警惕分式化簡中的“陷阱”

在分式化簡求值的過程中，隱含條件是一個重要的考慮因素，因為它直接關系到分式的定義域和有效性.解題時如果不注意其中的隱含條件，往往會掉入命題者的“陷阱”.下面分類介紹.

一、分式化簡中值為零的問題

例1 若分式[2x2-8x+2]的值為零，則x2 + 2x + 8的平方根為 .

解：分式的值為0，則2x2 - 8 = 0且x + 2 ≠ 0.

解得x = 2，∴x2 + 2x + 8 = 16，

∴x2 + 2x + 8的平方根為±4. 故填±4.

點評：分式化簡中，分式是否有意義要關注原分式，而不是化簡之后的結果. 此題中若使分式有意義，則原分式中的分母x + 2 ≠ 0，而化簡后的結果為整式2x - 4，沒有限定條件.

二、分式化簡求值中的隱含條件

例2 先化簡，再求值：[x+1+1x-1÷x3x2-2x+1]，其中x是滿足條件x ≤ 2中合適的非負整數.

解：原式 = [x2-1x-1+1x-1·（x-1）2x3=] [x2x-1·（x-1）2x3=x-1x].

∵x - 1 ≠ 0且x ≠ 0，∴x ≠ 1且x ≠ 0，

∴滿足條件x ≤ 2的合適的非負整數為x = 2，∴原式 = [12].

點評：將分式化簡后求值時，除了要關注原分式中分母的非零屬性，還要關注除法轉換為乘法后分母的非零屬性，這屬于隱蔽的條件，是這類題的易錯點. 此題中原分式的分母為x - 1和x2 - 2x + 1，而將除法轉換為乘法后x3變成了分母，同樣也要關注x3的非零屬性.

例3 先化簡[x-1-3x+1] ÷ [x2+4x+4x2+x]，再從 -2， -1，0，1四個數字中選擇一個你喜歡的數代入上式求值.

解：原式 = [x2-1-3x+1·x（x+1）（x+2）2] = [x（x-2）x+2].

∵x + 1 ≠ 0且x2 + x ≠ 0且x2 + 4x + 4 ≠ 0，∴x ≠ -1且x ≠ 0且x ≠ -2，∴x = 1.

當x = 1時，原式 = - [13].

點評：這類題中給定的四個數字往往具有迷惑性，有些同學為了計算的簡便會選擇0，這種選擇恰好落入了命題者精心設計的“陷阱”.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：3分鐘

1. 先化簡[1-1x-1] ÷ [x-2x2-2x+1]，再從1，2，3中選擇一個合適的數作為x的值代入求值.

2.先化簡[x2-2x+1x2-1-1x] ÷ [1x+1]，再在-1，0，1，2中選擇一個合適的數代入求值．

難度系數：★★★★★ 解題時間：8分鐘

3. 先化簡[x+1x-1+1] ÷ [x2+xx2-2x+1] + [2-2xx2-1] ，然后從 - 2 ≤ x ≤ 2的范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值.

4. 先化簡，再求值：[2x+6x2-4x+4]÷[1+5x-2] - [1x-2]，其中x是不等式組[2（x+1）-1≥3，4+xlt;7]的整數解.

（答案見第39頁）

（作者單位：沈陽市渾南區第一初級中學）