勾股定理與一次函數的“雙劍合璧”

勾股定理和一次函數都是初中數學的重點和難點，近年來一次函數和勾股定理結合起來的綜合題在各類考試中更是屢見不鮮.下面舉例介紹.

題型1：一次函數背景下的折疊問題

例1 如圖1，一次函數[y=-43x+4]的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C為線段OA上一點，將△BOC沿直線BC翻折，點O恰好落在一次函數y = -[43]x + 4的圖像上的點O'處.請求出直線BC的函數表達式.

解題策略：折疊問題是初中階段幾何圖形變換的一種重要形式，已然成為各種考試的重點題型，解決此類問題的關鍵在于找到折疊后的對應線段和對應角. 在折疊中利用勾股定理列方程求線段長是常用的方法之一.本題折疊后有BO = BO'，CO = CO'，∠BOC = ∠BO'C = 90°，由此構成Rt△AO'C，列方程可求出OC的長，從而求出直線BC的函數表達式.

解：由一次函數y = - [43]x + 4可得：當x = 0時，y = 4；當y = 0時，x = 3.

∴A（3，0），B（0，4），∴OB = 4，OA = 3.

在Rt△AOB中，∠AOB = 90°，由勾股定理得[AB=OA2+OB2=5].

由折疊可知O'B = OB = 4，O'C = OC，∠BO'C = ∠BOC = 90°，

∴O'A = AB - O'B = 5 - 4 = 1.

設OC = x，則O'C = x，AC = OA - OC = 3 - x.

∵點O'落在直線AB上，∴∠AO'C = 90°.

在Rt△AO'C中，由勾股定理得O'C2 + O'A2 = AC2，即x2 + 12 = （3 - x）2，

解得x = [43]，∴點C[43，0].

設直線BC的函數表達式為y = kx + b，由點B（0，4）和點C[43，0]在直線BC上，

可得[4=b，0=43k+b，]解得[b=4，k=-3.]

∴直線BC的函數表達式為y = -3x + 4.

題型2：一次函數背景下的等腰三角形存在性問題

例2 如圖2，在平面直角坐標系中，已知直線y = -x + 4與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y = kx + 1交于點P（1，m）.

（1）求m和k的值；

（2）連接OP，如圖3，在x軸上找點Q，使得△OPQ為等腰三角形，請求出點Q的坐標.

解題策略：一次函數背景下等腰三角形的存在性問題，一般都涉及分類、畫圖和計算.其解法通常是通過一次函數求出點的坐標，再將坐標轉換成線段長，最后利用線段相等和勾股定理來求解.

解：（1）將點P（1，m）代入直線y = -x + 4中，可得m = 3，

∴點P的坐標為（1，3）.

將點P（1，3）代入y = kx + 1中，可得k = 2.

（2）由（1）可知點P（1，3），過點P作PH ⊥ x軸于點H，則∠PHO = 90°，OH = 1，PH = 3.在Rt△PHO中，由勾股定理可得OP = [10].

①當OP = OQ時，如圖4.

∵OQ1 = OQ2 = OP = [10]，∴Q1（[-10，0]），Q2（[10，0]）.

②當PO = PQ時，如圖5.

∵PH ⊥ x軸，∴OH = Q3H = 1，∴OQ3 = 2，∴Q3（2，0）..

③當QO = QP時，如圖6.

作OP的垂直平分線Q4M，交x軸于點Q4 .

設Q4（x，0），則PQ4 = OQ4 = x.

∵OH = 1，∴HQ4 = x - 1.

在Rt△PHQ4 中，由勾股定理得HQ42 + PH2 = PQ42，即（x - 1）2 + 32 = x2，解得x = 5，∴Q4（5，0）.

∴符合條件的點Q的坐標為（-[10]，0），（[10]，0），（2，0），（5，0）.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：15分鐘

1.如圖7，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點B（16，0），與y軸交于點A（0，12），點C為線段OB上一點.

（1）AB的長為 ，直線AB 的函數表達式為 .

（2）把△AOB沿著直線AC翻折，使得點B落在y軸上，求OC的長．

2.如圖8，在平面直角坐標系中，一次函數y = -2x + b的圖像與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B．

（1）求一次函數的表達式和點B的坐標；

（2）點C在x軸上，若△ABC是以邊AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點C的坐標．

[圖7" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖8] [y][A][A][O][C][B][x] [x][y][A][B][O][1]

難度系數：★★★★ 解題時間：10分鐘

3.在平面直角坐標系中，已知長方形紙片OABC的邊長OA = 6，OC = 8，點D為邊OA上一點，連接CD，折疊長方形紙片OABC，點O的對應點為點E，折痕為CD．

（1）如圖9，若點E恰好落在邊AB上，求直線DE的函數表達式；

（2）若點E落在長方形紙片OABC的對稱軸上，求OD的長.

（答案見第39頁）

（作者單位：沈陽市實驗學校）