基于局部頻率的W 變換方法

摘要： 時頻分析是一種能夠揭示信號頻譜隨時間變化規律的重要方法，在地震信號處理和特征分析等領域具有重要意義。為提高時頻分析的精度，文中提出了一種基于局部頻率的W 變換時頻分析方法。該方法借助局部頻率獲得信號的平滑主頻率，然后將該平滑主頻率應用于W 變換，進而得到信號的時頻譜。通過局部頻率對主頻率進行平滑處理，有效減少了噪聲的干擾，獲得更為精確的主頻率，從而提高了時頻分析的可靠性。與傳統的S 變換相比，這種基于局部頻率的W 變換在一定程度上克服了高頻段的頻散現象，在低頻段能夠獲得更高的時間分辨率。相較于W 變換，該方法使信號的頻譜能量更好地聚集在能量中心，具有較好的聚焦性。引入局部頻率對W 變換進行改進，提高了時頻分析的精度。最后，本文通過數值試驗驗證了方法的有效性和優越性。

關鍵詞： 時頻分析，W 變換，局部頻率，頻散，低頻陰影

中圖分類號：P631 文獻標識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000?7210. 20230412

0 引言

地震信號由于受到介質的非均勻性的影響，在傳播過程中的散射、吸收、多次反射等現象使得信號的振幅和相位發生變化，呈現出非平穩特性[1]。為了對這種非平穩信號進行分析，人們采用時頻分析方法，結合時間和頻率信息來揭示非穩態信號頻譜隨時間的變化規律[2]。這一方法對于理解信號在不同時間段的頻譜信息、識別瞬時特征等方面具有重要意義。時頻分析方法為地震信號處理以及相關研究和應用提供了有力支持[3?5]。

短時傅里葉變換[6] （Short ? time Fourier Trans?form， STFT）利用窗函數將一個長信號分割成多個長度相同的短時段信號，并對每個短時段信號進行傅里葉變換，揭示信號頻譜隨時間的變化規律。STFT 應用廣泛，但其受海森堡原理（測不準原理）的限制[7]，時間分辨率和頻率分辨率存在固有的折衷關系。連續小波變換（Continuous Wavelet Trans?form， CWT）[8] 使用一組可伸縮的小波基函數對信號進行分析。不同尺度的小波基可更好地聚焦于信號的不同部分，具有很好的局部化特征。小波變換被譽為信號處理領域的“顯微鏡”，是非平穩信號分析的重要方法之一[9] 。同步壓縮小波變換[10]（Synch?rosqueezing Wavelet Transform， SSWT） 和同步壓縮短時傅里葉變換[11] （Synchrosqueezing Short?timeFourier Transform， SSTFT）通過能量重排技術將信號的能量壓縮到頻率中心，使頻譜能量得以聚焦，更準確地反應了信號的頻譜特征。另一種重要的時頻分析方法為維格納分布（Wigner ? Ville Distribu?tion， WVD）。該方法通過對信號的自相關函數進行傅里葉變換，獲得信號的頻譜信息。WVD 具有出色的頻譜能量聚焦性，然而受交叉項的影響，其應用受到了一定程度的限制[12]。研究者們致力于通過采用不同的核函數來抑制這些交叉項，在一定程度上提升了WVD 的時頻分析效果[3]。

S 變換 （Stockwell Transform， ST）融合了短時傅里葉變換和小波變換的優勢[13]。該變換在低頻具有較高的頻率分辨率，在高頻具有較高的時間分辨率。另外，ST 兼具相位信息[14]。相位信息對于信號重構、模式識別等處理任務至關重要。在ST 的基礎上，人們對ST 的窗函數進行了研究，提出了多種改進方法。例如，Mcfadden 等[15]分析了不同類型的窗函數對分辨率的影響，改善了ST 中高斯窗函數的限制。Pinnegar 等[16]引入參數，實現了具有縮放特性的窗口，這些改進窗函數后的ST 保留了變換的可逆性，同時在一定程度上提升了時頻分辨率。

為了提高時頻分析的精度，Wang[17]在ST 的基礎上，提出了W 變換（W?transform，WT）。該方法通過對信號的瞬時頻率進行平滑處理，構建依賴于頻率和時間的高斯窗函數。窗函數中的頻率權重隨著頻率與主頻率差的絕對值增加而增加，且關于主頻率對稱。WT 作為ST 的改進，不僅在高頻能夠取得較高的時間分辨率，而且在低頻也具有較高的時間分辨率，在一定程度上提高了ST 的分辨率。然而，WT 窗函數的標準差在主頻率處不可微，會導致頻譜求解中的奇異性。為了解決這一問題，Li等[18]提出了廣義W 變換（Generalized W? transform，GWT）。GWT 通過引入頻率變化高斯標準差對WT 進行改進，獲得了更光滑和靈活的窗函數，從而提高了WT 的精度。此外，Luo 等[19]將匹配追蹤算法引入WT，通過對信號進行局部化分析，獲得了較高的時頻分辨率。為進一步提升時頻分析的精度，Zhao 等[20]提出了啁啾調制的W 變換（W ?transformwith a Chirp Modulated Window， WT ? CMW）。該變換將啁啾調制窗口與WT 相結合，從而提高了WT 的能量集中度。

WT 的關鍵問題之一在于主頻率的計算。由于瞬時頻率的計算是逐點進行的，易受噪聲干擾，所以需要對其光滑處理。例如，可以通過不同的加權平均技術對瞬時頻率平滑處理。 WT 通過沿時間軸對瞬時頻率進行高斯平滑，獲得了光滑的主頻率。另一種平滑處理的思想為Fomel[21]提出的局部地震屬性 （Local Seismic Attribute）。該方法在觀測點的局部小鄰域內，通過整形正則化（Shaping Regular?ization）[22] 方法獲取信號的連續平滑主頻率，稱為局部頻率（Local Frequency）。局部頻率建立在整形正則化方法基礎之上。整形正則化方法為一種基于共軛梯度算法的正則化方法，該方法使得反問題的解空間具有光滑的特性，且能夠抑制信號中的噪聲。本文采用局部屬性求解信號的局部頻率，然后基于這些光滑的局部頻率再應用WT 求解信號的時頻譜。數值試驗表明，這種方法能夠取得較高的時頻分析精度。通過局部頻率對瞬時頻率進行平滑處理，有效地減少了噪聲的影響，從而提高了時頻分析的精度和可靠性。

1 理論基礎

1. 1 S 變換

ST 利用與頻率相關的高斯窗函數對信號進行分段，對截取的小段信號進行傅里葉變換，得到信號的頻譜，其數學表達式為