巧用“放縮圓”模型處理帶電粒子在磁場中的運動問題

【摘要】帶電粒子在勻強磁場中的運動類型有很多，其中“放縮圓”模型適用于粒子射入點的速度方向不變、速度大小變化的情境.對于該模型的教學指導，建議從原理出發梳理模型，講解分析方法，并結合實例，指導學生進行應用強化.

【關鍵詞】放縮圓；帶電粒子；高中物理

1引言

帶電粒子在勻強磁場中的運動問題十分常見，問題解析需要融合物理與幾何知識，即利用物理定理分析運動，結合幾何來確定運動軌跡.“放縮圓”模型在該類問題的解決中運用廣泛，可通過放縮幾何圓的方式來分析、確認帶電粒子的軌跡邊界.

2模型講解

如圖1所示，帶正電的粒子在勻強磁場中運動的軌跡圓，其運動半徑與速度相關，且速度v越大，運動半徑也越大.經分析觀察可知，這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上.從放縮視角來看，其軌跡可視為從射入點開始進行的幾何圓放縮.

結合物理知識分析軌跡半徑和運動周期，可知r=mvqB，T=2πmqB，則放縮圓具有如下特點：速度方向相同、大小不同的粒子源（同種）的運動軌跡半徑r與速度v成正比，運動周期T與速度v無關.

3方法講解

“放縮圓”模型適用于速度方向不變的帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題，其軌道半徑隨射入速度的v變化而變化.分析確認其運動的臨界情境時，把握其核心：粒子剛好飛出磁場或剛好飛不出磁場.

分析問題時需要關注臨界軌跡的兩大特點：（1）軌跡與磁場邊界相切；（2）切點速度方向與邊界重合.可以入射點為定點，對軌道半徑進行放縮，從而作出一系列的軌跡，探索出臨界條件，如圖2所示．

4解題指導

例題如圖3所示，在正方形abcd區域內，有垂直于紙面向里的勻強磁場，O點是cd邊的中點．現有一個帶正電的粒子（重力忽略不計）從O點沿紙面以垂直于cd邊的某一速度射入正方形內，經過時間t0剛好從c點射出磁場．

（1）現設法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向，以各種不同的速率射入正方形內，判斷：粒子能否從正方形的四個頂點射出；

（2）在（1）問的條件下，若該帶電粒子從cd邊射出磁場，計算帶電粒子在磁場中經歷的時間.

解析上述為典型的帶電粒子在磁場中的圓周運動問題，其特點為粒子射入時的速度方向一致，速度大小可變.分析可知，粒子在磁場中的運動軌跡為圓，其半徑與速度大小相關，問題分析可借助“放縮圓”模型.

（1）該粒子從O點以與Od成30°角的方向射入磁場，隨著粒子速度逐漸增大，軌跡由①→②→③→④依次漸變，如圖4所示，則粒子在四個邊射出時，射出范圍分別為OG、FE、DC、BA之間，顯然不能從四個頂點射出.

（2）結合題意可知，帶電粒子的運動周期T＝2t0，結合圖分析，從cd邊射出的粒子圓心角均為300°，則所用時間為56T=53t0.

點評上述問題解析過程中，充分結合了“放縮圓”模型，結合模型的結論直接確定運動軌跡與速度大小的關系，從而確定粒子最終的射出范圍.利用模型分析判斷，避免了復雜的推理計算，可直觀確定其運動軌跡.

5教學建議

本文圍繞磁場中的“放縮圓”模型開展應用教學探究，總結了模型結論，以及對應的解析思路，并結合實例講解應用方法.下面，結合教學實踐提出幾點建議.

建議1數形結合，直觀解讀

物理模型的應用教學中，建議采用數形結合的方法策略，即繪制直觀的圖示，引導學生分析圖形特點，提取特征，后續再結合物理知識計算推理，總結規律.具體教學中可分為三個階段：階段1，示例呈現，引導解讀；階段2，數形分析，提取特征規律；階段3，總結結論，生成模型策略.

建議2實例指導，思路引導

模型應用教學的核心內容為實例指導，即結合具體問題講解模型的應用思路.該環節中，需要注意思路引導，指導學生掌握模型的應用思路.教學中需要注意三點：一是問題分析，引導學生分析問題條件、圖示特征，確定適用的模型；二是結合模型策略，構建解題思路，可合理設問，引導學生思考；三是結合物理知識來計算，得出結論.

建議3深度反思，模型深化

模型教學中還需注意解后反思，即完成解題指導后，引導學生反思解題過程，總結模型應用思路，積累解題經驗.該環節中還需注意引導學生感悟模型，深化提升能力.反思感悟過程可從以下三個方面進行：一是解題思路視角，引導學生反思過程，簡化思路；二是模型應用視角，引導學生思考模型應用的步驟，形成分步策略；三是知識拓展視角，基于模型合理拓展，引導學生總結關聯模型，深刻認識模型規律.

6結語

運用“放縮圓”來解決帶電粒子在勻強磁場中的運動問題，需從物理規律出發分析其運動特點，建立并解讀模型，總結適用范圍及構建思路，并結合實例來指導強化.上述總結的方案也適用于其他模型的教學.在實際教學中，建議結合直觀模型，引導學生逐步理解.