一類圓錐曲線定值問題的探究與推廣

［摘 要］文章從一道柳州市數(shù)學統(tǒng)測試題入手，探究了圓錐曲線中與向量的數(shù)量積相關(guān)的定值問題，并類比推導(dǎo)出圓錐曲線中的相關(guān)結(jié)論，最后從不同角度編擬了練習題。

［關(guān)鍵詞］圓錐曲線；定值問題；探究；推廣

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0010-03

圓錐曲線定值問題是近幾年高考和各地模擬考的熱點題型。這類問題主要指某些幾何量（如線段長度、圖形面積、直線斜率）或某些代數(shù)表達式的值與題目中的參數(shù)無關(guān)，始終為定值。本文從一道柳州市數(shù)學統(tǒng)測試題入手，探究圓錐曲線中與向量的數(shù)量積相關(guān)的定值問題，并類比推導(dǎo)出圓錐曲線中的相關(guān)結(jié)論，最后從不同角度編擬練習題。

一、試題呈現(xiàn)

（2024年柳州市數(shù)學統(tǒng)測試題第18題）一動圓與圓[x2+y2+2x=0]外切，同時與圓[x2+y2-2x-24=0]內(nèi)切，記動圓圓心的軌跡為曲線[E]。

（1）求曲線[E]的方程，并說明[E]是什么曲線；

（2）若點[P]是曲線[E]上異于左右頂點的一個動點，點[O]為曲線[E]的中心，過曲線[E]的左焦點[F]且平行于弦[OP]的直線與曲線[E]交于點[M，N，]求證：[FM·FNOP2]為一個定值。

分析：本題的“題根”在教材。第一問出自人教A版高中數(shù)學選擇性必修一第115頁第10題，考查定義法求動圓圓心的軌跡方程，比較基礎(chǔ)；第二問源自同冊教材第145頁第8題的平行弦問題，難度有所提升。本題主要以平行弦問題為載體考查解析幾何的基本思想方法，充分展現(xiàn)定點、定值、定向問題，內(nèi)容豐富、結(jié)構(gòu)緊湊，知識與能力的考查并重。試題蘊含豐富且有趣的性質(zhì)，值得深入研究。

二、解法探究

（1）曲線[E：x29+y28=1]。曲線[E]是焦點在[x]軸上，以原點為對稱中心，以[O1]，[O2]為焦點的橢圓。

（2）解法1：當直線[OP]的斜率不存在時，弦[OP]為橢圓的短半軸，因此[OP2=8]，由[OP]∥[MN]可知，弦[MN]為橢圓的通徑，滿足[FM=FN=b2a=83]，因此[FM·FNOP2][=-FMFNOP2=-89]。

當直線[OP]的斜率存在時，設(shè)其為[k]，則直線[OP]的方程為[y=kx]，代入曲線[E]的方程得[x2=728+9k2]，因此[OP2=72（1+k2）8+9k2]，設(shè)直線[MN]的方程為[y=k（x+1）]，代入曲線[E]的方程得[（8+9k2）x2+18k2x+9k2-72=0]，設(shè)[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，則[x1+x2=-18k28+9k2]，[x1x2=9k2-728+9k2]，而[FM·FN=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）（1+k2）=（1+k2）（x1x2+x1+x2+1）=（1+k2）-18k28+9k2+9k2-728+9k2+1=-64（1+k2）8+9k2]，因此[FM·FNOP2=-FMFNOP2=-64（1+k2）8+9k2×8+9k272（1+k2）=-89]。綜上，[FM·FNOP2]為定值[-89]。

點評：采用設(shè)直線方程代入聯(lián)立求解的常規(guī)策略，通過轉(zhuǎn)化思想將向量的數(shù)量積變?yōu)榫€段長度比，再利用韋達定理把長度關(guān)系表示為關(guān)于斜率[k]的式子，最后可得到這個定值與斜率[k]無關(guān)。

解法2：由解法1可知當直線[OP]的斜率不存在時，[FM·FNOP2=-89]。下證當[FM·FNOP2=-89]時，直線[MN]∥[OP]恒成立。

設(shè)直線[MN]和直線[OP]的傾斜角分別為[θ，β]，則由橢圓焦半徑的極坐標公式可知[FM=ep1-ecosθ=b2a-c·cosθ=83-cosθ]，[FN=ep1+ecosθ=b2a+c·cosθ=83+cosθ]，因此[FMFN=649-cos2θ=648+sin2θ]。

設(shè)[OP]的直線方程為[y=tanβ·x]，代入曲線[E]的方程得[x2=728+9tan2β]，所以[OP2=（1+tan2β）x2=728+sin2β]，由[FM·FNOP2=-FMFNOP2=-89]化簡得[9FMFN=8OP2]，從而有[9×648+sin2θ=8×728+sin2β]，即[sin2θ=sin2β]，可得[θ=β]或[θ+β=π]。

當[θ=β]時，[MN]∥[OP]即證。當[θ+β=π]時，此時的點[P]與[θ=β]時的點[P]關(guān)于[y]軸對稱，也就是說這兩個點[P]都可以證明[FM·FNOP2]為定值。事實上，根據(jù)橢圓的對稱性也可知，點[P]關(guān)于[x]軸、[y]軸、原點對稱的點都符合定值的要求。

點評：從特殊位置入手求出定值，再論證這個定值對一般情況也成立，即滿足題設(shè)的條件[MN]∥[OP]，從而說明定值成立的必要性，是處理定點定值問題的一種常用策略。

解法3：當直線[OP]的斜率存在時，設(shè)直線[OP]的方程為[y=kx]，代入曲線[E]的方程得[x2=728+9k2]，從而可得[OP2=72（1+k2）8+9k2]，

設(shè)直線[MN]的參數(shù)方程為

[x=-1+tcosα，y=tsinα]（[t]為參數(shù)，[α]為傾斜角），代入曲線[E]的方程得[（8cos2α+9sin2α）t2-16tcosα-64=0]，由韋達定理得[t1t2=-648cos2α+9sin2α=-64sec2α8+9tan2α=-64（1+k2）8+9k2]，所以[FM·FNOP2=-89]，當[OP⊥x]軸時，結(jié)論也成立。

點評：采用直線參數(shù)方程優(yōu)化運算，利用參數(shù)[t]的幾何意義將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為傾斜角[α]的三角函數(shù)，再對三角函數(shù)變形，化為關(guān)于直線[MN]的斜率[k]的表達式，統(tǒng)一變量后消去，得到定值，是處理此類問題的經(jīng)典解法。

解法4：設(shè)[x=x3]，[y=y22]，則橢圓[x29+y28=1]可變?yōu)閳A[x2+y2=1]，根據(jù)題意將圖1與圖2對應(yīng)，[F]，[M]，[N]對應(yīng)點[F-13，0]，[M，N]，則由相交弦定理得[FMFN=AFFB=1-131+13=89OP2]，所以[FMOP·FNOP=89]。由于仿射變換保持平行線線段長度之比不變，所以[FMOP·FNOP=89]，即[FMFNOP2=89]，從而可得[FM·FNOP2=-89]。

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學教學參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z12.epsgt;" " " " " "lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學教學參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z13.epsgt;

圖1" " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖2

點評：該解法主要利用圓的相交弦性質(zhì)進行求解，完全摒棄了解析幾何的代數(shù)運算，充分展現(xiàn)了平面幾何在解析幾何中的強大作用。代數(shù)與幾何問題的靈活轉(zhuǎn)化是優(yōu)化解析幾何計算的重要途徑。

解法5：設(shè)[zP=x+yi=r（cosθ+isinθ）]，即[P（rcosθ，rsinθ）]，代入解法4的橢圓方程[x29+y28=1]，整理得[r2=OP2=728cos2θ+9sin2θ=728+sin2θ]，補出另一個焦點[F]，則[FM=6-FM]，在△[MFF]中，由余弦定理得[FM2+22-（6-FM）2=2×2×FMcosθ]，即[FM=83-cosθ]，同理，[FN=83+cosθ]，所以[FMFN=649-cos2θ=648+sin2θ]，從而可得[FM·FNOP2=-89]。

點評：利用復(fù)數(shù)的三角形式解決平行問題，通過平行條件下輻角[θ]相等的特性，極大地簡化了運算。

三、具體推廣

結(jié)論1 設(shè)點[P]是有心圓錐曲線[Ax2+By2=1（A≠0，B≠0）]上異于長軸（或?qū)嵼S）頂點的一個動點，點[O]為圓錐曲線的中心，過圓錐曲線內(nèi)任意一點[E（x0，y0）]且平行于[OP]的直線與圓錐曲線交于點[M，N，]則[EM·ENOP2=Ax20+By20-1]。

證明：當直線[OP]的斜率存在時，設(shè)直線[OP]的方程為[y=kx]，代入[Ax2+By2=1]得[x2=1A+Bk2]，從而[OP2=1+k2A+Bk2] ①，

設(shè)直線[MN]的參數(shù)方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]為參數(shù)，[α]為傾斜角），代入曲線方程[Ax2+By2=1]得[（Acos2α+Bsin2α）t2+（2x0Acosα+2y0Bsinα）t+Ax20+By20-1=0]，

由根與系數(shù)的關(guān)系得[t1t2=Ax20+By20-1Acos2α+Bsin2α=（Ax20+By20-1）（1+tan2α）A+Btan2α=（1+k2）（Ax20+By20-1）A+Bk2]，可得[EM·EN=（1+k2）（Ax20+By20-1）A+Bk2]②，由①②可得[EM·ENOP2=Ax20+By20-1]。

可以驗證，當直線[OP]的斜率不存在時，上式也成立。

注：當[Acos2α+Bsin2α=0]時，[ABlt;0]，直線[MN]變?yōu)殡p曲線的漸近線，與題設(shè)矛盾。

結(jié)論2 設(shè)拋物線[y2=2px，]過原點[O]且斜率為[k]的直線交拋物線于點[P]，過拋物線內(nèi)任意一點[E（x0，y0）]且平行于[OP]的直線與拋物線交于點[M，N，]則[EM·ENOP2=（y20-2px0）k24p2]。

證明：設(shè)直線[OP]的方程為[y=kx]，代入[y2=2px]得[x=2pk2]或[x=0]（舍去），則[OP2=4p2（1+k2）k4]，設(shè)直線[MN]的參數(shù)方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα（t]為參數(shù)，[α]為傾斜角[）]，代入[y2=2px]得[sin2α·t2+（2y0·sinα-2pcosα）t+y20-2px0=0]，由韋達定理得[t1t2=y20-2px0sin2α=（y20-2px0）csc2α=（y20-2px0）1+1k2]，所以[EM·EN=t1t2=（1+k2）（y20-2px0）k2，][EM·ENOP2=（y20-2px0）k24p2]。

四、試題鏈接

有效教學是教師一直追求的目標，而試題變式是有效教學的一種重要手段，也是學生知識的增長點。圓錐曲線有多項特征點，如焦點、頂點、準線與對稱軸的交點、直線與圓錐曲線的切點等，為從不同角度編擬題目提供了可能，展現(xiàn)了圓錐曲線內(nèi)在的奇異美。

［試題1］已知橢圓[x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）]，直線[l]過點[A（-a，0）]，與橢圓交于點[M]，與[y]軸交于點[N]，過原點平行于[l]的直線與橢圓交于點[P]，證明：[AM]，[2OP]，[AN]成等比數(shù)列。

［試題2］若點[P]是橢圓[x24+y23=1]上異于長軸端點的一個動點，點[O]為橢圓的中心，若過點[E（-4，0）]的直線平行于[OP]且與橢圓交于點[M，N]，求[EM·ENOP2]的值。

［試題3］設(shè)拋物線[y2=2px]，過原點[O]作斜率為1的直線交拋物線于點[P]，過拋物線的焦點[F]且平行于[OP]的直線交拋物線于點[M，N]，求證：[FM]，[OP2]，[FN]成等比數(shù)列。

［試題4］設(shè)[MN]是過雙曲線[x2a2-y2b2=1]（[agt;0]，[bgt;0]）虛軸端點[B]的一條弦，過雙曲線中心[O]的半弦[OP]∥[MN]，求證：[MB]，[2OP]，[BN]成等比數(shù)列。

［試題5］若點[P]是雙曲線[x2a2-y2b2=1]（[agt;0]，[bgt;0]）上異于頂點的一個動點，點[O]為雙曲線中心，點[F]為雙曲線的左焦點，過雙曲線第三象限內(nèi)任意一點[M]的切線[l]平行于[OP]，[MF]交直線[OP]于點[N]，求證[MN=a]。

在高考中對解析幾何重點考查的是邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。圓錐曲線的魅力在于其變化中的不變屬性，以及對“刪繁就簡”的永恒追求。設(shè)計與優(yōu)化運算是探索其奧秘的樂趣所在。教師應(yīng)深入挖掘圓錐曲線相關(guān)試題的本源，強化核心邏輯，引導(dǎo)學生自主探究，激活學生思維。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 顏波.指向數(shù)學運算素養(yǎng)培育的試題教學思考：以全國卷中的幾道解析幾何試題為例[J].數(shù)學通報，2024，63（5）：34-39.

[2]" 代銀.雙曲線、橢圓平行弦性質(zhì)再探究[J].數(shù)學教學通訊，2007（9）：64-65.

[3]" 蘇立標.一道自主招生試題引發(fā)橢圓的幾何性質(zhì)探討[J].數(shù)學通訊，2011（8）：55-57.

[4]" 閆偉.一道清華大學自招試題的解法探究及拓展[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2020（1）：37-39，25.

（責任編輯" " 黃春香）