向量積的課堂教學設計及應用

摘"要：解析幾何與高等數學教材中向量積的概念是由力矩引入的，是學生步入大學之后學習的一種新運算，較為難懂，但又是基本而重要的運算之一，其應用十分廣泛，涉及物理學、數學、工程學、計算機科學等領域。本文對向量積的課堂進行了教學設計，并用日常生活中的實例，如擰開水杯、竹蜻蜓飛行及擰開螺絲等問題引入力矩以及向量積，形成對“向量積”概念性理解的思維鏈。通過這些具體實例，將向量積概念生活化，期望在“課程思政”的方法上有一定的改進，進而加深學生對向量積的理解，提高應用向量積解決問題的能力。

關鍵詞：向量積；向量積的性質；向量積的應用

一、概述

向量積作為一種數學工具，在各個領域都有著廣泛的應用。對于剛剛步入大學的大學生們來說，在解析幾何和高等數學中，向量積作為基礎知識的一部分，是必須被掌握的。然而，向量積的概念較抽象，不易理解，與數量積交錯在一起更是難以理解，且其應用十分廣泛。那么，如何幫助學生們較好地了解向量積，是一直以來備受關注的問題。

二、向量積

（一）向量積的背景

我們知道打開旋轉式水杯時需要逆時針旋轉使杯蓋向上移動從而打開，順時針旋轉使杯蓋向下移動進而擰緊，這是為什么呢？竹蜻蜓是我國古典一大發明，這種簡單而神奇的玩具，曾令西方傳教士驚嘆不已，將其稱為“中國螺旋”。20世紀30年代，德國人根據“中國螺旋”的形狀和原理發明了直升機上天的螺旋槳。我們知道玩竹蜻蜓時，只需要逆時針用力搓竹柄，竹蜻蜓就會飛上天空，旋轉好一會兒后，才會落下來，這又是什么原理呢？在擰螺絲過程中，我們需要計算施加力與螺絲軸線所產生的扭矩（力矩的一種特殊形式）。扭矩越大，螺絲旋轉越快，從而達到擰緊或擰松的目的。在初中我們已經學過，力與轉動軸之間的距離叫作力臂。在物理學中，把力與力臂的乘積叫作力矩［1］。用m→=f→×r→來刻畫，其中m→表示力矩，f→表示力，r→表示力臂，我們可以將力矩表示成如圖1所示。如果力的作用點是A，OA=r→，那么力矩m→=f→×r→。力矩是一個矢量，既有大小也有方向［2］。無論杯子、竹蜻蜓還是螺絲都有中心軸，如圖2所示，逆時針用力時，力矩是向上的，從而杯蓋向上打開、竹蜻蜓向上飛、擰開螺絲，而順時針力矩是向下的，從而杯蓋擰緊、竹蜻蜓向下走、擰緊螺絲。

鑒于力矩在生活中的重要意義，有必要引入向量積的定義，并研究其性質和坐標表示。

（二）向量積的定義［24］

向量a→與b→的向量積（也稱外積）是一個向量，記作a→×b→或［a→，b→］，它的模是a→×b→=a→·b→sinθ，它的方向與a→和b→都垂直，并且按a→，b→，a→×b→這個順序構成右手標架{O；a→，b→，a→×b→}。

注：根據向量積定義可知，向量積有如下幾何意義。

（1）兩個不共線向量a→與b→的向量積的模長等于以a→與b→為鄰邊所構成的平行四邊形的面積。

（2）兩個不共線向量a→，b→的法向量與a→×b→平行。

（三）向量積的性質

1.反交換律：a→×b→=-（b→×a→）

證：如果a→與b→共線，那么a→×b→與b→×a→都是零向量，則等式顯然成立。如果a→與b→不共線，那么a→×b→=a→b→sin∠（a→，b→）=b→a→sin∠（b→，a→），即a→×b→與b→×a→的模相等；又由向量積的定義知，a→×b→與b→×a→都同時垂直于a→與b→，因此，a→×b→與b→×a→是兩個共線向量，其分別按a→，b→，a→×b→與b→，a→，b→×a→的順序構成右手標架O；a→，b→，a→×b→與O；b→，a→，b→×a→。所以，a→×b→與b→×a→的方向相反，得證。

2.結合律：λ（a→×b→）=（λa→）×b→=a→×（λb→）

證：如果λ=0或a→，b→共線，則等式成立。如果λ≠0，且a→，b→不共線，那么因為

λ（a→×b→）=λa→b→sin∠（a→，b→），

（λa→）×b→=λa→b→sin∠（λa→，b→），

a→×（λb→）=a→λb→sin∠（a→，λb→），

所以，向量λ（a→×b→），（λa→）×b→，a→×（λb→）的模相等。當λ＞0時，這三個向量與a→×b→的方向相同；當λ＜0時，這三個向量與a→×b→的方向相反。因此，三個向量方向也相同，從而結合律成立。

3.分配律：（a→+b→）×c→=a→×b→+b→×c→

證：如果a→，b→，c→中至少有一個是零向量或者a→，b→，c→為一組共線向量，則等式顯然成立。下證不是上述情況時，分配律成立。

設c→0為c→的單位向量，證明下式成立：

（a→+b→）×c→0=a→×c→0+b→×c→0。

我們可用下面的作圖法作出向量a→×c→0。如圖3，通過向量a→與c→0的公共始點O作平面π垂直于c→0，自向量a→的終點A引AA1⊥π，A1為垂足，由此得到向量a→在平面π上的射影向量OA1，再將OA1在平面π上繞O點順時針方向（自c→0的終點看平面π）旋轉90°，得OA2，那么OA2=a→×c→0。

事實上，由作圖法知OA2⊥a→，OA2⊥c→0，且{O；a→，c→0，OA2}構成右手標架，所以OA2與a→×c→0同方向。設∠（a→，c→0）=φ，那么OA2=OA1=a→sinφ=a→·c→0·sin∠（a→，c→0），所以OA2=a→×c→0。

如圖4所示，設OA=a→，AB=b→，那么OB=a→+b→。并設OA1，A1B1，OB1分別為OA，AB，OB在垂直于c→0的平面π上的射影向量，再將OA1，A1B1，OB1在平面π內分別繞點O依順時針方向（自c→0的終點看平面π）旋轉90°得OA2，A2B2，OB2，依上述作圖法可知OA2=a→×c→0，A2B2=b→×c→0，OB2=（a→+b→）×c→0，而OB2=OA2+A2B2，所以（a→+b→）×c→0=a→×c→0+b→×c→0。

在上式兩邊乘c→，得（a→+b→）×c→c→0=a→×c→c→0+b→×c→c→0，由于c→=c→c→0，所以結論成立。

（四）向量積的坐標表示

設a→=X1i→+Y1j→+Z1k→，b→=X2i→+Y2j→+Z2k→，那么根據向量積的運算性質可得

a→×b→=（X1i→+Y1j→+Z1k→）×（X2i→+Y2j→+Z2k→）

=X1X2（i→×i→）+X1Y1（i→×j→）+X1Z2（i→×k→）+

Y1X2（j→×i→）+Y1Y2（j→×j→）+Y1Z2（j→×k→）+

Z1X2（k→×i→）+Z1Y2（k→×j→）+Z1Z2（k→×k→），

又因為坐標向量i→，j→，k→是三個兩兩互相垂直的單位向量，所以有i→×i→=0，j→×j→=0，k→×k→=0，i→×j→=k→，j→×k→=i→，

k→×i→=j→，j→×i→=-k→，k→×j→=-i→，i→×k→=-j→，從而得到向量積的坐標表示公式為［5］a→×b→=（Y1Z2-Y2Z1）i→+（Z1X2-Z2X1）j→+（X1Y2-X2Y1）k→=i→j→k→

X1Y1Z1

X2Y2Z2。

（五）混合積［24］

1.混合積的定義及坐標表示

兩個向量a→與b→向量積的結果仍然是向量，可與第三個向量c→計算內積，稱為混合積，記作（a→×b→）·c→或（a→，b→，c→）或（a→b→c→）。

設a→=X1i→+Y1j→+Z1k→，b→=X2i→+Y2j→+Z2k→，c→=X3i→+Y3j→+Z3k→，則結合向量積的坐標表示，可以得到混合積的坐標表示為（a→，b→，c→）=X1Y1Z1

X2Y2Z2

X3Y3Z3。

2.混合積的性質

三個不共面的向量a→，b→，c→的混合積的絕對值等于以a→，b→，c→為棱的平行六面體的體積V，并且當a→，b→，c→構成右手系時混合積是正數；當a→，b→，c→構成左手系時，混合積是負數，也就是有（a→，b→，c→）=εV，當a→，b→，c→是右手系時ε=1；當a→，b→，c→是左手系時ε=-1。

推論：（a→×b→）·c→=a→·（b→×c→）。

（六）雙重向量積［24］

兩個向量a→與b→的向量積的結果仍是向量，可與第三個向量c→計算向量積，最后所得的結果仍然是向量（a→×b→）×c→，叫作所給三向量a→，b→，c→的雙重向量積。

注：根據向量積的定義，我們知道（a→×b→）×c→與c→垂直，并且它與a→×b→垂直，而a→，b→也與a→×b→垂直，所以（a→×b→）×c→和a→，b→共面，即（a→×b→）×c→是和a→，b→共面且垂直于c→的向量。由此，我們可以概括為如下定理：

（a→×b→）×c→=（a→·c→）b→-（b→·c→）a→。

三、向量積的應用

例1：剛體（在物理學中，剛體是指在任何情況下形狀、大小都不發生變化的力學研究對象）以角速度ω繞z軸逆時針旋轉，試表示剛體上一點M的線速度［6］。

解：設點M到旋轉軸z的距離為a，在z軸上任取一點O作向量r→=OM，并以θ表示旋轉軸z軸與r→的夾角，那么a=r→sinθ。設線速度為v→，那么由線速度與角速度的關系可得v→=ω→a=ω→r→sinθ，其中v→垂直于ω→與r→，且ω→，r→，v→符合右手定則。如圖5所示，因此有v→=ω→×r→。

例2：求向量a→=（1，2，3）和b→=（1，1，0）所在平面的法向量。

解：由向量積坐標表示可知a→×b→=i→j→k→

123

111=23

10i→+31

01j→+12

11k→=-3i→+3j→-k→。

由向量積的定義可知，a→×b→既垂直于a→，又垂直于b→，故垂直于a→與b→所在的平面，即a→×b→為所求平面的法向量，故所在平面的法向量為n→=a→×b→=（-3，3，-1）。

例3：已知空間三點A（1，2，3），B（2，-1，5），C（3，2，-5），試求（1）△ABC的面積；（2）△ABC的AB邊上的高。

解：（1）△ABC的面積=12，平行四邊形ABDC的面積=12AB×AC，而AB=（1，-3，2），AC=（2，0，-8），所以由向量積坐標表示可得AB×AC=i→j→k→

1-32

20-8=24i→+12j→+6k→，從而AB×AC=242+122+62=621，所以△ABC的面積為321。

（2）如圖6所示，因為△ABC的AB邊上的高CH是平行四邊形ABDC的AB邊上的高，所以

CH=平行四邊形ABDC的面積AB=AB×ACAB。

又因為AB=1+-32+22=14，所以

CH=AB×ACAB=62114=36。

結語

向量積可用于計算三角形面積、平行四邊形面積及法向量計算等實際問題中。向量積的結果是一個向量，可繼續與向量做內積定義混合積或與向量做向量積定義雙重向量積。混合積可用于計算平行六面體或四面體的體積。本文通過擰開水杯、竹蜻蜓飛行及擰開螺絲中的向量積原理的導入，讓學生認識到數學與物理的緊密聯系以及數學在生活中的廣泛應用，可以有效提高教學效果，培養學生提出問題的能力及將數學概念用于解釋實際現象的能力。

參考文獻：

［1］漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程力學［M］.4版.北京：高等教育出版社，2021.

［2］呂林根.解析幾何［M］.5版.北京：高等教育出版社，2019.

［3］同濟大學數學系.高等數學：下冊［M］.7版.北京：高等教育出版社，2014.

［4］廖華奎，王寶富.解析幾何教程［M］.北京：科學出版社，2000.

［5］鄭平，李明，李樹海，等.向量積在定理證明和公式推導中的運用［J］.甘肅高師學

報，2016，21（12）：6264.

［6］朱穎，劉益民.向量在高中物理教學中的應用［J］.湖南中學物理，2013，28（10）：3538.