殘余應(yīng)力對(duì)斜齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響及其動(dòng)力學(xué)分析

關(guān)鍵詞：斜齒輪；殘余應(yīng)力；時(shí)變嚙合剛度；動(dòng)載荷

0 引言

齒輪的時(shí)變嚙合剛度是反映齒輪傳動(dòng)性能的重要指標(biāo)之一，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行有重要影響。隨著交通運(yùn)輸、航空航天、能源等領(lǐng)域的飛速發(fā)展，對(duì)齒輪的使用性能提出了更高要求。但齒輪在惡劣工作條件下易發(fā)生點(diǎn)蝕、剝落、裂紋等故障[1]，為了提高齒輪的綜合性能，一般會(huì)對(duì)其進(jìn)行淬火熱處理，但淬火后的齒輪會(huì)存在大量的殘余應(yīng)力。因此，準(zhǔn)確計(jì)算含有殘余應(yīng)力的斜齒輪時(shí)變嚙合剛度，是研究齒輪動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行了大量研究。馮松等[2]考慮赫茲變形、彎曲變形、剪切變形、齒輪基體變形，計(jì)算了齒輪均勻磨損、微點(diǎn)蝕、宏觀點(diǎn)蝕時(shí)的齒輪時(shí)變嚙合剛度。ENDO等[3]通過(guò)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)，時(shí)變嚙合剛度與齒形幾何誤差是引起齒根裂紋故障與剝落故障不同振動(dòng)響應(yīng)的重要因素。YANG等[4]根據(jù)能量法提出了計(jì)算時(shí)變嚙合剛度的方法。唐進(jìn)元等[5]利用Abaqus分析軟件建立了不同載荷下弧齒錐齒輪的有限元模型，分析了其時(shí)變嚙合剛度。FENG等[6]在切片法的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的分析方法，研究了不同螺旋角、齒輪寬度等對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響。廖平等[7]51-56基于有限元顯式動(dòng)態(tài)分析，改進(jìn)了弧齒錐齒輪時(shí)變嚙合剛度的有限元計(jì)算方法，解決了有限元計(jì)算多次、計(jì)算量大等問(wèn)題。孟宗等[8]考慮齒輪過(guò)渡曲線函數(shù)，建立了完整的齒廓曲線，利用勢(shì)能法分析獲得了更為精準(zhǔn)的時(shí)變嚙合剛度，并分析了含有不同裂紋的6自由度動(dòng)力學(xué)模型。陳勇等[9]61-68將接觸力作為評(píng)價(jià)斜齒輪疲勞點(diǎn)蝕嚴(yán)重程度的參量，通過(guò)仿真和試驗(yàn)分析，研究了不同疲勞點(diǎn)蝕程度的時(shí)域和頻域響應(yīng)。陳慶紅等[10]提出了一種考慮輪齒過(guò)渡曲線的時(shí)變嚙合剛度改進(jìn)方法，推導(dǎo)了齒輪在健康狀態(tài)和裂紋狀態(tài)下的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上求解了振動(dòng)響應(yīng)。王剛強(qiáng)[11]9-16基于時(shí)變嚙合剛度理論以及靜態(tài)傳遞誤差理論，建立了斜齒輪時(shí)變嚙合剛度和傳遞誤差模型，發(fā)現(xiàn)考慮輪體變形影響比不考慮輪體變形影響所形成的力臂更長(zhǎng)，產(chǎn)生的變形和撓度更大。

以上文獻(xiàn)很少考慮殘余應(yīng)力對(duì)齒輪嚙合的影響。然而，齒輪制造過(guò)程中的熱處理是必不可少的環(huán)節(jié)，所以，為了求得準(zhǔn)確的時(shí)變嚙合剛度，應(yīng)考慮淬火殘余應(yīng)力的影響。本文建立了考慮淬火殘余應(yīng)力的斜齒輪時(shí)變嚙合剛度數(shù)值模擬計(jì)算模型；在此基礎(chǔ)上，建立了斜齒輪10自由度動(dòng)力學(xué)模型，分析了淬火殘余應(yīng)力對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響，進(jìn)而分析了其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

1 模型理論

1. 1 殘余應(yīng)力有限元理論

殘余應(yīng)力有限元計(jì)算屬于熱-結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題，只需知道齒輪的溫度場(chǎng)變化規(guī)律，就可求解其應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)變化規(guī)律。殘余內(nèi)應(yīng)力由材料因溫度變化規(guī)律而產(chǎn)生的膨脹與收縮所決定。因此，本文考慮彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變來(lái)求解溫度場(chǎng)下的淬火應(yīng)力場(chǎng)。根據(jù)有限元平衡理論，單元總應(yīng)力與外力平衡[12]，則

式中，B 為節(jié)點(diǎn)位移u 和單元總應(yīng)變?chǔ)?的轉(zhuǎn)換矩陣，BT為B 的轉(zhuǎn)置；σ 為單元應(yīng)力；dV 為單元微體積；P為等效外力。ε與u、B的關(guān)系為

1. 2 時(shí)變嚙合剛度計(jì)算理論

采用單節(jié)點(diǎn)嚙合法[7]51-52，求得每一對(duì)輪齒嚙合時(shí)接觸區(qū)域的節(jié)點(diǎn)齒面法向接觸力與彈性變形，進(jìn)而可以得到從動(dòng)輪（大齒輪）與主動(dòng)輪（小齒輪）接觸區(qū)域的單節(jié)點(diǎn)時(shí)變嚙合剛度，再對(duì)其進(jìn)行線性疊加，即可得到1個(gè)嚙合周期的時(shí)變嚙合剛度。在考慮淬火殘余應(yīng)力時(shí)，單節(jié)點(diǎn)嚙合法能夠有效地將殘余應(yīng)力分布到接觸區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，在模型的準(zhǔn)確性方面表現(xiàn)出色。任意節(jié)點(diǎn)i 的嚙合剛度ki 為

由于斜齒輪嚙合時(shí)接觸面為橢圓形，因此，需要求解主、從動(dòng)輪接觸區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的嚙合剛度，并對(duì)其進(jìn)行線性疊加。得到的主、從動(dòng)輪單齒時(shí)變嚙合剛度kp、kg分別為

2 數(shù)值模型

2. 1 齒輪參數(shù)

本文研究對(duì)象為20CrMnTi斜齒輪對(duì)，其三維幾何模型如圖1所示[11]8-9，其幾何參數(shù)如表1所示。

對(duì)斜齒輪進(jìn)行有限元分析前，需要對(duì)齒輪進(jìn)行有限元前處理，以便有效地消除齒面誤差、提高齒面的精度；然后，采用三維建模軟件建立斜齒輪實(shí)體模型并進(jìn)行網(wǎng)格劃分，通過(guò)細(xì)致的網(wǎng)格劃分操作，特別是在大、小齒輪的齒面相互接觸區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，以確保模型的精確性和數(shù)值穩(wěn)定性，該過(guò)程有助于更準(zhǔn)確地模擬斜齒輪的行為，滿足分析的需求；最后，將模型導(dǎo)入CAE軟件中進(jìn)行計(jì)算。

2. 2 淬火殘余應(yīng)力模型

在有限元理論計(jì)算中，材料與介質(zhì)實(shí)現(xiàn)熱交換的過(guò)程是一個(gè)非線性過(guò)程，各種因素會(huì)使模型變得更為復(fù)雜，因此，淬火過(guò)程只考慮溫度場(chǎng)對(duì)斜齒輪的影響。本文所采用的齒輪材料為20CrMnTi低碳合金鋼。斜齒輪淬火方式為分級(jí)淬火，將初始溫度為850 ℃的斜齒輪放入淬火介質(zhì)中冷卻至80 ℃，然后在25 ℃的空氣中冷卻。其中，淬火介質(zhì)參數(shù)來(lái)源于文獻(xiàn)[15]409-410。主動(dòng)輪淬火網(wǎng)格模型如圖2所示，斜齒輪兩邊的截面設(shè)置為循環(huán)對(duì)稱，齒輪的各個(gè)表面為表面熱交換面。圖2中，A2為齒面中心位置，B 為齒輪芯部位置。油淬時(shí)間為1 800 s，空氣冷卻時(shí)間為3 600 s。

2. 3 時(shí)變嚙合剛度模型

齒輪重合度為4. 2，表明齒輪嚙合時(shí)呈4齒嚙合和5齒嚙合交替出現(xiàn)的情況。為保證齒輪充分嚙合以及在滿足減少嚙合沖擊影響的同時(shí)減少計(jì)算量，本文選擇主動(dòng)輪11個(gè)齒、從動(dòng)輪12個(gè)齒，給定足夠的轉(zhuǎn)角使其穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)齒輪參數(shù)計(jì)算出，主動(dòng)輪某一單齒從齒根處轉(zhuǎn)動(dòng)到齒頂處的轉(zhuǎn)角為36. 78°，為此，該模型轉(zhuǎn)角將大于此角度。根據(jù)計(jì)算得出的嚙合周期為8. 78°，本文以單個(gè)嚙合周期為基礎(chǔ)，計(jì)算其嚙合周期內(nèi)每個(gè)位置的時(shí)變嚙合剛度。

淬火殘余應(yīng)力設(shè)置為時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型的初始邊界條件，以考慮材料狀態(tài)的初始應(yīng)力。設(shè)置彈性模量為210 GPa，泊松比為0. 278，主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為20 900 r/min，從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)矩為2 424 N·m，并且將轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩設(shè)置為逐步增加，以避免在計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生過(guò)大的嚙合沖擊。相互作用設(shè)置為表面與表面接觸，摩擦因數(shù)為0. 15。將主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的軸線中心點(diǎn)作為參考點(diǎn)，并將這些參考點(diǎn)與兩個(gè)齒輪的內(nèi)軸孔表面進(jìn)行耦合。具體模型如圖3所示。

2. 4 動(dòng)力學(xué)模型

為了研究殘余應(yīng)力通過(guò)影響時(shí)變嚙合剛度從而影響振動(dòng)狀態(tài)，本文采用集中參數(shù)法建立10自由度動(dòng)力學(xué)模型，并采用龍格-庫(kù)塔法求解動(dòng)力學(xué)方程。動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示。

式中，kix、kiy、kiz（i 為1或2，1代表主動(dòng)輪，2代表從動(dòng)輪）分別為齒輪i 在x、y、z 方向的支承剛度；cix、ciy、ciz、ciyθ分別為齒輪i 在x、y、z 方向以及y 向扭轉(zhuǎn)的等效阻尼；J1z、J2z分別為主、從動(dòng)輪繞z 方向轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J1y、J2y分別為主、從動(dòng)輪繞y 方向轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m1、m2分別為主、從動(dòng)輪質(zhì)量；T1、T2分別為主、從動(dòng)輪轉(zhuǎn)矩；μ（f f=x、y、z）為x、y、z三個(gè)方向的相對(duì)位移；Ff （f=x、y、z）為x、y、z 三個(gè)方向的嚙合力；cm為嚙合阻尼。具體參數(shù)如表2所示。其中，嚙合阻尼可表示為動(dòng)

3 結(jié)果與討論

3. 1 齒輪淬火殘余應(yīng)力場(chǎng)

圖5所示為淬火后齒輪殘余應(yīng)力場(chǎng)分布。圖6所示為A2點(diǎn)殘余應(yīng)力變化，A1、A3點(diǎn)的殘余應(yīng)力變化情況和A2沒(méi)有太大變化。圖7所示為B 點(diǎn)殘余應(yīng)力變化。圖中，S11、S22、S33分別為x、y、z 方向上的主應(yīng)力。

淬火冷卻的初期，齒輪表面溫度急劇下降，由于熱脹冷縮，表層開(kāi)始收縮，然而芯部仍然較熱，表層的熱收縮受到芯部的抵制，導(dǎo)致表面受到拉應(yīng)力；芯部相對(duì)于表面溫度高，因此，熱膨脹比表層更大，導(dǎo)致芯部受到表層給予的壓應(yīng)力，芯部試圖膨脹，但表層的溫度降低速度較快，使得芯部的膨脹受到了表層的阻礙。此時(shí)，齒輪的殘余應(yīng)力分布表現(xiàn)為表層為殘余拉應(yīng)力，芯部為殘余壓應(yīng)力。在冷卻后期，齒輪材料開(kāi)始發(fā)生相變轉(zhuǎn)換，表層冷卻速度快、溫度低，到達(dá)相變轉(zhuǎn)換溫度更快，芯部溫度高，隨后發(fā)生相變轉(zhuǎn)換。此時(shí)，應(yīng)力場(chǎng)的形成受到了熱應(yīng)力和組織應(yīng)力的共同影響。當(dāng)相變過(guò)程產(chǎn)生馬氏體時(shí)，隨著溫度的下降，材料的體積會(huì)增大，這對(duì)由熱脹冷縮引起的形變產(chǎn)生了反向作用。在這種情況下，齒輪的應(yīng)力表現(xiàn)為表面為壓應(yīng)力，芯部為拉應(yīng)力。其淬火殘余應(yīng)力分布外壓內(nèi)拉的特性與文獻(xiàn)[15]411-412所述相同。

3. 2 齒面接觸力和彈性變形

要計(jì)算齒輪嚙合時(shí)的時(shí)變嚙合剛度，需要得到齒輪接觸時(shí)的齒面法向接觸力以及齒輪齒面接觸點(diǎn)的法向位移。鑒于考慮支撐結(jié)構(gòu)、軸和軸承的變形會(huì)增加問(wèn)題的復(fù)雜性，為簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解，本文只關(guān)注赫茲接觸引起的彈性變形和輪齒彎曲引起的位移變形。

圖8所示為某一時(shí)刻的齒輪齒面接觸力。在殘余應(yīng)力作用下，齒面極少出現(xiàn)較大接觸力。正常嚙合時(shí)，大齒輪的齒面接觸力略低于小齒輪的齒面接觸力。為了探究殘余應(yīng)力對(duì)齒輪接觸的影響，取齒面上3個(gè)特殊的點(diǎn)（A1、A2、A3）進(jìn)行分析。圖9為3個(gè)特征點(diǎn)的齒面法向接觸力-時(shí)間圖。殘余應(yīng)力作用下的齒面接觸力略微減小，但不明顯；但接觸力越大，這種減小的趨勢(shì)越明顯。

圖10所示為彎曲位移變形曲線。曲線出現(xiàn)了2個(gè)負(fù)的峰值，說(shuō)明在整個(gè)嚙合過(guò)程中，整個(gè)齒輪副出現(xiàn)了兩次由5齒嚙合到4齒嚙合的過(guò)程。其中，兩個(gè)負(fù)峰值為4齒嚙合區(qū)，兩個(gè)低谷為5齒嚙合區(qū)；殘余應(yīng)力作用下，齒輪彎曲變形在4齒嚙合時(shí)，變形量增大；而在5齒嚙合時(shí)，變形量減小。圖11所示為齒面接觸變形曲線。齒面接觸變形雖受殘余應(yīng)力作用有微小波動(dòng)，但是變化量卻不明顯。法向接觸力和齒輪的變形出現(xiàn)這種變化，將導(dǎo)致時(shí)變嚙合剛度發(fā)生復(fù)雜的變化。

3. 3 殘余應(yīng)力對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響

圖12所示為綜合時(shí)變嚙合剛度有限元計(jì)算結(jié)果。下一周期的斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度將會(huì)重復(fù)當(dāng)前嚙合周期的時(shí)變嚙合剛度曲線。從圖12可以看出，斜齒輪副從4齒嚙合區(qū)進(jìn)入5齒嚙合區(qū)時(shí)，綜合時(shí)變嚙合剛度會(huì)逐漸增加，最大時(shí)變嚙合剛度出現(xiàn)在5齒嚙合區(qū)。這是因?yàn)樵?齒嚙合區(qū)，兩輪齒接觸時(shí)的齒面接觸面積較大。而在4齒嚙合區(qū)內(nèi)，時(shí)變嚙合剛度存在小波動(dòng)的原因是，齒輪嚙合從5齒嚙合向4齒嚙合轉(zhuǎn)換，會(huì)產(chǎn)生微小嚙合沖擊載荷。

為了驗(yàn)證本文仿真計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，在同一斜齒輪參數(shù)下，對(duì)文獻(xiàn)[11]14-15和本文方法求得的未考慮淬火殘余應(yīng)力的平均嚙合剛度與ISO 6336-1—2006標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了比較。結(jié)果如表3所示。其中，ISO標(biāo)準(zhǔn)平均嚙合剛度為6. 22×105 N/mm。

從表3可以看出，本文方法的計(jì)算結(jié)果與ISO標(biāo)準(zhǔn)接近，平均時(shí)變嚙合剛度相對(duì)誤差為2. 7%，說(shuō)明了模型的可靠性。

圖13所示為有無(wú)殘余應(yīng)力作用的綜合時(shí)變嚙合剛度曲線。殘余應(yīng)力作用下，時(shí)變嚙合剛度曲線出現(xiàn)了波動(dòng)，在5齒嚙合到4齒嚙合的初期，沖擊載荷導(dǎo)致時(shí)變嚙合剛度出現(xiàn)上下波動(dòng)，而殘余應(yīng)力加劇了這種波動(dòng)。5齒嚙合時(shí)，時(shí)變嚙合剛度的峰值也增大得較為明顯。

在整個(gè)嚙合周期內(nèi)，考慮殘余應(yīng)力的時(shí)變嚙合剛度均值為6. 065×105 N/mm，比未考慮殘余應(yīng)力時(shí)的時(shí)變嚙合剛度均值6. 051×105 N/mm略大，曲線變化更符合實(shí)際。因此，計(jì)算時(shí)變嚙合剛度應(yīng)考慮殘余應(yīng)力的影響。

3. 4 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

圖14為齒輪額定功率下3個(gè)方向的動(dòng)載荷時(shí)域圖。采用集中參數(shù)法計(jì)算的無(wú)淬火殘余應(yīng)力齒輪平均周向嚙合力為16 731. 99 N，與根據(jù)轉(zhuǎn)矩和齒輪半徑計(jì)算的周向嚙合力16 717. 23 N相差0. 08%。齒輪動(dòng)載荷分布均勻，且未出現(xiàn)太大沖擊。殘余應(yīng)力作用下齒輪系統(tǒng)的嚙合力發(fā)生明顯波動(dòng)，法向嚙合力峰值比無(wú)殘余應(yīng)力下的大1 843. 2 N，增大了8. 47%，法向嚙合力的幅值差由4 684 N增加到了7 566. 4 N。相比于無(wú)殘余應(yīng)力，有殘余應(yīng)力的沖擊現(xiàn)象明顯加劇，沖擊周期卻并無(wú)明顯變化。

圖15為3個(gè)方向動(dòng)載荷所對(duì)應(yīng)的頻域圖。主動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻fs1=348. 33 Hz，從動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻fs2=98 Hz，嚙合頻率fm=14 281 Hz。在沒(méi)有考慮殘余應(yīng)力的頻譜成分中，以嚙合頻率為主，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻要比從動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻大，這與文獻(xiàn)[9]66-67、文獻(xiàn)[16]的斜齒輪頻譜成分相似，證明了本文運(yùn)用集中參數(shù)法計(jì)算的準(zhǔn)確性。在嚙合頻率及其2倍頻和3倍頻附近出現(xiàn)大量幅值較低的邊頻帶。在轉(zhuǎn)頻區(qū)域，殘余應(yīng)力的存在使幅值譜密度值略有增加；在嚙頻區(qū)域，數(shù)值增大較明顯。其中，法向載荷頻譜的嚙頻幅值譜密度增大了29. 8%，2倍嚙頻的幅值譜密度減小了16. 03%，說(shuō)明淬火殘余應(yīng)力對(duì)高、低頻都有影響。

4 結(jié)論

針對(duì)淬火后斜齒輪表面的殘余應(yīng)力狀態(tài)，建立齒輪嚙合的數(shù)值模型，進(jìn)行了殘余應(yīng)力作用下齒輪時(shí)變嚙合剛度的數(shù)值計(jì)算；考慮時(shí)變嚙合剛度的影響，建立了10自由度動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)分析對(duì)比齒輪彎曲變形、接觸變形、時(shí)變嚙合剛度和動(dòng)態(tài)載荷，得出以下結(jié)論：

1） 齒輪淬火殘余應(yīng)力分布特征表現(xiàn)為外壓內(nèi)拉的狀態(tài)，這種分布特征將會(huì)影響齒輪齒面接觸力和齒輪接觸節(jié)點(diǎn)的位移變形。

2） 對(duì)于齒輪嚙合模型，法向接觸力和接觸變形變化較小，但彎曲變形在4齒嚙合時(shí)增大，在5齒嚙合時(shí)減小，最終導(dǎo)致時(shí)變嚙合剛度在4齒嚙合區(qū)的波動(dòng)加劇，在5齒嚙合區(qū)出現(xiàn)幅值增大的現(xiàn)象。

3） 相較于不考慮殘余應(yīng)力的工況，殘余應(yīng)力作用下的傳動(dòng)系統(tǒng)中， 斜齒輪動(dòng)載荷幅值增加了1 843. 2 N，沖擊載荷比沒(méi)有殘余應(yīng)力的更大。轉(zhuǎn)頻和嚙頻的幅值譜密度增大，但嚙頻變化更大，且法向和周向的嚙頻幅值要比軸向變化得更為明顯。