基于可視化積件的數學文化教學策略研究

隨著新課程改革的不斷深入，將數學文化內容融入數學教學體系已受到教育界的廣泛重視。開展數學文化教育是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）的要求，同時有利于學生進一步理解數學、開闊視野、培養科學探究精神。面對數學文化內容融入教學的挑戰，GeoGebra（簡稱“GGB”）軟件提供了有效的解決方案。筆者立足于2019年人教A版高中數學教材（以下簡稱“教材”），將數學文化內容進行重組和加工后，制作相應的可視化積件，采用多種嵌入方式，實現知識背景的意境化、研究對象的動態化、數學思維的可視化、自主探究的實踐化等目標，旨在探索可視化積件嵌入數學文化教學的途徑與方法，培養學生的幾何直觀素養和人文素養。

一、可視化積件與數學文化

（一）可視化積件

可視化積件是指借助GeoGebra軟件制作或錄屏軟件錄制而成的“可看見”的動態數字化資源，具有可重復使用、靈活重組、開放可積等特點，包括ggb文件、微視頻、微課、gif動畫等積件類型。它們構成了一個多樣化、系列性的可視化教學資源庫。教師可根據教學需要自由選擇、靈活重組，再將其嵌入教學的某個環節中。

（二）數學文化

課標提到，數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。可見，數學文化不僅包括數學成就、方法、典籍、史料等實體內容，而且包括數學家的觀點、思想、精神、價值等意識形態內容，特別是數學家們孜孜不倦的研究精神和一代代數學家的薪火相傳，及體現其中的社會責任感和歷史擔當。依據課標編寫的教材中就蘊含著豐富的承載數學文化的教學內容。

二、可視化積件的嵌入方式

為了更好地開展數學可視化教學，筆者從教材中篩選出適合的數學文化內容，經過重組和加工后，借助GGB軟件和錄屏軟件制作成貼合高中生認知特點的可視化積件。筆者采用多種嵌入方式，將數學史料從“抽象不可見”的自然狀態轉化為“知識背景意境化、研究對象動態化、數學思維可視化、自主探究實踐化”的目標狀態。這一做法旨在引導學生從“看見不可見”，到“想象不可見”，再到“理解不可見”進階，從而培育學生的高階思維能力，提升其幾何直觀素養和人文素養。筆者設計了可視化積件的嵌入方式（如圖1），為同仁提供教學參考，為弘揚和傳承數學文化貢獻一份力量。

（一）GGB文件插入式

GGB文件是可視化積件的單元素材，也是可視化積件最重要的組成部分。GGB文件插入式適合教師一邊操作一邊解說，與學生共同探索規律的教學內容。例如，在推導“柱體、錐體、臺體的體積公式”^[1]過程中，需要在課前引入祖暅原理作為理論支撐。筆者利用GGB文件動態演示祖暅原理（如圖2）：點擊左下方的“復選框”，在斜棱柱和直棱柱間切換，拉動四個滑動條改變棱柱的邊數、長方體的長寬高和三個幾何體的底面積，從而實現“數與形”之間的聯動。借助3D繪圖區的立體圖形，學生可以整體把握知識，觀察右下方的“橫截面平面視圖”，可以了解相應截面形狀的對應變化，而觀察表格中截面面積和相應體積的數值，可使探究細致入微。相較于“教材”的“探究與發現”中以文字和插圖呈現的形式，該可視化積件所展示的三者間的聯系互動，更具有直觀性和靈動性，更能有效推進“冪勢既同，則積不容異”的深度理解。

（二）微視頻輔助式

數學公理、定理和公式的形成是一個漫長而動態的過程，而教材呈現給我們的往往是濃縮的、靜態的、結論性的內容。要想依托數學文化內容將課程講出數學味和文化味，對教師的數學素養和數學文化視野有較高要求。鑒于此，我們不妨發揮團隊合作的精神，分工錄制可視化積件，共享數字化資源。例如，在介紹空間幾何體時，補充《九章算術》中一些著名的幾何體，如塹堵、陽馬等。筆者先用GGB軟件畫出這些幾何體，再用錄屏軟件錄制，同時配上語音解說幾何體的來源、結構特征、相互關系等，這樣就可以在課件中直接插入這些微視頻來輔助相關數學文化的教學。微視頻輔助式不僅釋放了一定的教學時間，還彌補了純語言描述太過抽象和某些教師數學文化素養不足的缺憾（如圖3）。不僅如此，微視頻具有獨特的視覺沖擊力，能讓學生擁有愉悅的情境體驗，從而完成知識的吸收內化和高層次的思維認知，有效提升學生的數學文化素養。當然，對于一些只要求學生在連續變化中尋找規律或欣賞數學美的內容，如圓錐曲線的包絡線、心形曲線等，筆者用ScreenToGif軟件錄制gif動畫。如此，嵌入課件就能自動播放，而教師只需要作必要解說即可。

（三）仿真試驗探究式

波利亞認為，數學既是一門具有系統性、嚴謹性的演繹學科，又是一門試驗性的歸納學科。在數學發展史中有很多經典的數學試驗，比如拋硬幣、擲骰子、布豐投針、高爾頓釘板等。但限于條件，很多試驗現象或規律不方便甚至無法在教學中通過真實試驗來探究。借助信息技術開發的仿真模擬試驗，能為學生創設真實的試驗情境，并以此引發學生對數學問題的深入探索，輕松地解除有些試驗在現實中難以操作的困惑。例如，教材中概率的定義是一種描述性的統計定義，即在試驗次數足夠多的前提下，頻率趨近于概率，但學生因缺少體驗而難以理解^[2]。筆者借助GGB軟件制作可視化積件來模擬拋硬幣或擲骰子的試驗（如圖4），還原概率形成的真實過程，轉變學生的學習方式，讓學生在親自操作過程中理解并認識大量重復試驗的含義，發掘潛藏在數學表象下的規律，感悟數學建模的過程。

（四）系列微課自助式

筆者曾做過一項關于“數學文化融入高中數學學習”的調查，其中有一個問題是：“你比較喜歡下列哪種學習數學文化的方式？（不定項選擇）”選項包括：A.教師在數學課堂上滲透；B.教師組織專題講座或開設選修課程；C.學生自行檢索相關書籍資料；D.學生依托系列微課自助學習；E.其他。本題有效填寫人數為646人，調查結果如下。

四個選項對應的人數、所占比例分別為：422、65.33%；250、38.7%；126、19.5%；348、53.87%。

從調查結果來看，學生除了希望教師在課堂上滲透數學文化以外，也很希望借助系列微課自助學習。微課是一種學生喜聞樂見的自主學習數學文化的方式，若能將它作為課堂教學的補充，必然有助于學生了解知識的來龍去脈，促進學生深入理解知識的本質。

筆者開發了名為“數學文化微課堂”的系列微課。相比上文提到的其他可視化積件，系列微課更具有系統性和完整性。

以《祖暅原理與幾何求積》系列微課為例，它包括四個視頻。一是“祖暅與祖暅原理”：以餐巾環問題引入，介紹數學家祖暅和祖暅原理，借助GGB軟件展示對該原理的形象化理解，并用該原理解釋餐巾環問題；二是“柱體、錐體和臺體的體積”：應用祖暅原理推導柱體、錐體和臺體的體積公式；三是“球體體積公式的推導”：構造輔助體，推導球體的體積公式，過程巧妙至極；四是“從牟合方蓋到球體體積”：從數學文化的角度介紹祖暅原理產生的歷史背景和球體體積公式形成的歷史。

筆者利用系列微課，讓學生在中華民族燦爛的數學歷史中感受數學文化的魅力，了解祖沖之、祖暅父子站在前人劉徽的肩膀上推導出了球的體積公式，其推導過程凝聚著一代又一代人的智慧。推出系列微課，不僅僅是為了讓學生學會利用祖暅原理來推導柱體、錐體、臺體和球體的體積，更重要的是探究數學方法背后的數學思想和數學原理，經歷從已知到未知的探索過程，培養質疑、反思和嚴謹求實的科學精神。

三、可視化積件的使用策略與技巧

經過可視化加工的數學內容固然生動形象、淺顯易懂，能有效促進學生對數學文化的吸收，但過度使用可視化積件也會讓學生對圖形、視頻等產生依賴心理而形成思維的惰性和單線性，阻礙學生的思維層次從直觀走向抽象^[3]。在數學文化教學中，教師應以培養學生的數學核心素養為導向，緊扣教學目標和內容，遵循適時、適度、適切的原則，有效發揮可視化積件的輔助作用。

（一）適時

適時，即把握使用可視化積件的時機。一是隨“景”：抓住該內容講解的時機，及時融入其歷史背景。例如，在介紹球的體積公式時，教師若能從數學文化的角度，以微視頻插入的形式介紹該公式形成的歷史，不僅能讓學生知道球體積公式的來源，而且能將數學家劉徽那種求實創新而不踵古的治學精神傳遞給學生，讓學生感受到古代數學家虛懷若谷的胸懷和謙虛的態度，從而培養學生勇于批判創新、質疑問難的科學精神。二是隨“情”：在學生某種情感比較豐富時融入。例如，微課程《祖暅原理與幾何求積》的最后一個視頻，在學生驚嘆于古代數學家的智慧時提到《綴術》的失傳，致使我們只能從史書的記載中去“想象”這本數學巨著曾經的輝煌，即刻讓學生產生無比遺憾的情緒，恰時恰點地告誡學生：今后在學習傳統文化和數學知識的時候，不僅要熟練掌握這些知識，更要把傳承當作自己的使命，不要讓數學文化消逝在歷史的長河中。

（二）適度

適度，是對可視化積件使用的“度”的把控，即使用可視化積件一定要基于數學文化傳承和學生素養培育，以有效輔助教學。

一是控制使用量度：過度依賴可視化工具會使教學變成一種表演性質的活動，學生長時間面對屏幕而非與教師互動，這不僅削弱了數學課堂的互動性，也違背了以學生為中心的教學理念。教師在教學中使用可視化工具應適度，確保教學活動的核心是師生之間的互動和學生的主動學習。

二是控制使用時機：由于立體圖形需要較強的空間想象力，特別是構造如牟合方蓋這類復雜幾何體時，若不借助可視化軟件展示“不可見”的部分，單靠推理和想象幾乎不可能實現。然而，如果教師僅播放視頻，展示各種輔助體的構造方法來推導球體體積公式，忽略“如何構造”和學生“自主構造”輔助體的推理過程，將導致學生的思維局限于形象思維，阻礙邏輯思維的培養，影響其分析問題和手繪作圖能力的發展。

（三）適切

適切，即貼切自然。

一是依“內容”：使用可視化積件的前提是學生無法通過想象、感知而獲得的數學文化內容，不能或者不易操作的學習環節，又或是需要通過進行模擬試驗驗證、猜想才能獲得的結論，而非任何內容都適合使用。

二是依“目標”：可視化積件的使用應依據教學目標而定。例如，介紹“祖暅原理”僅僅是為推導出“柱體、錐體、臺體的體積公式”提供理論依據，筆者僅需要借助ggb文件，讓學生意會到“冪勢既同，則積不容異”即可，至于定理本身的證明和蘊含的內涵等并不宜在課堂上深入。教師可以提供系列微課等數字化資源，引領學生從課內學習走向課外自學，拓展課堂教學的空間和學習數學文化的維度，實現從課內向課外，由局部向整體的有機延展，使教師的引導和學生的自學相輔相成，共同達成教學目標。

習近平總書記在文化傳承發展座談會上的重要講話中明確指出：“中國文化源遠流長，中華文明博大精深。只有全面深入了解中華文明的歷史，才能更有效地推動中華優秀傳統文化創造性轉化、創新性發展”。捷克教育家夸美紐斯認為“知識的開端永遠必須來自感官”，“在可能的范圍內，一切事物都應該盡量地放在感官跟前”。不可否認的是，可視化積件能帶領我們深入探究數學文化的奧秘，思考數學知識的形成與發展的過程，引領數學文化的未來發展。但過度使用可視化積件也有很多負面影響。教師既要借助可視化積件讓學生“看見不可見”，又要引導學生“想象不可見”，再到“理解不可見”。教師在借助可視化積件來輔助數學文化教學的同時，應秉承章建躍先生的“四個理解”——理解數學、理解學生、理解教學、理解技術，遵循“三適原則”，并兼顧直觀感知與理性分析，保持可視化積件的使用與紙筆作圖之間的動態平衡。

注：本文系浙江省嘉興市教育領域2023年度“數字化改革”專項課題“積件可視化：GeoGebra助力數學史融入高中數學教學的研究”（編號：JZ23229）的研究成果之一。

參考文獻

[1] 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學 必修 第二冊[M].北京：人民教育出版社，2019：121.

[2] 張志勇，張加紅.從入門到精通：十天“玩”轉GeoGebra[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2019.

[3] 張志勇.高中數學可視化教學：原則、途徑與策略：基于GeoGebra平臺[J].數學通報，2018（6）：21-24，28.

（作者系浙江省桐鄉市鳳鳴高級中學數學教師）

責任編輯：祝元志