初中數學幾何直觀教學的“失度”與“適度”

幾何直觀是促進數學理解、數學發現的有效途徑，是創新性思維活動的開端，是數學學科素養的主要表現之一。當前，幾何直觀教學存在直觀感知失衡、形數聯系失當、圖表分析失準等“失度”現象。為此，教師應圍繞教學內容、教學過程和教學評價等展開多重比對建構“適度”教學，通過教材重組、教學重構、課堂重塑，促進幾何直觀素養有效落地。

初中數學；幾何直觀教學；適度教學

李君.初中數學幾何直觀教學的“失度”與“適度”[J].教學與管理，2025（07）：45-49.

直觀是數學發現的向導。著名數學家M·克萊因認為：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握?！睅缀沃庇^是學生數學學習與問題解決的工具?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確指出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。幾何直觀是初中數學學科核心素養“三會”的主要表現之一，指向學生“數學眼光”的發展。教師要不斷精進自身對幾何直觀的深刻理解，重視學生幾何直觀能力的培養。依據皮亞杰的認知發展理論，幾何直觀使得認知階段從“形式運算”降低為“具體運算”，即原本需要進入“形式運算”認知水平才能展開探究的信息特點，轉化為“具體運算”認知水平就可以進行探索的信息特點[1]。幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑[2]。然而，現實中幾何直觀教學常常存在“失度”現象，影響學生學科核心素養的發展。因此，探討幾何直觀教學的“失度”與“適度”具有重要的現實意義。

一、初中數學幾何直觀教學“失度”現象

幾何直觀是問題解決的第一道門檻。學會用圖形思考、想象問題是研究數學，也是學習數學的基本能力。在教學實踐中，很多教師雖然已經意識到幾何直觀教學的重要性，但總是出現各種“失度”與“過度”，致使學生的學科核心素養無從提升。

1.直觀抽象失衡，導致圖形特征不明

“直觀”不僅是基于直接的感性認識，也包含延伸的圖形思考。幾何直觀能幫助學生在解決問題時化抽象為具體、化復雜為簡單，有利于學生探索解決問題的思路，促進學生高階思維的發展。但在觀察圖形時，有些教師沒有引導學生積極參與到學具的操作和觀察中來，學生只是被動地接受課件中的抽象信息，缺失深入思考圖形本質的機會，從而不會“直觀地看”。例如在學習三角形時，學生往往只注意到等腰三角形和直角三角形這兩種特殊三角形的相關特征，而忽視了其他三角形內部的結構和關系，不能依據各自圖形的特征將概括圖形共性與比較不同圖形有機結合，從而不能依據邊或者角將三角形合理依規正確分類。在應用圖形時，教師不能依據幾何直觀相關行為指標去正確引導學生積極感知圖形組成的元素并能直觀表達圖形特征和性質，學生不會從圖形中直觀地觀察到已知條件和未知條件之間的關系，缺乏從直觀到抽象的有機銜接，導致學生思維惰性，從而不能正確發現和利用圖形的性質去探索問題解決的思路。此外，過多視覺刺激的多媒體教學常常會使學生難以集中精力思考幾何知識的本質，不利于學生對幾何概念和定理的抽象理解，進而不能助推學生形成有效遷移的學習經驗。

2.形數聯系失當，導致直觀模型不顯

數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直覺，形少數時難入微?！睅缀沃庇^是一種思維方式，也是學科素養的重要表現。但部分教師總是認為幾何直觀只能在研究幾何圖形的位置關系、數量關系中發揮作用，缺少對代數中結構、關系的幾何直觀和統計中統計量、數據關系的幾何直觀，從而不能適應“建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型”[3]的新課標要求。如在學習“數與代數”內容時，對于一些代數算式、公式，教師未能強化數形對應，不能引導學生正確構造圖形進行有意義的學習以促進其“數感”“式感”的直觀建立；對于方程、不等式和函數等模型應用問題，教師不能引導學生建立利用線段圖、圖像等幾何圖形特征來直觀理解的自覺，導致學生不會利用幾何直觀加強數學建模的學習。對于“圖形與幾何”中概念、性質和定理的學習，教師未能建立學生以數補形進行抽象分析和歸納推理的意識與習慣，導致學生不會用數和形“兩只眼睛”看數學。如“三角形中位線”的學習，若只是讓學生在課堂上聽老師講解，無法親自動手操作、主動探索，學生不會發現“1/2”的含義，不會利用“數”的特征思考“形”的輔助線，不會從“形”的方面操作思考逐步過渡到“數”的方面理性思維，進而面對沒有直觀圖形輔助的抽象幾何問題時，就會感到無所適從。

3.圖表分析失準，導致探索思路不清

幾何直觀是一種思維形式，它是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態[4]。幾何直觀時視覺思維占主導地位。新課標要求：利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路[5]。但在實際教學中，教師不能引導學生利用“圖”的直觀和“表”的簡單的優點來讓學生獲得“學習有趣”的視覺體驗，未能通過呈現完整圖表、呈現部分圖表和不呈現圖表等漸進性的方式來加強學生幾何直觀學習的獲得感。如在用代數式、方程、不等式、函數解決實際問題中，需要基于數量關系的分析來幫助學生建立數學模型解決問題，但由于問題中數量較多、關系復雜、表述冗長，有些學生不會正確構圖、列表來呈現相應數量關系，有的學生不能利用已有圖的形象、表的直觀進行正確分析數量關系，從而不能借助直觀圖示將內隱的關系清晰顯現，導致解決問題的思路不暢。而有些教師此時通常以“告訴”代替學生“發現”，未能抓住知識的漸次遞進過程引導學生幾何直觀的有序發展，并不斷建立用形象化的圖表表達抽象化的數量關系的意識，學會“直觀地想”。再如在“小結與思考”環節，有的教師未能采用思維導圖動態地導引知識的學習過程和學生思維流向，從而不能豐富學生認知、引發學習聯想；有的教師不能采用表格把重要結論進行對比學習，從而不能同化學習方法，促進深度學習。

二、初中數學幾何直觀“適度”教學的實施

為了糾正現實中幾何直觀教學的“失度”現象，促進學生思維高通路遷移，教師應基于教材“幾何直觀”素養要求，著力“學為中心”實踐，通過對教材內容的解構與重構，以學習任務驅動學生有意義地學習。下面以蘇科版《數學》八年級上冊“等腰三角形的軸對稱性”為例，探索促進“幾何直觀”的適度教學。

1.教材重組：建立幾何直觀適度學習內容

教材是課程內容及其實施的中介，作為蘊含幾何直觀信息的靜態文本，教師應依據學生素養需求、學科認知結構，運用動態思維去重組符合幾何直觀的適度學習素材，進而實現“用教材教”，而不是局限、禁錮于教材。

直觀感知：教材首先呈現的是等腰三角形性質例2及其思考，然后是直角三角形紙片的操作活動和定理發現，并進一步啟發學生思考有一個銳角為30°的直角三角形的相關結論，其知識圖譜如圖1。

直觀理解：本節需要探索的是直角三角形的相關性質，不少教師認為例2的安排較為突兀。因此，他們常常是從直角三角形紙片操作開始，引導學生觀察發現得出定理：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，并引導學生思考：當直角三角形中有一個角為30°時，又能發現什么結論？這樣的教學安排缺失知識的有機銜接，不利于學生學習能力生長和學習經驗的遷移。

直觀洞察：依托學生觀察經驗，對學材再建構，首先對例2進行問題式改編，然后用等腰三角形性質類比、想象，生長直角三角形學習直觀經驗，再經歷觀察與思考、操作與體驗、交流與表達學習過程，延展學生思維，使其收獲直角三角形的研究路徑、操作認知和本質認識。

2.教學重構：建立幾何直觀適度學習過程

新課標寄予學生“像專家一樣思考”的課程理想。教學應依據學科特性，在學生學習舒適圈中有意義地組織學習內容，使學生借助于信息技術資源或工具，將幾何直觀“隱性散點”轉化為“顯性關聯”，強化幾何直觀真實體驗。

（1）建立圖形直觀，感知圖形元素

笛卡爾曾經說過：“沒有圖形就沒有思考?！苯處熞獜膬和闹庇^視角去引導學生直觀感知，從不同角度抽取圖形的多個要素并進行合理關聯，幫助學生經歷知識探索過程和應用過程，進而積累豐富的圖形研究經驗。

活動1：在△ABC中，你添加什么條件可以得出：AB=AC？你是如何習得這個結論的？

在這一題中，首先利用學生學習舒適區展開教學，學生容易得出∠B=∠C，在此基礎上追問由感性到理性的學習回路：操作—觀察—猜想—驗證，由此積淀學生正確學習經驗；其次借助認知勢差，通過在圖形中添加元素發動學習：如圖2，若AD為∠A的外角平分線，CF⊥AD于D交BA延長線于F，你又能得出哪些相等的量？以開放性問題促進學生養成主動分析圖形要素之間、要素與圖形之間關系的直觀自覺；最后依托深度學習方式，引導學生思考：在上述條件下，若想得到AB=AC=AF，你認為還需要添加什么條件？以問題追開學生思維心扉，促進學生思考再深入、學習再交流、觀點再碰撞，進而生長能力、提高素養。

（2）開展運動直觀，明晰學習路徑

心理認知理論關注學生的思維過程和心理活動。幾何直觀的要義在于通過圖表的直觀降低思維層次和強度。基于此，教學既要尊重學生已有的知識、能力和經驗基礎， 明白學生新舊知識的“潛在距離”，又要提升學生思維能力和學習品質。因此，教師應根據學生的認知特點來靈動設計幾何直觀教學活動。

活動2：等腰三角形通過折疊可以得到兩個全等的直角三角形，進而發現等腰三角形中重要線段的一些結論。那么對于一個直角三角形，你能不能通過折疊得到兩個等腰三角形，進而發現直角三角形的重要線段的一些結論？

想象是感受、理解幾何直觀的有力支撐。以圖形折疊（可參考圖2）這一運動方式引起學生思維進階學習，促進學生在類比中學會學習，進而掌握具有一般觀念的“知識背景—操作發現—揭示聯系—解釋結論”學習套路，形成專家思維。

（3）依托模型直觀，促進數形關聯

幾何直觀是學習者、研究者對于數學對象的全貌和本質進行的直接把握，這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎之上，既有相對豐富的經驗積累，也有經驗基礎之上的理性的概括和升華[6]。借助動態直觀的圖形折疊，再輔以觀察、猜想、驗證等思維過程，不僅使學生獲得清晰的直觀表象，而且深化學生對圖形特征的認識，促進其思維從感性躍為理性。

活動3：剛才同學們通過操作發現了“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”，那么對于這個文字命題大家怎樣來證明呢？說說你的思路。

首先，引導學生先根據題意畫出準確的圖形，從圖形中直觀地觀察到已知條件和未知條件之間的“數”“形”關系；其次，引導學生將復雜的文字描述轉化為直觀的圖形關系；再次，借助剛才把直角三角形折、剪、拼變成等腰三角形，再將折疊后的等腰三角形鋪展成直角三角形的直觀過程，啟發學生作輔助線構造相同的幾何量：如在∠ACB內部作∠DCB=∠B交AB于D，或者倍長中線；最后，引導學生學會用分析法來完整證明，并進行數學語言的規范表達。這樣的學習過程不僅能幫助學生豐富幾何圖形的直觀感知，而且能助推學生探究能力。

（4）加強表征直觀，實現循序進階

美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法?！彼季S是一切學習的重心。數學課堂呼喚學生的真學，學生幾何直觀的真學同樣需要以數學思維為載體，必須通過思維進階來實現知識邏輯、學科邏輯走向學習邏輯。

活動4：從一般到特殊是研究幾何圖形的常見路徑。如等邊三角形是有一個角為60°特殊的等腰三角形，借助等腰三角形的相關探索我們完善了對等邊三角形相關理解。那么沿著這樣的路徑，你將怎樣從角特殊來研究直角三角形？與同桌說說你們的想法。

基于數學教學與學科育人的本然統一，引導學生在直觀的幾何情境中發現問題、提出問題，并尋求解決問題的策略，從而實現“教是為了不教”。學生能分別抓住有一個銳角為45°、60°來進行探索交流，特別是有一角為60°時，引導學生借助等邊三角形的表征，發現：直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半，并進行文字語言、圖形語言、符合語言的規范表達和推理證明。在教學過程中采用問題驅動、師生互動方式促進素養本位的教學實施，從而推動學生在知識的聯系處進行思維轉接，進而鞏固知識、增強能力、提升素養。

3.課堂重塑：建立幾何直觀適度學習評價

直觀感知、直觀理解、直觀洞察是讓“幾何”真正走向“直觀”的認知之序。深度教學重視學習過程的建構反思以及以評促學、以評促教。而適度的幾何直觀學習評價不僅關注學生直觀經驗的結果，更要聚焦學生形成直觀經驗的過程，并伴隨學習過程始終。其中基于幾何直觀的學習評價：從“會看”角度，著重通過對圖形的觀察感知，在原有的視覺經驗基礎上建立幾何表象和圖形聯系，并能做出“數”“形”的判斷與直觀解釋；從“會想”角度，能借助實物直觀、運動直觀、模型直觀、表征直觀等圖形直觀手段，抽象出幾何圖形的結構與關系，并正確畫出相應的圖形，會利用圖形描述分析問題和解決問題的思路；從“會說”角度，借助于已經建立的圖形，合理選擇解決問題的方法，運用合情推理、演繹推理相結合的手段探索新的結論或解決實際問題，并會規范表達。

活動5：①通過本節“等腰三角形的軸對稱性”的學習，你掌握了哪些結論？你是如何探索這些結論的？沿著本節幾何圖形學習的路徑，在今后學習過程中你認為將要繼續探索哪些內容？②完成本節學習評價表（略），并同桌互評。

在課堂收尾階段，不僅要小結所學，還要反思何以學會，以及未學路徑規劃，從而讓小結反思既充滿激情的思考，又蘊含深刻的內涵，讓學生在知識的習得、方法的理解、意義的建構和美感的體驗中找到樂趣。同時安排基于幾何直觀的學習評價表的填寫，讓學生對經歷豐富的思維活動和實踐活動進行學習評價，豐盈學習內涵，通過自評、互評中“評己、評人”活動“逼”出表后的“邏輯”，能夠有效引導學生進而對照目標持續提升自己的表現水平，收獲悟己達人的育人效果，進而豐厚學以致遠的經驗和提升“成事成人”的素養。

三、初中數學幾何直觀“適度”教學的啟示

幾何直觀不僅存在于圖形教學中，也貫穿于初中數學的學習始終。在幾何直觀教學中，教師應注意適度分配直觀內容和時間、適度設計直觀過程和反思，從而準確把握直觀尺度。通過知識有序化引導學生在幾何直觀中“會看”，通過思考系統化引導學生在幾何直觀中“會想”，通過表達條理化引導學生在幾何直觀中“會說”，從而提升學生的分析、綜合、創新等高階思維能力，發展其學科核心素養。

1.明理教材，豐富幾何直觀理解

數學是抽象的科學，需要在學生心中搭建勾連的橋梁——幾何直觀，從而使抽象的數學知識直觀化、內隱的規律外顯化，為學生學好數學奠定感性認知基礎。而教材是聯結課標理念與課堂教學的媒介，其承載著豐富的幾何直觀信息，教師應善于挖掘并正確使用教材中的直觀元素，幫助學生領悟幾何直觀學習之妙。幾何直觀內涵中所指的“圖形”不僅僅局限于幾何圖形，包括常見的平面圖形、立體圖形以及數軸、坐標系、表格、框圖、直觀素材等，解決的問題也不限于數量關系[7]。而在平常教學中教師更多地聚焦“圖形與幾何”中幾何直觀的學習，鮮少關注“數與代數”“統計與概率”“綜合與實踐”等數學領域中幾何直觀內容維度。因此，教師要努力把握好幾何直觀的“度”，使學生親歷幾何直觀在數學學習中的全過程。如在“數與代數”中需要用數軸理解數的運算、需要用圖形理解代數式的意義以及乘法公式、法則等，從而明晰數式的“圖形特征”；再如在函數學習中，對于方程組的解與相應函數圖像的交點的關系認識，需要利用圖形的直觀表征來加強數學對象的理解和數學知識的數形聯系。而這些都是幾何直觀在“數與代數”中實然狀態，可是少數教師卻視而不見。作為創造性使用教材教的主體——教師，理應豐富學生幾何直觀的理解，培養學生利用“數學眼光”更多地去探索問題解決的思路，特別是在“綜合與實踐”跨學科主題學習活動中，發揮幾何直觀的應然價值，幫助學生從更豐富的角度關注跨學科主題學習中的幾何直觀內容，使學生獲得幾何直觀學習源頭活水，從而厚積學生知識儲備與學習經驗，提高圖形直觀解決問題能力。

2.關注學生，豐實幾何直觀體驗

學生是處于發展過程中的人。學生理解數學的障礙主要來源于抽象和形象的矛盾。而幾何直觀是化解這一矛盾的關鍵舉措。為此，教師預知學生思維與情緒的關鍵節點，進而做到提前覺察甚至創設教學時機，使之成為知識生成的契機點和峰回路轉的智慧點[8]。如教學“豐富的圖形世界”時，應抓住直觀理解的一體兩翼——想象與操作，豐富學生感知經驗。通過尋找貼近學生實際的直觀素材，如利用兩個含有30度角的相同直角三角板使其一邊重合進行拼圖活動，通過“想象—操作—描述—畫圖—分析”活動過程，使學生在活動過程中能基于視覺的觀察進行合理想象、動手操作觸摸幾何結構、描述表達所拼圖形的直觀表征、正確畫出相應圖形，并在活動過程中進行分析評價。從而使學生不僅能“想問題”，更要在直觀活動過程中“會想問題”，進而使學生像數學家一樣思考問題。幾何直觀教學要兼顧知識內容和問題類型，在學生學習舒適區開展充盈數學的學習體驗活動，幫助學生重構經驗背后的邏輯。教師要充分尊重學生的認知發展規律，借助多種直觀形象、具體可感的輔助手段，為學生的思維發展由操作水平逐步走向分析水平鋪路架橋[9]。為了助推學生在直觀活動中收獲深刻的、豐富的、完整的學習經驗，教師要善待、等待和期待學生，及時捕捉并利用數學活動中的培育機遇[10]，通過對圖形的觀察、分解、組合和想象，豐實學生直觀體驗，促進學生對數學學科本質的理解，推動其幾何直觀素養發展，進而增強學生幾何直觀學習“心流”感覺。

3.優化教學，豐盈幾何直觀智慧

問題是教學的原動力和牽引力。教學應始于問題、終于素養。教學中教師要不斷優化教學手段，從洞察和想象的內部入手，適度運用實物直觀、模型直觀、符號直觀、圖形直觀等方法引起學生學習，使直觀變成學生數學發現的向導。如在統計與概率的教學中，首先應創設基于操作經驗的摸球、轉盤等問題情境，注重知識的形成過程，幫助學生從實際操作中感悟隨機意識。其次，通過挑戰性的學習活動，教育學生養成隨時畫圖、列表來分析問題的習慣，重在引導學生關注圖示表達的關系和模型功能，憑借形象的樹狀圖、直觀的表格等載體展現思維脈絡，培養學生有序思考方法。然后，組織基于反思的學習活動，實現從具體到抽象的過渡，幫助學生借助“數據直觀”去描述問題、分析問題、解決問題，建構自己對數學的理解，從而發展數據分析觀念。為了發展學生學科知識技能通向學科核心素養的關鍵能力，教學應積極構建幾何直觀學習輸入和輸出的過程，有意識地將其作為一種能力素養滲入數學學習中。通過借力現代技術輔助直觀模型建立，讓學生充分體驗幾何直觀探究學習的樂趣，從而形成幾何直觀學習的良性循環。正如舒爾曼所倡導的那樣：“我們不是從經驗中學習，而是通過對經驗的思考來學習?！盵11]因此，應強化多元評價促進學生學習，對幾何直觀，教師不能僅僅滿足于學生在某一問題中采用幾何直觀解決了具體的問題，應能夠引導他們反思自己的活動過程，思考為什么想到建構這樣的圖形，圖形在此問題中起到了什么作用[12]，從而使學生由經驗圖式升華為心智圖式，進而發展學生理性精神。

參考文獻

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[11] 舒爾曼.實踐智慧——論教學、學習與學會教學[M].王艷玲，王凱，毛齊明，等譯.上海：華東師范大學出版社，2014：342.

【責任編輯" " 王澤華】

*該文為江蘇省教育科學“十四五”規劃立項課題“促進思維進階的初中數學深度教學改進研究”（D/2021/02/693）的研究成果