基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計
2025-03-20 00:00:00丁一汪飛陳軍韓清華周建江
系統工程與電子技術 2025年2期
摘 要：雷達檢測性能與目標回波特性相關，設計與目標角域起伏特性相匹配的波形頻率可以提升目標的檢測概率。對此，提出一種基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法。在離線狀態下，通過起伏因子約束下角域劃分、起伏因子最大化角域關聯和異常角域決策三步設計匹配機動目標特性的角度頻率匹配集。在目標跟蹤階段，通過多站雷達擴展探測頻率以優化角域，并根據機動目標在狀態轉移區域內的濾波預測狀態值完成目標回波不確定條件下的雷達節點和輻射頻率參數規劃。仿真結果表明，所提算法在飛機進行勻速直線與協同拐彎交替運動的跟蹤場景中檢測性能顯著提升。
關鍵詞： 機動目標; 目標特性; 啟發式方法; 頻率規劃; 多站雷達
中圖分類號： TN 951
文獻標志碼： ADOI：10.12305/j.issn.1001 506X.2025.02.08
Multi radar waveform design based on heuristic frequency programming
DING Yi1， WANG Fei1， CHEN Jun2，*， HAN Qinghua3， ZHOU Jianjiang1
（1. Key Laboratory of Radar Imaging and Microwave Photonics Ministry of Education， Nanjing University of
Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China; 2. School of Electronic and Information
Engineering， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China;
3. School of Artificial Intelligence， Zaozhuang University， Zaozhuang 277160， China）
Abstract：Radar detection performance is related to target echo characteristics， and the detection probability of target can be improved by designing waveform frequency matching with the angular domain fluctuation characteristics of target. In this regard， a multi radar waveform design algorithm based on heuristic frequency domain programming is proposed. In offline state， the angle frequency matching set for matching the characteristics of maneuvering targets is designed in three steps： angle domain division under fluctuation factor constraints， maximizing angle domain association with fluctuation factors， and abnormal angle domain decision making. In the target tracking stage， the multi station radar extends the detection frequency to optimize the angular domain. According to the filter predicted state value of maneuvering targets in the state transition region， the radar node and radiation frequency parameter programming under the condition of uncertain target echo is completed. Simulation results show that the detection performance of the proposed algorithm is significantly improved in the tracking scenario of alternating motion of uniform straight line and cooperative turning.
Keywords：maneuvering target; target characteristic; heuristic method; frequency programming; multi station radar
0 引 言
雷達散射截面積（radar cross section， RCS）反映了目標對雷達電磁波的反射能力，對雷達探測、目標識別，以及抗干擾能力的研究具有重大影響。在目標檢測時，目標的角度信息以及雷達輻射頻率都會對RCS造成影響。因此，根據目標RCS起伏特性設計最優發射波形頻率，能有效提高目標檢測性能。
在基于目標檢測的最優雷達波形設計研究領域中，積分旁瓣電平（integrated sidelobe level， ISL）、信干噪比（signal to interference plus noise ratio， SINR）和互信息（mutual information， MI）是3個常用指標［1］。在基于ISL的波形設計研究方面，文獻［2］在粒子采樣投影的基礎上提出一種雷達低旁瓣復合波形設計方法，抑制距離旁瓣對檢測性能的影響;文獻［3］提出一種基于譜分布理論的隨機調頻波形設計框架，通過多個隨機調頻波形脈沖壓縮結果的復數累積來減少范圍旁瓣。在基于SINR的波形設計研究方面，文獻［4］設計拉格朗日對偶性半正定松弛和拉格朗日對偶性雙半正定松弛算法，使接收機在最壞情況下的SINR與不確定的目標脈沖響應最大化;文獻［5］以SINR為品質因數對波形進行分解，并利用點追蹤和逐次凸逼近技術分別求解最佳的水平和垂直發射波形，以提升系統的檢測性能?；贛I的波形設計通常被運用在雷達通信一體化場景中，文獻［6］提出通信基站數模波束成形器、下行用戶接收波束成形器和雷達發射波形的協同設計問題，并通過乘子算法的下界最大化和交替方向法進行求解;文獻［7］針對多輸入多輸出陣列的雙功能雷達通信系統的MI最大化波形設計，提出一種高效交替方向乘子法的求解方法，提升了對萊斯目標的檢測性能。
上述算法都是在假設RCS一定的條件下，通過優化與檢測概率相關的各項參數來提升檢測性能，未考慮目標RCS起伏特性對檢測性能的影響?；诖?，本文根據目標RCS起伏特性與檢測概率的數學關系，針對機動目標檢測過程中的波形設計問題，建立機動目標起伏因子最大化波形頻率優化模型，并提出一種啟發式頻率規劃的求解方法。在離線狀態下，通過起伏因子約束下角域劃分、起伏因子最大化角域關聯和異常角域決策3步設計匹配目標特性的角度頻率匹配集。在目標跟蹤階段，根據方位角預測值在該頻率集中完成使各時刻檢測概率最大化的頻率選擇，增強輻射頻率與目標特性的匹配度，從而提升目標的檢測概率。
多站雷達因視野范圍廣、抗干擾能力強等優點得到廣泛應用［8-11］。在實際作戰過程中，使用多站雷達進行目標跟蹤可以擴展探測頻率優化角域，提升系統的檢測性能?；诖?，本文在啟發式頻率規劃算法的基礎上，通過多站雷達擴展探測頻率優化角域，提出一種基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法。該算法使用交互式多模型預測下一時刻的目標位置，以起伏因子最大為約束在規劃后頻率集中完成雷達節點和輻射頻率的選擇，進一步提升目標檢測性能。
1 起伏因子最大化波形設計模型
1.1 目標回波統計特性
目標RCS起伏損耗下的雷達方程為
Pr=PtGtGrλ2σ（4π）3LsLfR4（1）
式中：Pr為接受信號功率;Pt為雷達的輻射功率;Gt為發射天線增益;Gr為接收天線增益;λ為波長;σ為目標的RCS值;Ls為系統損耗;Lf為RCS的起伏損耗;R為雷達和目標之間的距離。
定義Pr包絡的概率密度函數PD（r）服從廣義瑞利分布，則目標的檢測概率PD［12］為
PD=∫PD（r）dr=∫+∞urp20e－r2LfR4+Kλ2σp20LfR4I0rλp20R22KσLfdr（2）
式中：K=PtGtGr（4π）3Ls;u=2p20ln（1/PFA），PFA為目標虛警概率;r為系統噪聲加包絡;p0為系統噪聲功率;I0（·）為零階修正貝塞爾函數。由式（2）得，恒虛警檢測時不同起伏模型下RCS的波動損失隨檢測概率的變化如圖1所示。
由圖1可知，以Swerling模型為例，為保持0.9的檢測概率，Swerling I和Swerling II模型需要對每一串脈沖額外增加9 dB信噪比以補償波動損失，而Swerling III和Swerling IV模型僅需要額外增加4 dB信噪比。因此，合理利用目標RCS先驗信息可以提升目標的檢測概率。
在對目標RCS起伏特性的研究中，χ2分布是一種常用的目標起伏模型，能在不同自由度下與Swerling分布、對數分布和萊斯分布相重合，因此適用場景多，被廣泛應用于雷達探測領域［13］。假設目標RCS為x，x服從均值為α、自由度為2β的χ2分布，則目標RCS的概率密度函數為
f（x）=βΓ（β）αβxαβ－1exp－βxα， xgt;0
0， x≤0（3）
式中：Γ（β）=∫+∞0xβ－1e－xdx 為伽馬函數。由式（3）可以獲得雷達截面積的標準差為
D（x）=E（x2）－E（x）=α2β=αβ（4）
式中：E（x）為RCS的均值。定義起伏因子Q為RCS的均值與標準差之商［14］，由式（4）可得
Q=E（x）D（x）=αβα=β（5）
因此，Q與β成正相關。
為了更好地描述目標RCS起伏對檢測概率的影響，文獻［15］在χ2分布的基礎上將自由度與目標的檢測概率相結合，得出起伏目標的檢測概率PfD為
PfD=ββ∫10∫PFA0zβSNR（－ln z）β－1I0（y，z）dydzΓ（β）（SNR）β（6）
式中：I0（y，z）=I（4ln y·ln z）;SNR為信噪比。文獻［15］對PfD與β的關系進行分析，得出了PfD與β成正相關的結論。本文將起伏因子代入式（6），得到目標的檢測概率為
PfD=Q2Q2∫10∫PFA0zQ2SNR（-ln z）Q2-1I0（y，z）dydzΓ（Q）（SNR）Q2（7）
在式（7）中，由于Q與β成正相關，所以PfD與Q也成正相關。因此，只要有效提升目標RCS的起伏因子，便可以最大化目標的檢測概率。
1.2 目標跟蹤過程波形優化模型
不同的波長、散射機制等因素會對RCS造成影響，對于窄帶雷達，由不同的波形頻率在同一角度下輻射會獲得不同的RCS，由同一波形頻率在不同角度下輻射也會獲得不同的RCS［16-18］。如圖2所示，以方位角范圍為30°～90°時不同輻射頻率下目標的RCS為例，在同一角度下使用不同頻率輻射會獲得不同的目標RCS值。因此，通過設計與目標特性相匹配的雷達輻射頻率可以提升RCS的起伏因子，從而增大目標檢測概率。
對于非機動目標，由于目標狀態轉移矩陣固定，下一時刻目標位置將在一段較小的范圍內變化。如圖3所示，以雷達為波束輻射源對目標飛機進行檢測，目標相對于雷達做勻速直線運動，則目標的RCS的回波信號方向預測值以θk為中心角，以2δk為誤差，在［θk－δk，θk+δk］范圍內起伏變化。由于非機動目標狀態模型固定，因此預測值相對真實值的誤差較小。
假設雷達輻射頻率集為F，F={F1，F2，…，Fm}，第c個采樣時刻雷達輻射頻率為fc，θ角度處的RCS值為xfcθ，RCS回波信號預測角度在以ac為中心角、以［ac－θc，ac+θc］為范圍的區域內起伏變化，則尋找起伏因子最大化頻率Fc的過程可以用以下模型表示：
Fc=arg{ maxfc（Q（ac，fc））}
s.t.0°≤ac≤360°
fc∈F（8）
式中：約束1表示方位角取值范圍;約束2表示輻射頻率取值范圍;Q（ac，Fc）表示以fc為輻射頻率時，以ac為中心角處的起伏因子，其計算公式為
Q（ac，Fc）=∑ac+θcθ=ac-θcxθfc12θc∑ac+θcθ=ac-θc（xθfc-∑ac+θcθ=ac-θcxθfc）2（9）
在雷達電子戰中，機動目標跟蹤是一種更為常見的場景。由于機動目標狀態模型的多變性和難以預測性，下一時刻雷達的探測精度將顯著降低［19-21］。如圖4所示，由于目標運動模型未知，跟蹤階段的綠色部分目標狀態轉移區域相比非機動目標更大。因此，所選頻率必須滿足一段機動角度范圍內的起伏因子最大化。
在原始RCS數據庫中，角度之間呈離散狀態，為了便于統計一段角度范圍的起伏因子，可以將不同頻率輻射時的原始離散方位角劃分為若干角域。假設以頻率fc輻射時第i個角域所包含的角度集合為yfci，則m個不同頻率輻射時的若干角域可以組成集合g：
g={yf11，yf12，…，yf1n1，yf21，yf22，…，yfmnm}（10）
假設第i個方位角角域的第j個方位角為aij，第i個角域共有bi個方位角。由于目標在一定范圍內機動，每個角域所包含的角度個數有上限bupth和下限bdownth。若想讓起伏因子盡可能大，則要求在特定角域內RCS起伏因子大于門限值Qth。
對于機動目標，尋找起伏因子最大化頻率Fc的過程可以用以下模型表示：
Fc=arg{ maxfc（Q（g（aij，fc）））}
s.t.0°≤aij≤360°
fc∈F
Q（g（i，fc））≥Kth
bupth≤bi≤bdownth（11）
式中：約束1表示目標第i個角域的第j個方位角的取值范圍;約束2表示目標輻射頻率的取值范圍;約束3表示目標起伏因子的閾值要求;約束4表示對目標角域劃分的寬度限制。
2 模型求解
2.1 非機動目標頻率規劃
對于非機動目標，該模型的優化過程即在滿足方位角和輻射頻率約束的條件下尋找最大起伏因子。因此，若預測出下一時刻目標的方位角，并根據目標方位角尋找出起伏因子最大的輻射頻率，便可以完成模型的求解。
根據卡爾曼濾波算法的線性動態模型，假設k時刻目標運動狀態值為X（k），目標狀態轉移概率為Φ（k），則k+1時刻目標的理想預測值X^（k+1）可以表示為Φ（k）·X^（k）。在現實環境中，由于環境誤差、傳感器誤差、建模誤差等因素的影響，實際預測值會附加狀態轉移誤差W（k），因此目標k+1時刻的實際預測值可以表示為
X^（k+1）=Φ（k）·X^（k）+W（k）（12）
根據k+1時刻的目標預測位置，可以獲得其估計角度為θ^
（k+1）=h（X^（k+1）），非機動目標的優化模型可以簡化為
Fc=arg{ maxfc（Q（θ^
（k+1），fc））}
s.t.fc∈F（13）
此時，只要取θ^（k+1）處在集合F內起伏因子最大的頻率，便能完成優化模型的求解。
2.2 機動目標頻率規劃
式（11）是一個非線性且非凸的優化問題，難以求得最優解?；诖耍疚奶岢隽艘环N啟發式頻率規劃算法，在離線狀態下進行與目標角度相匹配的最優輻射頻率集設計，并在目標跟蹤過程中按照濾波角度預測值在頻率集中進行選擇，從而獲得近似最優解。
如圖5所示，啟發式頻率規劃在離線狀態下分為3大步驟，分別是起伏因子約束下角域劃分、起伏因子最大化角域關聯和異常角域決策。首先，使用角域劃分，將不同頻率輻射時的角度根據對應RCS起伏因子和角度范圍上下限進行劃分，圖5中實線框選部分為待用角域集合。其次，將已經劃分好的角度范圍以起伏因子最大為約束進行角域關聯，圖5中虛線部分為被選中角域，點劃線代表其順次連接關系。最后，對重疊和空缺的角域進行決策填充，獲得角域與頻率的最優匹配結果。在目標跟蹤過程中，根據每個角度范圍的起伏因子進行頻率選擇，具體求解步驟如下。
步驟 1 采用起伏因子約束下角域劃分算法進行數據預處理
原始RCS數據庫比較龐大，直接從中尋找最優角域是一個循環類比的過程，計算量龐大，難以實現。因此，在進行角域選擇之前，需要對數據進行預處理，去除掉異常數據和起伏因子較小的角域，即通過起伏因子約束下角域劃分算法獲得待用角域集合g。該算法從最小載頻輻射時各角度的RCS數據集開始搜索，若當前角域起伏因子大于某一門限值且角域大小在約束范圍內，則保持起始角度不變并擴大角域，直到繼續擴大無法滿足約束條件時完成當前角域的劃分。再以上一角域的終止角度加1°作為下一角域的起始角度、以角域范圍下限作為下一角域寬度，重復上述步驟，直至當前方位角范圍無法劃分新的角域。遍歷整個數據庫，便可以完成數據的預處理。起伏因子約束下角域劃分算法的具體過程如算法1所示。
算法 1 起伏因子約束下角域劃分算法
輸入 目標RCS數據庫D，RCS波動誤差門限值Qth，輻射頻率集F，輻射頻率間隔fin、搜索角度范圍amin～amax、角度間隔ain、角度范圍上限bupth、角度范圍下限bdownth
輸出 待用角域集合gd
步驟 1 設置頻率fc=F1（F1∈F），初始角域afcfirst=amin。
步驟 2 選擇D中fc對應搜索角度范圍內起始角度為afcfirst，終止角度為afcend的一段，其中afcend－afcfirst+ain=bdownth。
步驟 3 若角域滿足Q（afcfirst～afcend，fc）≤Qth，則將afcfirst～（afcend－ain）劃分為待用角域的一個子集;當Q（afcfirst～afcend，fc） gt; Qth，afcend=afcend+ain;若afcendlt;bupth，繼續執行步驟3，否則將角域afcfirst～afcend劃分為待用角域，并執行步驟5。
步驟 4 afcfirst=afcend+ain，afcend=afcfirst+bdownth。若afcend≤amax，則執行步驟2，否則執行步驟5。
步驟 5 fc=fc+fin。
步驟 6 重復步驟1到步驟5，直至fc≥Fmax。
起伏因子約束下角域劃分算法的流程圖如圖6所示。
步驟 2 以起伏因子最大為目標進行不同頻率間角域的關聯
對待用角域集合gd的處理過程就是尋找匹配目標特性的頻率集、從而使目標起伏因子最大的過程。在實現問題最優化的過程中，動態規劃［22］是一種常用算法。本問題涉及的角度和頻率數目過多，也勢必造成子問題較多，若使用時間復雜度較大的動態規劃算法對子問題進行逐個關聯，則會占用過多資源。因此，需要把整體最優解問題轉化為局部最優解問題，即保證在每個特定角度范圍內RCS的起伏因子最大。
啟發式算法［23］常用來解決復雜非精確問題，是一種經驗性的規則或方法，用于指導算法的選擇。此外，啟發式算法不必關聯所有子問題，只尋求局部最優解，占用資源較少，更容易實現。本文使用啟發式算法來進行已劃分角域的關聯，即起伏因子最大化角域關聯。該算法根據步驟1所得的待用角域集合gd，從最小角度開始依次尋找與上一角域有重疊范圍且起伏因子最大的角域。若沒有符合條件的角域，則尋找與之最近且起伏因子最大的角域，直至包含整個方位角范圍。起伏因子最大化角域關聯算法的具體過程如算法2所示。
算法 2 起伏因子最大化角域關聯算法
輸入 待用角域集合gd
輸出 已關聯角域集合gr
步驟 1 對gd中所有起始角度為ain 的角域進行比較，將該角域中起伏因子最大的角域作為起始角域。
步驟 2 在gd中找到與上一角域重合角度數目為ain 的所有角域。
步驟 3 若在步驟2中沒有找到符合要求的角域，則將重合角度數目在原基礎上加ain。
步驟 4 重復步驟2至步驟3到符合要求的角域，則執行步驟7，否則執行步驟5。
步驟 5 設置間隔角度為0°，即上一角域的終止角度與當前所尋找角域的起始角度間隔為0°，在gd中尋找符合要求的角域。
步驟 6 若在步驟5中無法找到符合要求的角域，則將步驟5的間隔角度在原基礎上加ain°，并重復步驟5。若上一角域的終止角域加上間隔角度后，角域不在數據集內，則算法結束。
步驟 7 在這些角域中找出起伏因子最大的角域作為上一角域的銜接角域，將當前找到的角域設置為上一角域，并繼續執行步驟2。
起伏因子最大化角域關聯算法的流程圖如圖7所示。
步驟 3 對相互重合或存在空缺的異常角域進行決策
在角域關聯算法結束后，存在部分頻率同時被多個角域關聯的情況，也存在部分角度沒有被任何頻率關聯的情況，因此需要對重合、空缺角域決策，從而確保每個角度有且僅有一個角域與之關聯。異常角域決策算法分為兩部分，對于重合的角域，根據兩個相交角域的起伏因子決定其歸屬;對于空缺角域，若其寬度小于最小角域門限值，則將其分別代入兩個鄰近角域計算起伏因子，并將其歸屬為起伏因子較大的角域，否則尋找使得該角域起伏因子最大的頻率與之關聯，并將其劃分為新的角域。異常角域決策具體過程如算法3所示。
算法 3 異常角域決策
輸入 已關聯角域集合gr
輸出 已規劃角度集合gend
步驟 1 對gr中所有角域進行分析，找出重合角度集合g1和空缺角度集合g2。
步驟 2 對gr中互相重合的幾個角域的Q值進行對比判斷，將重合部分分給Q值最高的角域。
步驟 3 將g1中其他角域刪除重合部分后作為新角域。
步驟 4 重復步驟2和步驟3，直到所有重合部分決策完畢，得到集合g3，其中集合滿足g3∩g2=。
步驟 5 判斷g2=是否成立，若成立則算法結束，若不成立則執行步驟6。
步驟 6 判斷最左側空缺角度范圍是否小于bth，若小于bth則執行步驟7，否則執行步驟8。
步驟 7 將空缺角度劃分給起伏因子最大的鄰近角域。
步驟 8 將該空缺角度劃分為一個新范圍，在所有頻率中選擇起伏因子最大的作為頻率。
步驟 9 重復步驟5至步驟8，直到算法結束。
異常角域決策算法的流程圖如圖8所示。
經過上述3大步驟，便可以在離線過程中將角域合理劃分為gend，使各角域所分配的頻率與目標特性相匹配。離線狀態下啟發式頻率規劃的流程圖如圖9所示。
在目標跟蹤階段，使用式（12）可以預測目標在k+1時刻標角度為θ^（k+1），在gend中尋找θ^（k+1）的被包含角域以及該角域所關聯的頻率，便能獲得目標優化模型的最優解。
3 基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計
單站雷達只用一個雷達站點來監測目標和測量目標的特性，其視角固定，難以獲得較為全面的環境信息。作為對角度極其敏感的變量，RCS在不同角度下觀測的結果差別較大。以戰機在方位角范圍為0°～180°時不同輻射頻率下的RCS值為例，如圖10所示，目標在90°等角度范圍內RCS值較差，即使選擇最優頻率，也會造成目標檢測概率過低。因此，使用單站雷達進行目標的檢測與跟蹤容易造成目標丟失。
多雷達是一種由多個雷達站點組成的雷達系統，相比于單站雷達可以提供更全面、準確的信息。常見的多站雷達系統常采用多雷達航跡融合算法，即將系統中每個雷達輻射后的回波信號上傳到融合中心進行航跡融合，從而提升雷達的探測性能［24-27］。
對于目標角度精準預測的場景，Zhu等［28］將傳感器能量集中在目標回波響應最大的頻率上，以最大化檢測性能。在目標回波不確定的場景下，目標角域的回波響應存在起伏特性，本文以與起伏特性相關的目標響應指標起伏因子作為波形設計優化指標，在多雷達對應的目標回波不確定角域-頻率二維平面中尋找起伏因子最大的頻點和對應角度的雷達以進行輻射。
針對該問題，本文提出一種基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法。該算法使用交互式多模型［29］（interacting multiple model， IMM）算法在下一時刻目標估計位置與多站雷達的相對方位角進行頻率的預測，以起伏因子最大為約束進行雷達節點和輻射頻率決策，以實現檢測概率的最大化。
在目標運動過程中，雷達所得參數為目標在各個不同雷達坐標系中的坐標。為便于統一，本文將目標航跡進行從雷達坐標系到目標坐標系的變換。雷達c坐標系中一點的坐標為（xc（t），yc（t），zc（t）），其在目標坐標系中的坐標為（xcT（t），ycT（t），zcT（t）），目標在雷達坐標系中的坐標為（xcR（t），ycR（t），zcR（t）），則（xcT（t），ycT（t），zcT（t））的變換過程如下：
xcT（t）
ycT（t）
zcT（t）=R·xc（t）－xcR（t）
yc（t）－ycR（t）
zc（t）－zcR（t）（14）
變換矩陣R與目標的偏航、俯仰、橫滾角有關［30-32］。
將直角坐標轉換到極坐標，可得雷達i入射的方位角在目標坐標系中為θc（t），目標與雷達i的相對距離為rc（t）。經過坐標轉換后，可利用當前雷達的角度信息找到對應的RCS，整個航跡被轉化為對應的目標RCS序列。
由于本文所提算法在同一采樣時刻只有一個雷達輻射，因此需要對不同雷達坐標系進行變換。本文以雷達c1作為標準雷達坐標系，則其他雷達坐標的變換公式為
xc1c2（t）
yc1c2（t）
zc1c2（t）=xc1（t）－xc2O（t）
yc1（t）－yc2O（t）
zc1（t）－zc2O（t），c1≠c2（15）
式中：（xc2O（t），yc2O（t），zc2O（t））是雷達c2在雷達c1坐標系中的坐標;（xc1c2（t），yc1c2（t），zc1c2（t））是雷達c1坐標系變換到雷達c2坐標系后各點的坐標。
假設目標所有的運動模型構成模型集M，M為
M={m1，m2，…，mr}（16）
式中：mi是指M中的第i個集合。模型從mi到mj的轉換概率為πij。
第k－1個采樣時刻在雷達c1坐標系中的觀測狀態Z（k－1）為
Z（k－1）=［xc1（k－1），yc1（k－1），zc1（k－1）］（17）
已知第k－1個采樣時刻混合輸入狀態值為X^0j（k－1|k－1），目標混合誤差協方差矩陣為P0j（k－1|k－1），則模型為j時目標在第k－1個采樣時刻對第k個采樣時刻的狀態預測值X^j（k|k－1）為
X^j（k|k－1）=Φj（k－1）X^0j（k－1|k－1）（18）
考慮到本文設計的輻射頻率集在一定角度范圍內，因此本文以第k－1個采樣時刻的模型概率預測第k時刻的目標狀態。在第k－1個采樣時刻，目標在j模型下的模型概率［33］為
μj（k－1）=Λj（k－1）∑ri=1πijμi（k－2）∑rj=1∑ri=1Λj（k－1）πijμi（k－2）（19）
式中：Λj（k－1）為第k－1個采樣時刻模型為j的似然函數。
第k個采樣時刻的目標預測值X^（k|k－1）可以表示為
X^（k|k－1）=∑rj=1X^j（k|k－1）μj（k－1）（20）
式中：X^（k|k－1）包含了目標航跡在雷達坐標系中的坐標值。
根據式（15），將估計值從雷達c1坐標系變換到其他坐標系中，得到對應估計值X^c（k|k－1），并將其使用式（14）變換到目標坐標系中，得到X^cT（k|k－1），計算出目標與每個雷達的相對方位角為θc（k）。將θc（k）代入第2節所得的角頻匹配集合gend，可得每個雷達站的最佳匹配頻率為gend（θc（k））。將gend（θc（k））代入RCS數據庫D中，得到對應的起伏因子為Q（θc（k），gend（θc（k））），此時起伏因子最大的輻射頻率Fkc為
Fkc=argmaxgend（θc（k））（Q（θc（k），gend（θc（k））））（21）
取Fkc為k+1時刻的輻射頻率，對應的雷達節點c為k+1時刻的輻射源。
綜上所述，基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法的流程圖如圖11所示。
4 仿真驗證
本文將跟蹤過程建立在二維X Y坐標系中。雷達1～雷達4的位置如圖12所示，圖中各雷達站點坐標分別為（0 km， 0 km）、（-20 km， 0 km）、（-40 km， 0 km）、（-60 km， 0 km）。4個雷達在方位上的量測誤差為±10 m，量測最小間隔為3 s，采樣點數為70。
機動目標初始位置為（-40 km，-40 km），初始運動模型為勻速直線運動，在第21個采樣時刻突變為協同轉彎，在第41個采樣時刻恢復為勻速直線運動，在第56個采樣時刻再次突變為協同轉彎，并保持該運動模型直到仿真結束，目標真實軌跡為圖12中藍色部分。使用IMM對機動目標的軌跡進行預測，預測軌跡為圖12中綠色部分。
假設機載雷達可選擇的輻射頻率范圍為X波段（8～12 GHz），采用靜態電磁仿真軟件根據飛機模型生成RCS數據庫，并從中提取興趣方位角范圍為0°～180°的RCS參數作為仿真所使用的數據。
設置RCS的起伏因子門限xth=0.8，角度范圍上限bupth=40°，角度范圍下限bdownth=1°，采用本文所提啟發式頻率規劃算法得到如圖13所示的頻率角度匹配關系。由圖13可知，算法所得頻率集的頻率種類數為15，遠少于每個角度設置一個頻率的方案，且角域寬度較大，在IMM誤差較大時有更高的頻率選擇準確度。
為了驗證本文算法的性能，分別使用固定頻率法、啟發式動態規劃算法、基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法和基于固定頻率的多雷達波形設計算法對圖12中的軌跡進行跟蹤，其中單站雷達檢測時雷達節點為雷達1，多站雷達檢測時雷達節點為雷達1～雷達4，得到如圖14所示的起伏因子對比圖。
由圖14可知，使用啟發式頻率規劃在70個采樣時刻中共有57個采樣時刻的起伏因子大于固定頻率，使用基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法在70個采樣時刻共有63個時刻起伏因子大于基于固定頻率的多雷達波形設計算法?？紤]到頻率集的大小，本文所提算法在頻率集制作中要求同一個頻率所覆蓋的角度范圍盡可能大，因此會舍棄一些起伏因子較大但是范圍較小的頻率覆蓋圈，造成部分角域本文所提算法的起伏因子小于固定頻率，但無論是單站的啟發式頻率規劃算法或是基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法，整體性能都比固定頻率算法更好。將起伏因子代入式（7），可以得到如圖15所示的檢測概率對比圖。
由圖15可知，使用啟發式頻率規劃在70個采樣時刻中共有57個采樣時刻的檢測概率大于固定頻率，使用基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法在70個采樣時刻共有63個時刻檢測概率大于基于固定頻率的多雷達波形設計算法，與起伏因子具有一致性。從整體性能看，固定頻率法的平均檢測概率為0.635 6，啟發式頻率規劃法的平均檢測概率為0.754 1，相比固定頻率法提升了18.6%。在飛機進行勻速直線與協同拐彎交替運動的跟蹤場景中，基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法的平均檢測概率為0.876 6，相比啟發式頻率規劃算法提升了16.2%，相比固定頻率算法檢測性能提升了37.9%。
為了更好說明本文所提算法對傳感器資源的管理，圖16給出了啟發式頻率規劃算法、基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法和基于固定頻率的多雷達波形設計算法雷達節點的選擇和輻射頻率的分配結果，深藍色部分表示雷達輻射頻率為0，即該雷達節點在當前采樣時刻并未輻射?？梢钥闯?，使用啟發式頻率規劃算法能在目標跟蹤過程中根據不同采樣時刻預測角度自適應更新輻射頻率，基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法也能夠根據當前目標的RCS回波信號進行雷達節點和輻射頻率的自適應選擇，且雷達輻射總次數與單站情況下保持一致。
考慮到布站對多雷達波形設計算法的影響，本文考慮了直線形、S形、正方形、三角形共4種不同幾何布站法，如圖17所示。
使用基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法對4種不同布站方式的檢測性能進行仿真驗證，得到如圖18所示的4種布站輻射頻率分配分布圖和如圖19所示的4種布站平均檢測概率分布圖。
如圖18和圖19所示，本文設計的基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法適合上述4種常見的幾何布站方式，各雷達節點和輻射頻率均能進行合理選擇，且檢測概率均能達到0.75以上。在4種布站方法中，直線形布站和三角形布站的平均檢測性能較優，這是因為式（11）中頻率樣本F的數量對優化目標的結果有顯著影響。相比其他兩種布站方式，直線型布站和三角形布站的各站點與目標之間的相對角度范圍變化較大，落入不同角域的概率增大，也間接增加了頻率樣本F的數量，有利于起伏因子最大化輻射頻率的選擇。
為進一步研究不同布站情況下雷達站點數目對檢測概率的影響，本文對4種布站方式分別進行4站、8站、12站和16站的仿真分析，得到如圖20所示的結果。
從圖20可以發現，隨著站點數目的增加，不同布站的平均檢測概率都獲得了一定程度的提升，但是增加趨勢逐漸放緩。這是因為在同一布站區域內，任意多個站點相對目標的方位角總在一定范圍內，該范圍經啟發式頻率規劃后劃分為有限個角域，也對應有限個輻射頻率。隨著站點數目的增加，新增的可選擇輻射頻率逐漸減少，檢測概率的提升也逐漸減小。
針對基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法，本文選取不同角度范圍上限進行頻率集設計，并對目標使用該頻率集所測起伏因子和檢測概率進行統計，統計結果如表1所示。
由表1可知，對于基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法，若角度范圍上限設置過小，則會引起角域范圍過小;IMM預測誤差較大，會使得預測角度落入錯誤的角度范圍，從而造成頻率選擇錯誤，并使得檢測概率降低。當角度范圍上限過大時，又會造成符合條件的頻率過少，空缺頻率的角域增多，在角域決策步驟填充次優頻率，從而造成目標的平均檢測概率降低。因此，角度范圍上限值設置在40°時為最佳。
此外，在角度范圍上限為1°、上限為40°時，本文選取了不同起伏因子門限進行頻率集設計，并對目標使用該頻率集所測頻率個數和平均檢測概率進行統計，統計結果如表2所示。
由表2可知，當門限過大時，在角域劃分算法步驟被排除的角度過多，導致后續步驟可供挑選的頻率過少，不利于頻率規劃;若門限過小，也會造成符合范圍條件的角域起伏因子過低，降低了頻率預測精度。因此，起伏因子最佳門限值為1.2。
5 結 論
本文針對機動目標檢測時輻射頻率與目標特性失配的問題展開研究，提出一種啟發式頻率規劃算法，以目標RCS起伏因子作為評判標準，在確保每個頻率覆蓋角度最廣的前提下設計匹配目標特性的頻率集，從而增大RCS回波強度，提升目標的檢測概率。在此基礎上，考慮到單站雷達位置固定，在目標反射特性較差的角度仍無法獲得最優回波信號，容易造成目標丟失。本文在啟發式頻率規劃的基礎上通過多站雷達擴展探測頻率優化角域，提出一種基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法。該算法使用啟發式頻率規劃進行頻率集設計，通過IMM預測下一時刻的目標位置，并根據不同雷達相對目標的方位角進行雷達節點和輻射頻率的選擇。仿真結果表明，本文所設計的啟發式頻率規劃算法能夠有效匹配目標頻率特性，且在飛機進行勻速直線與協同拐彎交替運動的跟蹤場景中，基于啟發式頻率規劃的多雷達波形設計算法能在總輻射次數不增加的前提下提升目標的檢測性能。
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作者簡介
丁 一（2001—），男，碩士研究生，主要研究方向為雷達信號處理、雷達射頻隱身。
汪 飛（1976—），男，副教授，博士，主要研究方向為飛機射頻隱身、雷達信號處理、雷達目標探測與識別。
陳 軍（1988—），男，講師，博士，主要研究方向為低截獲概率雷達、雷達目標檢測與跟蹤、雷達通信一體化。
韓清華（1986—），男，副教授，博士，主要研究方向為新體制雷達、雷達資源管理。
周建江（1962—），男，教授，博士，主要研究方向為雷達目標特性分析與控制、飛機射頻隱身、機載電子信息系統、陣列信號處理。
