基于模型縮聚理論的車橋耦合振動分析方法

摘要 文章首先提出了基于模型縮聚理論的車橋耦合振動分析方法，然后利用Matlab編制了計算程序，最后通過算例對分析方法和計算程序進行了對比驗證，結果表明，基于模型縮聚的車橋耦合分析方法可以保證計算精度，提升計算效率，提出的方法和編制的程序可應用于大型、復雜橋梁結構的車橋耦合計算分析。

關鍵詞 車橋耦合振動；模型縮聚；Matlab程序；對比驗證

中圖分類號 U441.3 文獻標識碼 A 文章編號 2096-8949（2025）02-0010-03

0 引言

隨著橋梁技術的發展，結構越來越復雜，傳統的分析方法給有限元模型的建立和車橋耦合動力學方程的求解計算都帶來了挑戰。模型縮聚可以縮減矩陣的階數，廣泛應用于航天器、船舶和其他結構的結構分析[1-3]。該文將模型縮聚技術應用于橋梁結構中，建立了基于模型縮聚的車橋耦合動力學方程，基于Matlab編制了計算程序，通過一個算例對計算結果的精度、計算效率進行了對比分析。結果表明，該文提出的基于模型縮聚的車橋耦合分析方法及程序計算結果可信，計算效率優于傳統方法，可應用于復雜橋梁結構的車橋耦合動力分析。

1 基于模型縮聚理論的車橋耦合分析方法

綜合考慮結構實際受力及變形規律等主要因素，對結構進行合理的力學簡化，再通過有限元離散化建模，得到結構的有限元分析模型，其動力學方程可表示如下：

式中，——質量矩陣；——阻尼矩陣；——剛度矩陣；——節點自由度的位移；——節點自由度的速度；——節點自由度的加速度列陣；——節點自由度荷載列陣。

將結構離散化的節點自由度分成兩類：一類為外部主自由度，用下標表示，外部主自由度的位移、速度和加速度分別表示為、和；另外一類為內部自由度，用下標表示，其自由度位移、速度和加速度分別表示為、和。自由度分類后，對特征矩陣進行分塊，則式（1）可以表示如下：

模型縮聚理論的核心思想是在離散化結構的節點自由度位移中，選擇使用其中的少部分自由度位移代替所有的自由度位移，轉換關系如下：

式中，——節點自由度的轉換矩陣。

常用的模型縮聚方法有模態疊加法、靜力縮聚（GMS），IRS（Improved Reduced System）動力縮聚和固定界面模態綜合法縮聚（后文簡稱CMS縮聚）。不同的模型縮聚方法，其轉換矩陣的表達式不同。靜力縮聚轉換矩陣、IRS動力縮聚轉換矩陣和CMS縮聚轉換矩陣的計算表達式分別如下[4-6]：

針對模塊化拼組的橋梁結構，根據結構拼組特點，對橋梁結構先進行拆分，再進行縮聚，將模塊化的橋梁分段作為低一級的子結構，建立各模塊的有限元模型。橋梁結構第個模塊子結構的動力學方程表示如下：

式中，上標——第個模塊的動力學方程。

對橋梁子結構進行縮聚，其第個模塊的縮減動力學方程為如下：

引入各模塊子結構之間的連接關系，由各模塊子結構縮減矩陣裝配可得到橋梁系統的縮減動力學方程式，其表達式如下：

車輛系統的動力學方程可表示如下：

對于模型縮聚橋梁動力學方程，在處理車橋耦合振動方程時，采用的方法同常規方法一樣；在時域內求解時，同樣可以采用整體法和分離法耦合車橋系統的振動方程。采用分離法求解時，在時刻車輛行駛到橋梁橋面某位置處，假定某車輪位置處的豎向位移為，車輛車輪中心節點的豎向位移為，路面不平整度為，則車輪中心和路面的位移差表示如下：

該車輪受到的力為，則有：

式中，——車輪的剛度；——車輪的阻尼。

若該車輪處橋梁受到的力為，根據牛頓第三運動定律，有：

由式（11）、式（12）和式（13），可以計算得到時刻的車橋耦合作用力，結合該時刻的其他外力，可

設定計算收斂誤差為，若，則時刻內的計算結束；若不滿足，則令，再求解動力學方程式（9）和式（10），直到符合誤差要求為止。

2 算例對比分析

論文以車輛通過簡支板橋為例，采用Matlab編制計算程序，對該文提出的計算方法和編制的程序進行驗證。圖1所示為空間雙軸車輛模型，其詳細參數值如表1所示，整車自由度為。

橋梁采用簡單的空間板橋，其參數如下：橋長16 m，寬5.4 m，高0.25 m，彈性模量為2×1011 N/m2，密度為3 500 kg/m3。

圖2為該文程序基于不同縮聚矩陣求解的跨中位移計算結果與常規矩陣計算結果的對比曲線。由圖2可知，除IRS縮聚外，兩種方法下的其他計算結果與常規矩陣完全相同。

表2所示為程序采用不同的計算方法在同一計算機的計算時間匯總表，由表2可知，不同求解矩陣的求解速度比較結果如下：靜力縮聚＞IRS縮聚＞CMS縮聚＞原始矩陣。無論哪種車橋耦合求解方法，都需要求解車輛通過橋梁的每一個時間步下的動力學方程，縮聚矩陣大幅降低了動力學方程的維度，使得求解更加快捷，這點在需要迭代求解的動力學方程的分離法中表現得非常明顯。不同縮聚方法的耗時不同，主要體現在兩個方面：第一是求解轉換矩陣的耗時不同，靜力縮聚轉換矩陣最簡單，CMS縮聚轉換矩陣求解最難；第二是求解維數，CMS縮聚由于增加了附加模態，其動力學維數大于其他兩種方法。因此，三種方法中的求解時間，靜力縮聚最快，而CMS縮聚則最慢。

3 總結

該文編制了基于靜力縮聚、IRS縮聚和CMS縮聚理論的車橋耦合分析程序，并通過一個簡支板橋算例進行了對比研究，得出以下結論：

（1）采用不同的計算方法，對空間自由度雙軸車輛模型通過空間板橋的過程進行了車橋耦合分析，計算結果表明：靜力縮聚矩陣、CMS縮聚矩陣的計算結果和原始矩陣計算結果接近，而IRS縮聚矩陣的計算結果偏小。

（2）對比了不同計算方法的耗時，對于原始矩陣，分離法耗時最長，整體法耗時最短；對于同一車橋耦合處理方法，CMS縮聚方法的耗時大于IRS縮聚方法，而靜力縮聚方法耗時最短。

該文基于模型縮聚車橋耦合分析方法的Matlab程序計算結果可信，與傳統方法相比，計算速度快、效率高，可應用于大型、復雜橋梁結構的車橋耦合計算分析，相關方法和程序也可拓展應用于其他大型結構的動力分析。

參考文獻

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