基于Matlab 給定任意圖的可靠性多項式分析

摘要：文章研究了基于Matlab的任意圖可靠性多項式計算問題。圖的可靠性多項式是一種數學工具，用于計算圖的連通性、最短路徑可靠性等不同可靠性度量。文章首先介紹了圖論的基本概念和圖的可靠性多項式定義，然后利用Mat?lab編程實現了對任意圖可靠性多項式的計算，并據此判斷圖的可靠性。最后，通過具體案例研究，驗證了該方法在不同圖形結構和參數配置下的有效性和準確性，并探討了該方法的局限性和未來可能的改進方向。

關鍵詞：任意圖可靠性多項式；Matlab編程；有效性和準確性；圖的連通性

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）05-0048-03 開放科學（資源服務） 標識碼（OSID） ：

0 引言

研究背景：在圖論中，研究圖的可靠性多項式有助于評估在給定節點或邊失效的情況下，整個圖的連接性和可靠性。可靠性理論是應用數學的一個分支，專注于評估和優化系統在各種失效情況下的性能和可靠性。在網絡分析中，可靠性多項式用于計算或估算系統或網絡在面對不同失效情況時的可靠性指標。Mat?lab提供了強大的工具箱，用于圖論和可靠性分析，這些工具可幫助研究者建模復雜的網絡結構，并利用可靠性多項式分析網絡在不同條件下的表現。對于給定的無向圖G=（V，E），其中V是節點集合，E是邊集合，可靠性多項式R（G;p）是關于失效概率p的多項式，描述了在給定失效概率下，圖G的連接性和可達性。例如，對于網絡中節點或邊具有獨立失效概率p的情況，可靠性多項式可用于計算或估算不同失效概率下網絡仍保持連通或滿足特定要求的概率。研究圖的可靠性多項式不僅是理論探索，也是實際系統設計和優化的重要工具，尤其在大規模網絡和復雜系統中。

研究目的：可靠性多項式可用于評估系統在面對節點或邊失效時的連接性和可達性。通過計算可靠性多項式，可評估給定圖網絡的可靠性。對于工程設計師和系統優化者來說，了解網絡可靠性是設計和改進網絡結構的關鍵。通過分析可靠性多項式，可識別影響系統可靠性的關鍵節點或邊，從而進行有效網絡設計和優化。Matlab在研究和計算可靠性多項式時具有顯著優勢：具備強大的數學計算功能，能處理復雜的數值和符號計算，適用于推導和求解多項式表達式；提供了專門用于圖論和可靠性分析的工具箱，簡化了圖的建模和可靠性分析過程；是一種靈活的編程環境，研究者可輕松編寫自定義腳本和函數來擴展分析功能，適應不同研究和應用需求。本文旨在利用新方法判斷圖網絡的可靠性，探討如何利用可靠性多項式生成對應的可靠性特征值來分析任意給定圖的可靠性，以及在此過程中應用Matlab的方法和技術。

研究方法：本文巧妙運用Matlab的數學計算功能和編程工具，通過給定任意圖的鄰接矩陣構造對應的可靠性多項式，生成可靠性特征值，并通過分析特征值來確定圖網絡的可靠性。若可靠性特征值全為非零整數，則圖網絡可靠；若存在一個或多個特征值為0，則圖網絡不可靠。通過本文研究，讀者將深入理解可靠性多項式的工作原理，并學會如何利用現代計算工具（如Matlab） 從實際數據中提取有價值的信息。

1 相關方法概述

在判斷任意圖可靠性的過程中，圖的可靠性直接影響最終判斷的準確性。為提高圖的可靠性判斷準確性，須進行一系列預處理操作。通過圖的鄰接矩陣，在Matlab的坐標區生成對應圖形。經過預處理，可準確觀察圖的連通性和各頂點的度，有助于后續生成對應圖的可靠性多項式、通過多項式生成特征值、判斷圖是否可靠。

求可靠性多項式的特征值是判斷圖可靠性過程中的關鍵步驟。設簡單圖G=（V（G），E（G）），其中V（G）代表圖G的頂點集，E（G）代表圖G的邊集，|V（G）|為圖G 的頂點數，|E（G）|為圖G的邊數。設A（G）=[aij]是給定任意圖的鄰接矩陣，其中aij=1當且僅當頂點Vi 和Vj 相鄰，否則aij=0。記鄰接矩陣A（G）的特征多項式為P（A（G），λ）=det（λI-A（G））=|λI-A（G）|，其中I為單位矩陣。生成對應特征多項式后，可清晰看到各項系數，為求特征值提供方便。

在求取特征值方面，有多種算法能精確求取特征值。線性代數方法論通過觀察對應圖的鄰接矩陣來分析其特征值情況，而文獻[1]則通過觀察圖的鄰接矩陣是塊對稱矩陣來求取對應特征多項式的特征值。文獻[2]提供了非回溯矩陣中心性的可靠性研究，對本文求取可靠性特征值有所幫助。

在判斷圖是否可靠方面，網絡可靠性能力是評價網絡性能的重要指標。通常采用的方法是求取給定任意無向圖的最小割（MC） 集來判斷圖的可靠性。文獻[3]提供了一種高速、簡單的求取最小割的算法。MC在圖論中也有其他應用，在計算機視覺和圖像處理中，最小割算法廣泛用于圖像分割。圖像可看作加權圖，其中像素點相鄰的權重表示它們的相似性。求取一個圖的最小割能準確判斷圖的可靠性。文獻[4] 的Matlab編程技巧對本文利用Matlab編程展示可靠性結果有所幫助。文獻[5]利用Matlab編程進行總體設計框架展示，對本文具有重要意義。

2 總體設計方案

本文中，給定任意圖的可靠性系統總體設計包括用戶注冊登錄、修改用戶相關信息（包括用戶名和密碼） 、任意圖可靠性判斷、特殊圖可靠性判斷以及空圖可靠性判斷。首先，在注冊界面，系統會在數據庫中完成用戶注冊，包括用戶名和登錄密碼的錄入。隨后，用戶進入登錄界面，輸入注冊時的用戶名和正確密碼完成登錄，進入主界面。若注冊密碼過于簡單，用戶可進入修改密碼界面重新設定密碼。本文對密碼設置進行了相關限制，密碼不能為空，長度必須大于6位，且不能為連續數字。進入系統主界面后，用戶可輸入圖的鄰接矩陣生成圖形，系統根據輸入的圖形生成對應的特征多項式，并計算特征值。通過判斷特征值的情況，輸出可靠性系數。如果可靠性系數為1，則說明輸入的圖是可靠的；若可靠性系數為0，則說明輸入的圖是不可靠的。總體流程如圖1所示，該過程采用Matlab 2023a軟件實現，并在Windows 11系統環境下完成。

2.1 注冊登錄

進入Matlab注冊界面，用戶輸入想要注冊的用戶名和密碼。注冊成功后，進入登錄界面，用戶可在此界面修改用戶名和密碼，也可直接進行登錄操作。在注冊時，用戶名和密碼的設置須滿足一定條件，如密碼長度不能低于6位，用戶名不能為連續數字等。注冊成功后，點擊登錄按鈕即可跳轉到登錄界面進行登錄。

在登錄界面，用戶須正確輸入注冊時的用戶名和密碼，點擊登錄按鈕后，系統會提示登錄成功并跳轉到主界面。同時，用戶在登錄操作時，密碼須滿足長度限制條件，不能為空且長度不能低于6位。若用戶輸入連續數字作為密碼，將無法完成登錄，系統會提示登錄失敗并停留在登錄界面。

2.2 修改用戶信息

在Matlab修改密碼界面，系統首先會獲取用戶的用戶名。用戶須兩次輸入新密碼以確認一致性，若兩次輸入不一致，系統會提示錯誤。密碼設置須滿足長度限制，不能為空且長度不能低于6位，否則會提示密碼長度須大于6位，并要求兩次密碼保持一致。修改成功后，系統會提示修改密碼成功，點擊右下方的退出按鈕會跳轉至登錄頁面，此時用戶須重新輸入更改后的密碼進行登錄。

2.3 任意圖可靠性判斷

輸入圖形的節點矩陣和鄰接矩陣，點擊“生成圖形”按鈕會生成相應的圖形，并通過輸入的鄰接矩陣生成對應的特征多項式和計算對應的特征多項式的特征值以及計算對應的可靠性系數，在輸出系統中輸出特征多項式的系數、矩陣特征多項式的值、可靠性系數的大小，通過對可靠性特征值的判斷來確定一個圖網絡的可靠性，完成對可靠性特征值的判斷后生成可靠性系數，如果可靠性系數為1，說明此圖網絡是可靠的，如果可靠性系數為0，說明此圖網絡是不可靠的。

2.4 完全圖的可靠性判斷

輸入完全圖的節點矩陣、鄰接矩陣，點擊“生成圖形”按鈕會生成對應完全圖的圖形，圖形生成后會通過對圖形網絡拓撲的分析生成其特征多項式的系數、特征多項式的值、可靠性系數，通過對可靠性特征值的判斷來確定一個圖網絡的可靠性，完成對可靠性特征值的判斷后生成可靠性系數，如果可靠性系數為1，說明此完全圖是可靠的，如果可靠性系數為0，說明此完全圖是不可靠的。

2.5 空圖的可靠性判斷

輸入空圖的節點矩陣、鄰接矩陣，點擊“生成圖形”按鈕會生成對應空圖的圖形，圖形生成后會通過對圖形的計算得出其特征多項式的系數、特征多項式的值、可靠性系數，通過對可靠性特征值的判斷來確定一個圖網絡的可靠性，完成對可靠性特征值的判斷后生成可靠性系數，如果可靠性系數為1，說明此空圖是可靠的，如果可靠性系數為0，說明此空圖是不可靠的。

3 實驗結果展示

本文的實驗數據部分來源于Matlab 端，通過輸入圖的鄰接矩陣生成對應的圖形，然后對應生成相應的可靠性多項式系數和生成對應可靠性多項式的特征值，通過判斷對應的特征值的情況來確定給定的圖是否可靠。為了避免造成隱私信息泄露，本文在進行實驗前對相應的實驗數據進行了加密保護。由于輸入的圖的鄰接矩陣不相同，所以得到的數據結果也不同，圖形的可靠性也不同。因此，在實驗開始之前，要先確定好圖形的鄰接矩陣，保證可靠性數據大小的統一。本文中所展示的數據僅用于此次實驗，圖2～圖3分別展示了給定的頂點數為3的任意連通無向圖可靠性判斷、頂點數為4的完全圖可靠性判斷。

4 結束語

基于Matlab的給定任意圖的可靠性多項式生成系統旨在生成給定任意圖的可靠性特征多項式，并求出對應的特征值。可靠性特征多項式用于描述圖中的連接可靠性。系統輸入一個圖的鄰接矩陣，計算其相應的可靠性特征多項式，最后通過求特征多項式的特征值來判斷網絡拓撲結構的可靠性，分析無向圖網絡拓撲結構信息。在Matlab軟件中實現了用戶注冊登錄、修改用戶相關信息（包括用戶名和密碼） 、給定任意圖的可靠性判斷、特殊圖的可靠性判斷、空圖的可靠性判斷等功能。通過判斷特征值的情況來確定圖形的可靠性。最后，通過實驗驗證了本文使用的方法能夠準確、快速地判斷給定任意圖的可靠性情況。

參考文獻：

[1] 伍亞魁，簡芳洪.幾個關聯圖的特征多項式和特征值[J].九江學院學報（自然科學版），2015，30（1）：50-52，71.

[2] 彭浩，錢程，趙丹丹，等.基于非回溯矩陣中心性的超圖可靠性研究[J].網絡與信息安全學報，2024，10（1）：22-32.

[3] 雷進軍，張伯泉.查找無向圖中所有最小割集的一種改進算法[J].現代計算機（專業版），2013，19（4）：31-34.

[4] 李紅科，王慶春.基于Matlab的FIR數字濾波器設計[J].微型電腦應用，2024，40（5）：85-87，103.

[5] 張文俊，李小蘭.基于Matlab的車牌識別系統設計與實現[J].電腦知識與技術，2024，20（15）：106-109.

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