逐步Ⅰ型混合截尾下逆Lomax分布競爭失效產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)分析

摘" 要：在混合截尾樣本數(shù)據(jù)下，對(duì)逆Lomax分布競爭失效產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)分析問題進(jìn)行了研究。首先，基于逆Lomax分布競爭失效產(chǎn)品，利用極大似然理論，推導(dǎo)出未知參數(shù)的極大估計(jì)；并利用漸近似然理論確定未知參數(shù)的近似置信區(qū)間。其次，通過設(shè)定無信息先驗(yàn)為未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，采用MH抽樣算法求出參數(shù)的Bayes估計(jì)和HPD可信區(qū)間。最后，通過Monte Carlo模擬，計(jì)算出參數(shù)的均方誤差（MSE）、平均絕對(duì)偏差（MAB）、平均區(qū)間長度（AL）以及覆蓋率，并對(duì)兩種估計(jì)方法進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，貝葉斯估計(jì)優(yōu)于極大似然估計(jì)，在相同置信度下，基于Bayes估計(jì)的HPD平均可信區(qū)間長度優(yōu)于MLE的近似置信區(qū)間平均區(qū)間長度。

關(guān)鍵詞：競爭失效；逆Lomax分布；極大似然估計(jì)；貝葉斯估計(jì)；MH抽樣算法

中圖分類號(hào)：TP391；O213.2" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：2096-4706（2025）01-0076-07

Statistical Analysis of Competing Failure Products for Inverse Lomax Distribution under Progressive Type-Ⅰ Hybrid Censoring

Abstract： Under the Hybrid Censoring sample data， this paper studies the statistical analysis problem of competing failure products for inverse Lomax distribution. Firstly， based on the competing failure products for inverse Lomax distribution， it utilizes maximum likelihood theory to obtain the Maximum Likelihood Estimation of unknown parameters， and uses asymptotic likelihood theory to derive the Approximate Confidence Interval of unknown parameters. Secondly， by setting the uninformative prior as the prior distribution of the unknown parameters， the Bayes estimation and HPD Confidence Interval of the parameters are obtained by using the MH sampling algorithm. Finally， through Monte Carlo simulation， the Mean Squared Error （MSE）， Mean Absolute Bias （MAB）， Average Interval Length （AL）， and coverage percentage of the parameters are calculated， and the two estimation methods are compared. The experimental results show that Bayes Estimation is superior to Maximum Likelihood Estimation， and under the same confidence level， the average confidence interval length of HPD based on Bayes estimation is better than the approximate confidence interval average interval length of MLE.

Keywords： competing failure; inverse Lomax distribution; Maximum Likelihood Estimation; Bayes Estimation; MH sampling algorithm

0" 引" 言

在實(shí)際應(yīng)用中，導(dǎo)致產(chǎn)品失效的原因是多種多樣的，例如，引起手機(jī)失效的原因可能有電池老化、物理損傷、軟件問題和水分侵入等，如果這些原因中任意一個(gè)都能引起產(chǎn)品失效，則這些引起產(chǎn)品失效的原因稱為失效機(jī)理，這個(gè)產(chǎn)品則稱為競爭失效產(chǎn)品。已有許多學(xué)者對(duì)競爭失效產(chǎn)品進(jìn)行了研究。師義民等[1]基于逐步Ⅰ型混合截尾研究Pareto分布競爭失效產(chǎn)品恒定部分加速壽命試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)推斷問題；Aljohani等[2]基于Ⅱ型截尾，在部分步加壽命試驗(yàn)下，研究了Burr-XⅡ分布競爭失效產(chǎn)品參數(shù)估計(jì)問題；Ren等[3]在自適應(yīng)Type-Ⅱ逐步截尾競爭風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)下，研究Weibull分布未知參數(shù)的估計(jì)和生存與危險(xiǎn)函數(shù)；毛松等[4]在各失效模式下壽命均服從指數(shù)分布的情況下，建立了競爭失效場合聯(lián)合Ⅱ型截尾壽命試驗(yàn)?zāi)Ｐ停玫搅藚?shù)的極大似然估計(jì)，并采用Bootstrap給出了參數(shù)的區(qū)間估計(jì)；Abu-Zinadah等[5]基于Ⅱ截尾，在部分步加壽命試驗(yàn)下，對(duì)浴盆形狀產(chǎn)品建立了競爭失效模型，并得出了參數(shù)的估計(jì)值和區(qū)間估計(jì)；Wu等[6]基于逐步Ⅰ型混合截尾恒加壽命試驗(yàn)，得到了未知參數(shù)的經(jīng)典估計(jì)和漸近置信區(qū)間，基于無信先驗(yàn)，采用Gibbs采樣算法獲得兩貝葉斯估計(jì)和HPD可信區(qū)間；王燕等[7]基于Marshall-Olkin擴(kuò)展指數(shù)分布的逐步Ⅱ型截尾壽命試驗(yàn)競爭失效模型，對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)問題進(jìn)行了研究。

逆Lomax分布是重要的壽命分布之一，是第二類廣義貝塔分布的一個(gè)實(shí)例，可用于具有遞減失效率的元件壽命的隨機(jī)模型。關(guān)于逆Lomax分布的研究，Singh等[8]在Ⅱ型截尾方案下，研究了逆Lomax分布（ILD）的參數(shù)、可靠性和危險(xiǎn)函數(shù)的經(jīng)典估計(jì)和貝葉斯估計(jì)問題，并通過一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用來說明這一研究在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；Yasser等[9]對(duì)逆Lomax分布下步進(jìn)應(yīng)力部分加速壽命試驗(yàn)的參數(shù)估計(jì)問題進(jìn)行了研究；Bantan等[10]研究了多重截尾數(shù)據(jù)下逆Lomax分布的Rényi熵和q熵的估計(jì)；黃亞楠[11]研究了逆Lomax分布可靠度R的統(tǒng)計(jì)推斷問題；Ramadan等[12]基于逐步首次失效，研究了逆Lomax分布多應(yīng)力強(qiáng)度模型可靠性的參數(shù)估計(jì)問題；Rahman等[13]研究了參數(shù)未知時(shí)兩元件逆Lomax分布的混合模型問題；Jan[14]利用正態(tài)近似、Tierney和Kadane（T-K）近似等各種近似技術(shù)研究逆Lomax分布的形狀參數(shù)的行為，在這些近似技術(shù)下，考慮了不同的信息先驗(yàn)和非信息先驗(yàn)來獲得逆Lomax分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，此外，還使用模擬技術(shù)和真實(shí)生活數(shù)據(jù)集對(duì)在這些先驗(yàn)下獲得的估計(jì)進(jìn)行了比較。近年來，逆Lomax分布在可靠性、地球物理應(yīng)用分析、經(jīng)濟(jì)學(xué)和精算科學(xué)等諸多領(lǐng)域都有應(yīng)用[15-16]。

本文研究基于混合截尾樣本，對(duì)逆Lomax分布在競爭失效產(chǎn)品中的統(tǒng)計(jì)分析進(jìn)行了探討。研究采用極大似然估計(jì)（MLE）和貝葉斯估計(jì)（BE）方法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行了分析，同時(shí)通過Monte Carlo模擬比較了這兩種估計(jì)方法的效果。研究結(jié)果顯示，貝葉斯估計(jì)優(yōu)于極大似然估計(jì)，且在相同置信水平下，貝葉斯方法的HPD可信區(qū)間長度較近似置信區(qū)間更短。

1" 基本假定與模型描述

1.1" 基本假定

以下列出了本章討論需要用的基本假設(shè)：

1）產(chǎn)品的失效是由兩個(gè)互相獨(dú)立的失效機(jī)理之一引起。

2）假設(shè)失效機(jī)理j引起的失效時(shí)間為Tj （ j = 1，2）。產(chǎn)品的壽命為2個(gè)失效機(jī)理的最小發(fā)生時(shí)間即T = min（T1，T2）。其壽命服從形狀參數(shù)為αj （ j=1，2）， 尺度參數(shù)為λj （ j = 1，2）的逆Lomax分布，其中分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為：

1.2" 模型描述

情形1：t1＜t2＜…＜tm，tm≤τ。

情形2：t1＜t2＜…＜τ＜…＜tm，tm＞τ。

2" 極大似然估計(jì)（MLE）和區(qū)間估計(jì)

2.1" 極大似然估計(jì)

基于觀測(cè)樣本t = （t1，t2，…，），參數(shù)αj，λj（ j = 1，2）的似然函數(shù)為：

對(duì)式（4）取對(duì)數(shù)可得對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

其中：

對(duì)式（5）分別關(guān)于αj、λj求偏導(dǎo)，并令其等于0，有：

2.2" 近似置信區(qū)間

利用極大似然估計(jì)（MLE）的漸近正態(tài)性，可以推導(dǎo)出每個(gè)未知參數(shù)的近似置信區(qū)間（ACI），首先需要計(jì)算MLE的觀測(cè)Fisher信息矩陣，定義參數(shù)θ（θ1，θ2，θ3，θ4）=（α1，α2，λ1，λ2），對(duì)式（6）、式（7）關(guān)于參數(shù)θ求二階導(dǎo)，即可得到觀測(cè)Fisher信息矩陣如下：

可以得到具體的觀測(cè)Fisher矩陣的元素：

其中，zγ/2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的γ/2分位點(diǎn)。

由Delta[17]方法來求得，因此，參數(shù)的100（1-γ）%對(duì)數(shù)漸近置信區(qū)間為：

以這種方式，可以避免下限小于0的情況。

3" Bayes分析

3.1" Bayes估計(jì)

本節(jié)利用貝葉斯估計(jì)方法來估計(jì)參數(shù)。

參照文獻(xiàn)[18]中的先驗(yàn)選取方法，取未知參數(shù)的先驗(yàn)分布為無信息先驗(yàn)分布，則的聯(lián)合先驗(yàn)分布為：

可以得到參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)密度函數(shù)：

省略常數(shù)項(xiàng)，聯(lián)合式（3）、式（8），最終的聯(lián)合后驗(yàn)密度函數(shù)為：

對(duì)于參數(shù)的興趣函數(shù)，在平方損失函數(shù)下的貝葉斯估計(jì)為：

可以看出式（11）是個(gè)多重積分，由于多重積分的顯式計(jì)算較為困難，本文采用MH抽樣算法來解決這一問題。

3.2" MH抽樣算法

運(yùn)用MH抽樣算法[19]進(jìn)行參數(shù)的貝葉斯估計(jì)，需計(jì)算未知參數(shù)的條件后驗(yàn)密度函數(shù)。

利用聯(lián)合后驗(yàn)密度函數(shù)分別對(duì)求積分，得到的滿條件后驗(yàn)密度函數(shù)分別為：

由于式（12）、式（13）形式復(fù)雜，因此計(jì)算后驗(yàn)估計(jì)很困難。需要使用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法從參數(shù)的后驗(yàn)分布中抽樣，通過這些樣本來計(jì)算參數(shù)的貝葉斯估計(jì)和最高后驗(yàn)密度（HPD）可信區(qū)間，使用MH算法進(jìn)行抽樣的步驟如下：

1）設(shè)定為參數(shù)的初始值，i = 1。

2）設(shè)i = i+1。

3）從建議分布中產(chǎn)生一個(gè)候選點(diǎn)θ*；從均勻分布U（0，1）中產(chǎn)生一個(gè)值u。

4）計(jì)算接受概率：

若u≤γ，接受θ（i-1） = w*；否則θ* = θ（i-1）。

5）重復(fù)步驟2）～4），直到i = N。

6）根據(jù)步驟1）～5）可獲得序列θ（i），即參數(shù)的貝葉斯估計(jì)為：

7）將得到的所有分別按升序排列為：

設(shè)定顯著性水平為γ，當(dāng)0＜γ＜1時(shí)，置信度為100（1-γ）%的區(qū)間估計(jì)為：

選取步驟7）中最短的區(qū)間作為參數(shù)的HPD可信區(qū)間。

4" 數(shù)值模擬

在本節(jié)中，為了評(píng)估這些方法的有效性進(jìn)行數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，比較經(jīng)典估計(jì)和貝葉斯估計(jì)的優(yōu)良性，通過1 000次模擬，計(jì)算兩種不同估計(jì)的均方誤差（MSE）與平均絕對(duì)偏差（MAB），以及在95%置信水平近似置信區(qū)間與HPD可信區(qū)間等評(píng)價(jià)指標(biāo)。其中MSE和MAB的計(jì)算式分別為：

在給定參數(shù)初始值（α1，α2，λ1，λ2） = （0.6，1，1.3，0.9），基于不同樣本量和不同的移走方案進(jìn)行試驗(yàn)，具體試驗(yàn)移走方案如下所示。為比較不同樣本量對(duì)估計(jì)精度的影響，對(duì)（n，m）分別取（30，12）、（50，30）和（80，48）。在不同的移除方案和不同樣本量下，參數(shù)的模擬結(jié)果如表1和表2所示。

本文采用如下3種移走方案：

方案1：

方案2：

方案3：

由表1和表2的數(shù)據(jù)可以得到以下結(jié)論：

1）從總體上看，在三種不同移走方案下，參數(shù)的兩種估計(jì)方法的MSE隨著樣本量的增大而減小，方案3的估計(jì)效果比方案1和方案2的估計(jì)效果更穩(wěn)定。

2）在三種移除方案下，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量相等時(shí)，MH抽樣算法的貝葉斯估計(jì)方法的均方誤差（MSE）和平均絕對(duì)偏差（MAB）均顯著小于極大似然估計(jì)，突顯了貝葉斯方法的優(yōu)越性。這表明在各種移除方案中，使用貝葉斯方法能更準(zhǔn)確地估計(jì)參數(shù)。

3）隨著試驗(yàn)樣本數(shù)量的增加，可以觀察到兩種區(qū)間估計(jì)的平均長度普遍減少，但方案3的估計(jì)效果比方案1和方案2的估計(jì)效果更穩(wěn)定，在相同產(chǎn)品數(shù)量和相同的移走方案下，HPD可信區(qū)間的平均長度明顯短于平均近似置信區(qū)間，因此在95%的置信水平下，HPD可信區(qū)間整體優(yōu)于近似置信區(qū)間

5" 結(jié)" 論

本章針對(duì)逆Lomax分布下競爭失效產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)分析問題，在逐步Ⅰ型混合截尾的條件下展開了研究。在假設(shè)失效機(jī)理獨(dú)立的情形下，首先給出模型描述和基本假定，根據(jù)觀測(cè)到的數(shù)據(jù)，建立模型參數(shù)的似然函數(shù)，利用Newton-Raphson算法，求出模型參數(shù)的極大似然估計(jì)，同時(shí)確定了參數(shù)的近似置信區(qū)間。然后，使用無信息先驗(yàn)分布和平方損失函數(shù)，通過MH算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行貝葉斯估計(jì)，從而計(jì)算出了最大后驗(yàn)密度可信區(qū)間。最后，通過對(duì)數(shù)值模擬比較參數(shù)的極大似然估計(jì)和Bayes估計(jì)的效果。模擬結(jié)果表明：總體上在三種不同移走方案下，產(chǎn)品數(shù)量相同時(shí)，MH抽樣算法得到的Bayes估計(jì)顯示，其均方誤差和平均絕對(duì)偏差均優(yōu)于極大似然估計(jì)；HPD平均可信區(qū)間比平均近似置信區(qū)間長度更窄，方案3的估計(jì)效果比方案1和方案2的估計(jì)效果更穩(wěn)定。

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