抓準真起點 開展真研究

一日，筆者聽了某位教師執教的人教版教材三年級下冊“用面積解決問題”一課。該教師通過講解教材的例題、練習，順利完成了教學。從課堂上學生的反應來看，他們似乎都掌握了這類問題的解決方法。課后，筆者隨機訪談了幾名學生，他們紛紛表示解決這類問題很簡單，只要用大圖形的面積除以小圖形的面積就可以了。是不是每個學生都這樣認為？為全面了解情況，筆者隨即對全班41名學生做了一次課后調查。

課后調查的題目如下。

（1）從一張長16厘米、寬10厘米的長方形貼紙中，剪出邊長為2厘米的正方形小貼紙，最多能剪幾張？

（2）從一張長16厘米、寬10厘米的長方形貼紙中，剪出邊長為4厘米的正方形小貼紙，最多能剪幾張？

調查結果顯示，第（1）題全班有38人回答正確，正確率為92.7%，3名學生出錯分別是由單位名稱錯誤、方法錯誤和計算錯誤導致的。而第（2）題全班僅有8人做對，正確率為19.5%。究其錯因，主要還是方法問題。多數學生都用大圖形面積除以小圖形面積的方法來解決問題，得到答案“10張”，導致結果出錯。

為什么兩題的調查結果反差這么大？仔細分析，第（1）題中，用小正方形貼紙正好能鋪滿大長方形貼紙，所以無論是用大圖形面積除以小圖形面積的方法還是用畫圖策略求出相鄰兩邊各能剪幾個小正方形再相乘的方法，得到的答案都是一樣的，所以正確率就高。第（2）題則有所不同，剪小正方形貼紙時大長方形貼紙會有剩余，學生如果只會生搬硬套，而不會根據具體情況靈活選擇解題方法，錯誤率自然就高了。

按常理，學生上完這節課以后，應該能夠正確解答這類問題，那為什么他們的錯誤率還這么高呢？究其原因，還是教學設計出了問題。這節課上教師選取的研究問題，基本都屬于大圖形的長和寬正好是小圖形邊長整倍數的類型，僅有的非整倍數的題目也是房間鋪地磚問題，所以用大圖形面積除以小圖形面積的方法得到的答案也是正確的，這就使得學生無法深刻理解策略的適用性，合理選擇解決問題的策略。那么，這節課究竟應如何定位、設計，才能真正提升學生的問題解決能力呢？圍繞這一問題，筆者開始了實踐與探索。

一、教學過程

環節一：自主探究，理解方法

1.揭示課題：用面積解決問題（板書）。

2.布置任務，讓學生嘗試解決。

出示任務1：從一張長16厘米、寬10厘米的長方形卡紙中，剪出邊長為4厘米的正方形卡片，最多能剪幾張？

讓學生通過想一想、算一算、畫一畫等方式自主探究，嘗試解決問題。

3.交流反饋，呈現解決方法。

請學生介紹他們使用的方法，說一說自己是怎么想的。

方法一：先求出長方形卡紙的面積，再求出正方形卡片的面積，然后用長方形卡紙的面積除以正方形卡片的面積，就是最多能剪的正方形卡片張數。即：16×10=160（平方厘米），4×4=16（平方厘米），160÷16=10（張）。

方法二：用畫圖的方法可以發現，沿著長方形卡紙的長邊可以剪4張，沿著寬邊最多可以剪2張。用沿著長邊剪的張數乘沿著寬邊剪的張數，也就是4×2，得出最多能剪8張正方形卡片。

4.辨析討論，得出正確方法。

學生討論：為什么兩種方法得到的答案不一樣，究竟最多能剪幾張正方形卡片？

得出結論：方法二正確。因為剪完8張正方形卡片后，剩下的長方形卡紙長16厘米、寬2厘米，不能再剪出邊長是4厘米的正方形卡片了。

小結：通過畫圖可以發現，這張長方形卡紙最多能剪出8張正方形卡片。

環節二：分析對比，豐富體驗

1.布置任務，學生自主探究。

出示任務2：從一張長16厘米、寬10厘米的長方形卡紙中，剪出邊長為2厘米的正方形卡片，最多能剪幾張？

請學生自主解決，完成學習單。

2.交流反饋，呈現探究成果。

出示學生的研究成果，請學生介紹自己的解題思路。

方法一：16×10=160（平方厘米），2×2=4（平方厘米），160÷4=40（張）。

方法二：

討論：為什么這道題兩種方法計算出來的答案是一樣的？

得出結論：無論在這個長方形的長邊還是寬邊上剪邊長為2厘米的正方形卡片，都是恰好剪完沒有剩余，所以兩種方法得出的答案是一樣的。

3.對比小結，豐富相關體驗。

討論：兩種方法應該如何選擇？什么情況下兩種方法都適用？

小結：一般情況下，可以采用“沿著長邊剪的張數×沿著寬邊剪的張數”，即“每行（列）剪的張數×行（列）數”的方法來解決；當大圖形的長與寬剛好是小圖形邊長的整倍數時，就可以采用“大圖形的面積÷小圖形的面積”的方法來解決。

環節三：舉一反三，深化應用

1.出示任務3，請學生選擇合適的方法解決問題。

（1）一塊長16分米、寬10分米的長方形墻面需要貼面磚。用邊長為4分米的正方形面磚貼滿這個墻面，一共需要多少塊？

（2）從一塊長8分米、寬7分米的長方形布料中，剪出面積為4平方分米的正方形小樣，這塊布料最多可以剪出這樣的幾塊？

2.反饋交流，請學生介紹自己的解題方案，說說理由。

反饋第（1）題的兩種解題方案。

方法一：16×10=160（平方分米），4×4=16（平方分米），160÷16=10（塊）。

方法二：

討論：應該選用哪種方法，為什么？

這道題要求用面磚貼滿長方形墻面，盡管寬不是正方形邊長的整倍數，但是沿著寬貼完兩行8塊磚后，墻面剩余部分還是需要通過裁剪面磚的方式貼滿，所以采用“大圖形的面積÷小圖形的面積”的方法是對的。如果用“沿著長邊剪的塊數×沿著寬邊剪的塊數”計算，就會出現沒有貼滿的情況。

討論：將這道題和任務1的剪卡片問題進行對比，為什么兩道題選擇的方法會不一樣？

反饋第（2）題的解題方案：面積為4平方分米的正方形布料小樣的邊長為2分米，由于長8分米、寬7分米的長方形布料的寬不是正方形邊長的整倍數，所以求最多可以剪出這樣的幾塊不能用“大圖形的面積÷小圖形的面積”的方法，而要用“沿著長邊剪的塊數×沿著寬邊剪的塊數”的方法來解決。

小結：在解決問題時，需要根據實際情況靈活選擇合適的解題方法。

3.拓展提升，請學生再思考。

出示任務4：有一塊長8分米、寬4分米的長方形玻璃，把它分成長3分米、寬2分米的小長方形玻璃，最多可以分成幾塊？

學生自主探索，然后組織交流討論：可以用什么方法解決？答案是多少？

方法一：

方法二：

想一想：為什么答案是5塊而不是4塊？

4.總結：像這樣求“大圖形里面包含幾個小圖形”的問題，一般情況下可以采用“每行（列）包含小圖形的個數×行（列）數”來解決，特殊情況還可以用“大圖形的面積÷小圖形的面積”的方法來解決。解題時，需要根據具體問題畫一畫圖，靈活選擇正確策略進行解答。

二、課后感悟

課堂實踐之后，筆者又對學生進行了訪談與課后調查，并出示了與之前課后調查同類型的兩道題。解題時，很多學生都會主動用草圖來驗證自己的方法。調查結果顯示，這兩題學生的正確率均在90%以上。由此可見，基于學生的真實起點，精心選材，讓學生真正展開研究，才能讓學生真實成長。

（一）基于起點，發現真問題

有效的教學必須建立在對學生充分了解的基礎之上，這要求教師明晰學生的認知起點、明確教材的邏輯結構，基于真問題開展課堂教學。本課通過前期的聽課后測以及課前調查，發現學生的主要問題是在策略選取上。對于這類求“大圖形里面包含幾個小圖形”的問題，學生習慣于用“大圖形的面積÷小圖形的面積”的特殊方法解決問題，沒有考慮方法的適用性。基于學生實際，筆者對教材例題進行了適當調整，選取需要采用“每行（列）包含小圖形的個數×行（列）數”的方法解決的問題引入，通過對“8張”還是“10張”卡片的辨析討論，引導學生對解題策略進行深入思考。從課堂教學效果來看，基于學生真實問題展開的教學能真正激活學生的思維，讓學生學有所獲。

（二）基于重點，展開真研究

本節課以剪卡片問題為中心，圍繞“最多能剪幾張”，以任務驅動的方式組織學生展開研究，讓學生先通過獨立思考自主探索獲得結論，而后通過全班的反饋交流、教師的小結引導，感悟解決問題策略的多樣性與適用性。實踐證明，基于教學重點，讓學生親歷研究的過程，能加深學生的活動體驗，讓研究賦能學生的成長，讓教學活動真實有效，再現數學課堂的魅力。

（三）基于疑點，促進真發展

本課學生的疑點在于如何根據實際問題選取適合的策略進行解答。因此，教學設計始終圍繞學生的疑點展開，無論是新課的剪卡片問題還是練習中的貼面磚問題、剪布料問題，均讓學生在對比分析中加深感悟，提升解決問題的能力。以課堂環節三為例，筆者特意讓學生對比剪卡片問題和貼面磚問題，從而明了解決問題時靈活選擇策略的重要性。同時，課后又通過裁玻璃問題，讓學生感悟面對實際問題不能按部就班，而要具體問題具體分析，必要時可以畫一畫簡圖助力研究，從而全面提升學生的問題解決能力，發展核心素養。

（浙江省杭州市求是教育集團）