高等數學中隱函數求導公式的教學研究

摘"要：“微積分”課程是高等學校的一門十分重要的公共基礎理論課，通過該課程的學習，學生能夠系統地學到一元及多元函數的極限、導數、積分、常微分方程、向量代數與空間解析幾何、無窮級數等內容的基本概念、基本理論和基本運算技能，為他們進一步學習后繼課程和終身學習打下良好的基礎.隱函數求導是高等數學課程中基本而重要的內容之一，在實際問題中，并不是所有的隱函數都容易顯化，因此掌握隱函數求導非常重要.本文講授了從一個方程所確定的隱函數及其導數到方程組所確定的隱函數組及其導數，先講定理，再講證明，最后講例題，從簡單到復雜，從一般到特殊，從已有知識到新知識，從理論到應用的過程，而這一過程也符合學生的學習與認知規律，使學生將枯燥的數學知識與生活實踐相結合，培養了學生的創新精神和獨立思考的能力，有利于更好地完成教學目標，為隱函數求導內容的學習及教學提供參考.

關鍵詞：隱函數；偏導數；雅可比行列式

高等數學課程內容多，難度大，又具有抽象的特點，學生學習起來普遍反映困難，高等數學課程中的基本概念、定理定義以及實際案例有著很多有趣的故事和寓意，蘊含了很多思政原理和社會主義核心價值觀.教師授課中應體現出應用性的特點，本著實用性的原則，將案例引入教學，既可避免抽象煩瑣的理論證明，又能通過對案例的深度剖析，體現出實用性，同時引入思政元素，使學生既能學到專業知識，又能真切體會到社會主義核心價值觀、辯證唯物主義等思政元素.通過“課程思政”教學和思想教育，進一步使學科內容更具有深度，學科課堂更具有溫度，教學效果更具有廣度.

隱函數求導［19］是高等數學課程中基本而重要的內容之一，掌握隱函數求導非常重要.本文通過定理講解、證明和例題講解，便于學生理解和掌握，為隱函數求導內容的學習及教學提供參考.

一、一個方程所確定的隱函數及其導數

（一）隱函數存在定理1

設函數F（x，y）在點P（x0，y0）的某一鄰域內滿足條件：（1）具有連續的偏導數；（2）F（x0，y0）=0；（3）Fy（x0，y0）≠0.則方程F（x，y）=0在點（x0，y0）的某一鄰域內能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y=f（x），它滿足條件y0=f（x0），并有dydx=-FxFySymboln@@

證明：因y=f（x）是由（x，y）=0確定的隱函數，故有恒等式F（x，f（x））≡0，根據復合函數的求導法則，在等式兩邊對x求導得Fx+Fy·dydx=0，由于Fy連續，且Fy（x0，y0）≠0，所以存在（x0，y0）的一個鄰域，在這個鄰域內Fy≠0，于是得dydx=-FxFySymboln@@

定理1為我們提供了隱函數求導的理論依據，如果F（x，y）的二階偏導數也都連續，則可繼續對dydx=-FxFy再求導.

例1：求由方程y-xey+x=0所確定的隱函數y=f（x）的導數y′和y″.

解：令F（x，y）=y-xey+x，則

Fx=-ey+1，Fy=1-xey

y′=dydx=-FxFy=ey-11-xey.

求y″時，可以將一階導數y′的求導結果對x再求導，求導時注意y是x的函數，故有

y″=ey-11-xey′x=eyy′（1-xey）-（ey-1）（-ey-xeyy′）（1-xey）2

=eyy′（1-x）+（ey-1）ey（1-xey）2=ey（1-x）ey-11-xey+（ey-1）ey（1-xey）2

=（2-x-xey）（ey-1）ey（1-xey）3.

隱函數存在定理1還可以推廣到多元函數Symboln@@

一個二元方程F（x，y）Symbol}@@

0可以確定一個一元隱函數，一個三元方程F（x，y，z）Symbol}@@

0可以確定一個二元隱函數Symboln@@

（二）隱函數存在定理2

設函數F（x，y，z）在點P（x0，y0，z0）的某一鄰域內滿足條件：（1）具有連續的偏導數；（2）F（x0，y0，z0）=0；（3）Fz（x0，y0，z0）≠0.則方程F（x，y，z）=0在點（x0，y0，z0）的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數zSymbol}@@

f（x，y），它滿足條件z0Symbol}@@

f（x0，y0），并有zx=-FxFz，zy=-FyFzSymboln@@

證明：將z=f（x，y）代入F（x，y，z）=0，得F（x，y，f（x，y））≡0，將上式兩端分別對變量x和y求導，得Fx+Fz·zx=0，Fy+Fz·zy=0Symboln@@

因為Fz連續且Fz（x0，y0，z0）≠0，故存在點（x0，y0，z0）的一個鄰域，使Fz≠0成立，于是得到zx=-FxFz，zy=-FyFzSymboln@@

例2：設x2+y2+z2-4z=0，求zx，zy，2zx2Symboln@@

解：設F（x，y，z）=x2+y2+z2-4z，則Fx=2x，Fy=2y，Fz=2z-4，zx=-FxFz=-2x2z-4=x2-z，zy=-FyFz-2y2z-4=y2-z，2zx2=（2-x）+xzx（2-z）2=（2-x）+x（x2-z）（2-z）2=（2-x）2+x2（2-z）3Symboln@@

二、方程組所確定的隱函數組及其導數

隱函數不僅產生于單個方程，也可以產生于方程組中，例如方程組x+y+z=0x+2y+3z=0.

若視x為自變量，則可解得y=-2xz=x.

討論方程組F（x，y，z）=0G（x，y，z）=0在什么條件下可以唯一地確定一對隱函數y=y（x）z=z（x）并且給出直接從方程組出發求出它們的導數的方法.

（一）隱函數存在定理3

設F（x，y，z），G（x，y，z）在點P（x0，y0，z0）的某一鄰域內：（1）具有對各個變量的連續偏導數；（2）F（x0，y0，z0）=0G（x0，y0，z0）=0；（3）偏導數所組成的函數行列式：

J=（F，G）（u，v）=FuFvGuGvx0，y0，z0≠0.

則方程組F（x，y，z）=0G（x，y，z）=0在點P（x0，y0，z0）的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續導數的函數y=y（x）z=z（x），它們滿足條件y0=y（x0）z0=z（x0），并有

dydx=-1J（F，G）（x，z）=-FxFzGxGzFyFzGyGz，

dzdx=-1J（F，G）（y，x）=-FyFxGyGxFyFzGyGz，其中J=（F，G）（u，v）=FuFvGuGv（x0，y0，z0）≠0，稱為F、G的雅可比行列式.

證明：方程組F（x，y，z）=0G（x，y，z）=0，確定一組連續且具有連續導數的隱函數組y=y（x）z=z（x）.

在方程組兩側F（x，y，z）=0G（x，y，z）=0，對x求偏導數，得Fx+Fydydx+Fzdzdx=0Gx+Gydydx+Gzdzdx=0.

求解方程組，求出dydx，dzdx.

例3：設y=y（x）與z=z（x）是由方程組z=x2+2y2y=2x2+z2所確定的函數，求dydx，dzdx.

解：由于方程組確定了函數y=y（x）與z=z（x），故有恒等式組z≡x2+2y2y≡2x2+z2.

在每個等式的兩邊對x求導，可得dzdx=2x+4ydydxdydx=4x+2zdzdx，

即4ydydx-dzdx=-2xdydx-2zdzdx=4x.

當1-8yz≠0時，解得dydx=4x（z+1）1-8yz，dzdx=2x（8y+1）1-8yz.

以上隱函數定理3可以推廣到三元以上的方程組的情形.

（二）隱函數存在定理4

設F（x，y，u，v）、G（x，y，u，v）在點P（x0，y0，u0，v0）的某一鄰域內滿足條件：（1）對各個變量具有連續偏導數；（2）F（x0，y0，u0，v0）=0G（x0，y0，u0，v0）=0；（3）偏導數所組成的函數行列式：

J=（F，G）（u，v）=FuFvGuGvx0，y0，u0，v0≠0.

則方程組F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0，在點P（x0，y0，u0，v0）的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的隱函數組u=u（x，y）v=v（x，y），滿足條件u0=u（x0，y0）v0=v（x0，y0），并有

ux=-1J（F，G）（x，v）=-FxFvGxGvFuFvGuGv，

vx=-1J（F，G）（u，x）=-FuFxGuGxFuFvGuGv，

uy=-1J（F，G）（y，v）=-FyFvGyGvFuFvGuGv，

vy=-1J（F，G）（u，y）=-FuFyGuGyFuFvGuGvSymboln@@

證明：設方程組F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0確定一對具有連續偏導數的二元隱函數組u=u（x，y）v=v（x，y），則在F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0兩側對x求偏導數，得Fx+Fuux+Fvvx=0Gx+Guux+Gvvx=0.

求解方程組得偏導數ux，vx.

同理，偏導數uy，vy由方程組Fy+Fuuy+Fvvy=0Gy+Guuy+Gvvy=0確定Symboln@@

例4：設xu-yv=0yu+xv=1，求ux，vx，uy和vySymboln@@

解：在方程組兩邊分別對x求偏導，得到ux和vx的方程組u+xux-yvx=0yux+v+xvx=0，當x2Symbolk@@

y2SymbolyB@

0時，解之得ux=-xu+yvx2+y2，vx=yu-xvx2+y2Symboln@@

同理，在方程組兩邊分別對y求偏導，得關于uy和vy的方程組xuy-v-yvy=0u+yuy+xvy=0，當x2Symbolk@@

y2SymbolyB@

0時，解之得uy=xv-yux2+y2，vy=-xu+yvx2+y2Symboln@@

三、小結

隱函數的求導法則（分以下幾種情況）：

（1）F（x，y）Symbol}@@

0""nbsp;""（2）F（x，y，z）Symbol}@@

0

（3）F（x，y，z）=0G（x，y，z）=0"（4）F（x，y，u，v）=0G（x，y，u，v）=0

四、結論

課堂教學中應注重啟發引導學生掌握重要概念的背景思想，理解概念的思想本質，要善于將學科或生活中常遇到的名詞概念與課程中的概念結合起來，使學生體會到學習該門課程的必要性.

利用方程組所確定的隱函數組求導引入德育元素：誠信、嚴謹、科學.通過專業知識和德育元素的結合，讓學生體會科學方法論中嚴謹、實事求是的重要性，從而達到培養科學思維方式的目的.

參考文獻：

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［8］同濟大學數學科學學院.高等數學及其應用：下冊［M］.6版.北京：高等教育出版社，2020.

［9］尹紅然.行列式課堂教學設計及應用［J］.科技風，2022（08）120122.

作者簡介：尹紅然（1982—"），女，漢族，河北邢臺人，碩士，副教授，主要從事應用數學研究。