上文獻(xiàn)沒有考慮矩邊界控制的問題。注意到，對(duì)Schr?dinger 方程穩(wěn)定性的研究也提供了Euler-Bernoulli方程穩(wěn)定性的研究思路，如Rebiai［16］在耗散反饋?zhàn)饔孟?，?yīng)用抽象系統(tǒng)、變量替換和乘子法，討論了Schr?dinger 方程的一致穩(wěn)定性。

本文將文獻(xiàn)［16］的方法應(yīng)用到Euler-Bernoulli 方程，在不對(duì)區(qū)域施加任何幾何條件的情況下，考慮邊界反饋僅通過矩起作用的情形，研究Euler-Bernoulli方程的一致穩(wěn)定性，問題的關(guān)鍵是建立非齊次Schr?dinger 方程的一個(gè)正則性估計(jì)。