數學解題中運用“化整為零”思想的策略及研究

【摘要】“化整為零”思想是數學中常用的解題思想，是指將復雜的綜合問題分解成多個簡單的小問題，再各個擊破，以此解決復雜的數學問題.這一解題思想的運用能逐步培養學生的抽象領悟和思維能力，提高學生數學解題能力.

【關鍵詞】初學數學；解題教學；化整為零

在教學實踐中發現部分學生解題時對已知條件應用不充分，問題推理不夠全面，這是因為學生在解題時未有效地運用分類解題思想，需要教師提高學生對問題的拆解、分類能力. 運用“化整為零”解題思想可將復雜問題從多個方面進行分類、討論，從而有效降低解題難度，有助于學生 形成全面思考的解題思維.

1“化整為零”思想簡介

美國數學家哈爾莫斯于1916年提出“數學的真正組成部分是問題和解”.這說明要想高效、準確解決復雜的數學問題，不僅需要掌握重要的數學基本知識理論和實踐技巧，還需要具備相應的解題思路和解題方法.“化整為零”解題思想實質上是一種分類討論思想，針對蘊含多個解題方法和解題標準的數學問題，按照一定的方式將其進行分解，再對其進行逐一分析和解決，整合后得到最終結果.和小學階段相比，初中階段學生的思維能力得到明顯提升，更能領悟到“化整為零”的解題方式，通過教師的引導，能有效培養學生高效率、高準確率的數學解題能力.為了保證“化整為零”的準確應用，充分發揮其解題價值，必須按照一定的原則進行，如表1所示.

2“化整為零”思想在初中數學解題中的應用

2.1“化整為零”思想在幾何中的應用

例1在一個半徑為5的⊙O中 ， 存在弦AB和弦CD ，長度分別為 6和8， 已知弦AB與弦CD互相平行 ， 求弦AB和弦CD之間的距離 .

分析（1）此題分兩種情況，第一種情況為兩條弦在圓心O的同側，第二種情況為兩條弦在圓心O的異側. （2）過圓心O作垂直于弦AB的直線，交AB于M，交CD于N，連接OB和OD，得到Rt△ODN和Rt△OBM，根據勾股定理求得OM和ON，進而得到答案.

解析過圓心O作垂直于弦AB的直線，交AB于M，交CD于N，連接OB和OD ，得到Rt△ODN和Rt△OBM.因為弦AB與弦CD互相平行，所以ON⊥CD，并且BM和DN分別是弦AB和弦CD的一半.即BM和DN分別為3和4.在Rt△ODN和Rt△OBM中，根據勾股定理，得到，OM=4，ON=3.

按照“化整”原則分類，得到：

（1）弦在圓心O的同側，如圖1所示，

此時，弦AB和弦CD之間的距離 MN=OM－ON=1.

（2）弦在圓心O的異側 ，如圖 2所示 .此時，弦AB和 弦CD之間的距離MN=OM+ON=7.

綜上 ， 弦在同側，弦AB和弦CD之間的距離為1；弦在異側，弦AB和弦CD之間的距離為7.

點評利用“化整為零”思想，兩弦之間的距離可以分解為過圓心并于兩弦垂直的線段長度問題，計算ON和OM；同時根據兩弦的位置將其分為弦在同側與弦在異側兩種類型，分別計算兩種條件下的結果，整合后得到最終答案.

2.2“化整為零”思想在函數中的應用

例2已知函數y=kx2－6x+1（k為常數）的圖象與橫軸僅有1個交點 ，請求出常數k的值.

分析此題需要對k值進行“化整”，可以按照k值所屬情況將其分為k=0和k≠0兩種情況，再逐一求解.

解析（1）當k=0時，函數y=kx2－6x+1可以轉化為一次函數y=－6x+1，此時函數為與橫軸相交于一點的直線.

（2）當k≠0時，根據函數y=kx2－6x+1的圖象與橫軸僅有 1個交點，可以得到一元二次方程kx2－6x+1=0有兩個相等的實數根，從而得到△=0，計算得出k=9.

綜上所述，k=0或k=9.

點評此題涉及的概念包括一次函數、二次函數、函數和橫軸相交的特征等.“化整”時，可以根據函數的概念進行分解，即k=0和k≠0.當k=0時，函數為一次函數；當k≠0時，函數為二次函數，需要利用二次函數與一元二次方程的關系來求解 .

3結語

“化整為零”解題思想在一方面為解決綜合類數學問題提供思路，另一方面也有效提高學生的邏輯思維能力以及解題推理能力.新教材更加注重學生的綜合分析以及實際應用能力的培養，且基于“化整為零”思想，學生可以將復雜的問題一一提取出來，并進行逐一擊破，增強解題條理性.

參考文獻：

[1]杜云亮.初中數學解題中的“化整為零”思想方法探析[J].生活教育，2023（17）：98-100.

[2]羅霞飛.分類討論思想在數學解題中的滲透[J].中學數學，2020（18）：63-64.