混合雙寡頭Bertrand博弈模型的復雜動態性研究

摘 要 考慮國有企業和私營企業混合競爭的價格博弈模型，他們共同生產某種差異化商品，并且采用有限理性預期原則確定商品的未來價格. 建立二維離散動力系統，求解動力系統的邊界均衡點和納什均衡點，并研究它們的穩定性.在數值分析中，通過分岔圖、最大Lyapunov指數、奇異吸引子和對初始條件的敏感依賴展示系統的動態性質. 最后，利用反饋控制策略對系統進行混沌控制，使系統最終趨于穩定.

關鍵詞 混合競爭；Bertrand博弈；納什均衡點；穩定性；混沌控制

中圖分類號 F224；O29 文獻標識碼 A

1 引 言

寡頭壟斷是介于壟斷和完全競爭之間的一種市場結構，它的顯著特點是市場上只有少數幾家企業生產同質或相似商品. 在這種市場結構中，企業不僅要考慮消費者的行為，還要考慮競爭者的反應，也就是要對競爭者將如何行動進行預期. 雙寡頭壟斷是寡頭壟斷中的一種特殊情況，指的是某一行業所有或絕大多數的市場占有率由兩個企業操控. 寡頭壟斷市場中企業間的競爭行為一直是經濟學研究的熱點，對寡頭行為多樣性和市場復雜性的研究具有重要意義.

文獻中對雙寡頭博弈的復雜動態行為進行了大量研究. Agliari等研究了具有差異化商品的Cournot雙寡頭博弈模型，其中有限理性企業采用梯度學習機制調整市場產量[1]. Elsadany研究了具有差異化商品的Cournot雙寡頭博弈模型，其中每個參與者在有限理性的預期下最大化其相對利潤，得到了均衡點的穩定性[2]. Sarafopoulos和Papadopoulos研究了一類具有差異化商品的非線性Bertrand雙寡頭博弈動力學問題[3]. Askar和Al-khedhairi研究了以相對利潤最大化為目標函數的雙寡頭Bertrand模型的復雜動態性[4]. Xiao等研究了一類非線性雙寡頭產量競爭的Stackelberg模型[5]. Ma等建立了具有市場份額偏好的Cournot-Bertrand雙頭壟斷模型，其中一家企業以價格作為決策變量，另一家企業以產量作為決策變量，并且兩家企業都是有限理性的[6]. Askar研究了信息不對稱條件下的Cournot-Bertrand雙寡頭博弈模型[7].

上述文獻中的結果依賴于所有企業都是私營的并且以利潤最大化為企業目標，這些研究不適用于日益流行的混合寡頭博弈，即國有企業和私營企業進行競爭，這種混合競爭模式在航空、鋼鐵、保險等行業廣泛存在. Matsumura和Ogawa研究發現在混合雙寡頭競爭中，無論商品是替代品還是互補品，選擇價格契約都是兩個企業的優勢策略[8]. Nakamura研究了四種混合競爭模式，即價格競爭、產量競爭、價格-產量競爭以及產量-價格競爭，分別計算了市場均衡時國有企業和私營企業的目標函數并進行了比較[9]. Askar研究了具有兩個不同目標的Cournot雙寡頭博弈的非線性動態問題，兩個企業生產同質商品，得到了納什均衡點的穩定性[10].

本文研究混合Bertrand博弈模型，假設兩家企業生產具有差異化的商品，并且假設他們使用有限預期原則確定未來的產品價格，通過建立二維離散的動力系統研究均衡點的穩定性，并作數值分析. 最后對系統進行混沌控制.

2 模型構建

考慮一個混合雙寡頭博弈模型，即市場上存在兩個競爭者生產某種具有差異化的商品，其中一個競爭者為國有企業（企業0），另一個競爭者為私營企業（企業1）. 商品的逆需求函數為

其中，pi表示企業i的價格，qi表示企業i的產量，α和β是正的常數，商品的差異化系數δ∈（0，1）. 令mi表示企業i的邊際成本且假定α＞m0≥m1.

企業0的目標是最大化社會福利，即生產者的利潤與消費者剩余之和. 消費者剩余由下式確定

4 數值模擬

在本節中，我們對動態系統（8）的演化過程進行數值分析，通過分岔圖，最大Lyapunov指數，奇異吸引子和對初始條件的敏感依賴來展示系統（8）的復雜動力學行為.

固定參數δ＝0.2，β＝0.5，k0＝3.5，k1＝3，m0＝0.12，m1＝0.11，圖2展示了系統（8）相關于參數α的分岔圖. 從圖2可以看出當α＜0.24時，納什均衡點基本處于穩定狀態；當α＝0.24時出現2個分岔；當α＞0.24開始出現倍周期分岔行為，當α＞0.365系統最終從倍周期進入混沌狀態. 最大Lyapunov指數是定量描述系統混沌狀態的重要指標，從圖3中可以看出，最大Lyapunov指數和分岔圖是完全相對應的.

奇異吸引子和對初始條件的敏感性是混沌的兩個重要特征. 圖4為α＝0.39時系統（8）的奇異吸引子，該圖在二維平面上繪制了完整選代后的系統軌跡，它反映了混沌狀態下復雜現象的內在規律. 圖5顯示了控制系統（8）對初始條件的敏感性，給出了p0分別取0.200 0和0.200 1時p0的時間歷程圖，雖然初始價格的兩個軌道在開始時是無法區分的，但經過一系列選代后，差異會變得明顯.

5 混沌控制

數值模擬部分顯示了系統（8）的復雜動態性質，但在實際的經濟運行中，需要消除或控制混沌的不利影響. 本節采用系統變量的狀態反績控制策略[14]對系統（8）進行混沌控制，則二維離散時間動態系統（8）變為

從圖6可以看出，隨著μ的增大，可以明顯地觀察到系統逐漸擺脫混沌行為且倍周期分岔消失，從而達到穩定. 當μ＞0.3時，系統（9）在納什均衡點E3附近達到穩定狀態.

6 結 論

本文研究了混合雙寡頭Bertrand博弈模型，其中兩個競爭者分別為國有企業和私營企業，他們共同生產某種具有差異化的產品. 在兩個競爭者采用有限理性預期條件下建立離散動力系統，并對系統均衡點的穩定性進行分析. 在數值模擬中，通過選取合適參數，利用分岔圖、最大Lyapunov指數、奇異吸引子以及初始值敏感性來展示系統的動態性質. 最后，通過選擇合適的控制參數對系統進行混沌控制，系統最終趨于穩定狀態.

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Complex Dynamics Analysis of a Mixed Duopoly

Bertrand Game Model

JIAO Linzhi1， BAO Zhenhua2*

（1. Basic Courses Teaching and Research Department， YingKou Institute of Technology， Yingkou 115100， Liaoning， China;

2. School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian 116081， Liaoning， China）

Abstract" In this paper， a price game model is considered for mixed competition between state-owned enterprises and private enterprises， which produce a differentiated goods together， and determine the future price of the goods by using the principle of bounded rational expectation. A two-dimensional discrete dynamical system is established， and the boundary equilibrium point and Nash equilibrium point of the dynamical system are solved， and their stability is studied. In numerical analysis， the dynamics of the system are demonstrated through bifurcation diagram， maximum Lyapunov exponent， the strange attractor， and sensitive dependence on initial conditions. Finally， the state variables feedback and parameter variation can be used to control the chaos of the system， which makes the system ultimately stable.

Keywords" mixed competition; bertrand game; nash equilibrium point; stability; chaos control

收稿日期：2024 －04 －30

通信作者：包振華（1976—），男（漢族），遼寧大連人，遼寧師范大學教授，博士，研究方向：經濟數學.

E-mail：zhhbao@126.com

基金項目：遼寧省教育廳基本科研項目（JYTMS20231043）