摘要：針對現(xiàn)有軌跡跟蹤控制方法較難兼顧控制精度與穩(wěn)定性的問題，提出一種基于Udwadia-Kalaba（U-K）控制理論的魯棒控制方法。基于拉格朗日法建立機器人動力學(xué)模型，將動力學(xué)參數(shù)分為確定的名義部分與不確定部分；結(jié)合U-K理論與系統(tǒng)名義部分參數(shù)確定外骨骼機器人系統(tǒng)理想運動軌跡約束下的名義部分控制力矩；為消除機器人系統(tǒng)不確定部分的影響，引入魯棒控制器，通過劃分不確定性邊界確定其應(yīng)輸出的額外控制力矩。仿真結(jié)果表明：相較于傳統(tǒng)PID算法，基于U-K控制理論的魯棒控制的外骨骼機器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)角度的軌跡跟蹤控制精度分別提高了76.4%和96.8%。基于設(shè)計的下肢外骨骼機器人樣機進行軌跡跟蹤對比實驗，實驗結(jié)果表明：基于該方法的下肢外骨骼髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)角度的軌跡跟蹤精度為0.467 0°和0.114 1°，相比作為對照的PID算法，分別提高了82.6%和86.8%，同時系統(tǒng)整體控制周期縮短了56.6%，該控制方法具有更高的同步性、控制精度與穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：下肢外骨骼機器人；Udwadia-Kalaba控制理論；魯棒控制；軌跡跟蹤控制

中圖分類號：TP242.6"文獻標(biāo)志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202501014"文章編號：0253-987X（2025）01-0148-11

Lower Limb Exoskeleton Gait Trajectory Tracking Control Based on

Udwadia-Kalaba Control Theory

XIAO Zhiyi^1，2， SHA Liansen^1，2， ZOU Xuekun²， HUANG Kun^1，2， LI Yongbin^1，2， LIU Bin^1，2

（1. School of Biomedical Engineering （Suzhou）， University of Science and Technology of China， Suzhou， Jiangsu 215000， China;

2. Suzhou Institute of Biomedical Engineering and Technology， Chinese Academy of Science， Suzhou， Jiangsu 215000， China）

Abstract：To address the challenge of balancing control precision and stability in existing trajectory tracking control methods， a robust control method based on Udwadia-Kalaba （U-K） control theory is introduced. Using the Lagrangian method， a dynamic model for robots is established， dividing dynamic parameters into a deterministic nominal part and an uncertain part. The nominal control torque under ideal motion trajectory constraints for the exoskeleton robot system is determined based on the U-K theory and the nominal parameters. A robust controller is introduced to mitigate the effects of uncertainty， with uncertainty boundaries defined to establish the necessary additional control torque. The simulation results indicate that， compared to traditional PID algorithms， the trajectory tracking accuracy of the hip and knee joint angles for the exoskeleton robot is enhanced by 76.4% and 96.8%， respectively， using the proposed U-K-based robust control method. The results from trajectory tracking comparative experiments using a prototype of the lower limb exoskeleton robot designed based on this method show that the trajectory tracking accuracy for the hip and knee joint angles are 0.4670° and 0.1141° for the lower limb exoskeleton， indicating an 82.6% and 86.8% enhancement over the PID algorithm used as a control. Furthermore， the overall system control period is decreased by 56.6%. That control method exhibits enhanced synchronization， control precision and stability.

Keywords：lower limb exoskeleton robots；Udwadia-Kalaba theory；robust controller；trajectory tracking control

下肢外骨骼機器人在輔助患者行走、促進運動功能恢復(fù)與提升方面起著關(guān)鍵作用^［1-2］。作為一種典型的非線性時變系統(tǒng)，外骨骼機器人在實際應(yīng)用中不可避免地受到系統(tǒng)內(nèi)部不確定性因素的影響，這些因素常導(dǎo)致步態(tài)軌跡跟蹤控制過程中出現(xiàn)精度降低和穩(wěn)定性下降的問題^［3-4］。因此，開發(fā)適宜的軌跡跟蹤控制方法以滿足患者下肢步態(tài)康復(fù)訓(xùn)練的需求，已成為當(dāng)前的研究熱點^［5-6］。

近年來，針對下肢外骨骼機器人的控制方法研究取得了一定進展。牟如強等對滑模控制算法中的趨近律進行了創(chuàng)新性改進，顯著提升了控制精度^［7］。然而，該系統(tǒng)在運行過程中仍存在抖振問題，且穩(wěn)定性有所下降。趙子瑞等提出了一種基于深度確定性策略梯度的PD控制方法，通過實時分析系統(tǒng)誤差來動態(tài)調(diào)整控制參數(shù)，實現(xiàn)步態(tài)軌跡的精確跟蹤^［8］。然而，當(dāng)系統(tǒng)受到未知干擾時，誤差會增大，穩(wěn)定性也會下降。邢文琪等將滑模控制與PD控制理論相結(jié)合，進一步提升系統(tǒng)控制精度^［9］，盡管這一方法在一定程度上達成了目標(biāo)，但高計算量導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)速度減慢，限制了其在實際應(yīng)用中的性能。Shi等將模糊控制理論與PID控制相結(jié)合，構(gòu)建了模糊PID控制策略，確保非線性系統(tǒng)信號的最終有界性^［10］。然而，面對復(fù)雜系統(tǒng)時，該方法的控制精度有所下降，且由于需要大量數(shù)據(jù)支持，其適用性受到限制。綜上所述，現(xiàn)有下肢外骨骼機器人軌跡跟蹤控制方法難以同時保證精度與穩(wěn)定性。

Udwadia和Kalaba提出的Udwadia-Kalaba（U-K）控制理論為軌跡跟蹤控制提供了新思路^［11-12］。該理論通過引入伺服約束力控制，為構(gòu)建被控系統(tǒng)運動方程提供了一種簡潔而高效的途徑。張佳樂基于U-K理論構(gòu)建了自行車側(cè)向扭矩模型，通過施加側(cè)向約束力，精準(zhǔn)地實現(xiàn)了自行車橫滾角的軌跡跟蹤控制，仿真實驗證實了該方法的有效性和準(zhǔn)確性^［13］。梁斌將U-K控制理論應(yīng)用于四足機器人的腿部軌跡跟蹤控制，通過仿真實驗驗證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性^［14］。這些研究不僅展示了U-K控制理論在復(fù)雜系統(tǒng)控制中的適用性，也為下肢外骨骼機器人的軌跡跟蹤控制提供了新的思路。然而，盡管U-K控制理論可以保證被控系統(tǒng)在理想條件下的軌跡跟蹤精度，但在實際應(yīng)用中仍面臨一些挑戰(zhàn)。系統(tǒng)的不確定性因素和外部干擾對軌跡跟蹤控制產(chǎn)生負(fù)面影響^［15］，導(dǎo)致系統(tǒng)難以同時保證準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。魯棒控制理論在系統(tǒng)不確定性邊界已知的情況下，能夠有效保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并具有良好的抗干擾能力^［16］。因此，結(jié)合U-K控制理論與魯棒控制策略，有望為下肢外骨骼機器人等復(fù)雜系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制提供更全面和穩(wěn)定的解決方案。

基于上述分析，本研究提出一種基于U-K控制理論的魯棒控制方法，以保證下肢外骨骼機器人在康復(fù)訓(xùn)練過程中步態(tài)軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。通過U-K控制理論確定名義系統(tǒng)約束力以保證軌跡跟蹤精度，并通過魯棒控制理論提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。根據(jù)下肢外骨骼機器人動力學(xué)方程建立控制器，并通過Simulink進行仿真實驗，與PID控制效果進行對比。最后，搭建實驗平臺，進行樣機實驗以進一步驗證控制方法的有效性、準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

1"基于U-K理論的系統(tǒng)約束力確定

基于U-K理論確定系統(tǒng)名義約束力的過程如下。設(shè)被控系統(tǒng)具有n個自由度，其動力學(xué)方程可表示為

M（θ，t）=F（θ，，t）（1）

M（θ，t）∈R^n×n為正定慣性矩陣，F(xiàn)（θ，，t）是n×1的廣義約束力矢量，用于描述被控系統(tǒng)所受到的外力，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)用θ∈Rⁿ表示，∈Rⁿ為系統(tǒng)廣義速度矢量，∈Rⁿ為系統(tǒng)廣義加速度矢量，可推導(dǎo)出被控系統(tǒng)在無約束情況下的加速度為

a（θ，，t）==M^－1（θ，t）F（θ，，t）（2）

被控系統(tǒng)所受的軌跡約束表達式為

η_i（θ，t）=0，i=1，2，…，l（3）

式中：l為系統(tǒng)所受約束數(shù)。

被控系統(tǒng)受到的二階軌跡約束表達式為

A_l×n（θ，，t）=b_l×n（θ，，t）（4）

將設(shè)定的軌跡約束施加到被控系統(tǒng)上，更新后的動力學(xué)方程為

M（θ，t）=F（θ，，t）+Fc（θ，，t）（5）

式中

Fc（θ，，t）=M^1/2AM^－1/2+（b－Aa）（6）

AM^－1/2+為AM^－1/2的廣義逆矩陣，是AM^－1/2的唯一Moor-Penrose（MP）廣義逆矩陣^［17］，F(xiàn)c（θ，，t）為當(dāng)被控系統(tǒng)受到設(shè)定的軌跡約束時，為滿足該約束被控系統(tǒng)需要額外施加的廣義約束力，即被控系統(tǒng)為實現(xiàn)精確的軌跡跟蹤控制所需的約束力。

當(dāng)被控系統(tǒng)受到伺服約束，且該系統(tǒng)不存在不確定性因素時，可根據(jù)式（6）確定被控系統(tǒng)滿足約束條件的精確約束力，該約束力同樣滿足式（5）。但實際情況下，被控系統(tǒng)不可避免地存在不確定性因素，例如可穿戴外骨骼系統(tǒng)中人體自身所具有的不確定性，會對系統(tǒng)的精度與穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，因此控制器設(shè)計過程中將額外引入魯棒控制，通過設(shè)定系統(tǒng)不確定性參數(shù)邊界，建立魯棒控制器，使其輸出相應(yīng)的力矩，以降低不確定性因素對系統(tǒng)造成的影響。

2"基于U-K與魯棒控制理論的機器人軌跡跟蹤控制器設(shè)計

2.1"機器人動力學(xué)模型

本文以設(shè)計的下肢外骨骼機器人（左右各具有兩自由度）為對象進行分析，關(guān)節(jié)分別設(shè)置在下肢髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)位置，機器人結(jié)構(gòu)如圖1所示，采用直流無刷電機進行驅(qū)動。

鑒于行走過程具有周期性，且雙腿步態(tài)軌跡只存在相位差，所以將下肢外骨骼機器人簡化為如圖2所示的二自由度運動鏈結(jié)構(gòu)。設(shè)下肢外骨骼機器人大腿位置的桿件長度為l₁，質(zhì)量為m₁；小腿位置的桿件長度為l₂，質(zhì)量為m₂；膝關(guān)節(jié)處質(zhì)量為m₃；小腿末端負(fù)載質(zhì)量為m₄；大腿位置桿件與豎直方向的夾角為θ₁；小腿位置桿件相對大腿位置桿件的轉(zhuǎn)角為θ₂；髖關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角速度為₁；膝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角速度為₂；髖關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角加速度為₁；膝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角加速度為₂。

根據(jù)拉格朗日方程，本文建立了二自由度下肢外骨骼機器人動力學(xué)模型，以針對其進行步態(tài)軌跡跟蹤控制。模型包括兩桿件和兩質(zhì)點，兩桿件質(zhì)量都均勻分布，在計算系統(tǒng)動能時需要考慮轉(zhuǎn)動慣量。大腿桿件與小腿桿件的轉(zhuǎn)動慣量分別為

I₁=13m₁l²₁（7）

I₂=112m₂l²₂（8）

系統(tǒng)的總動能和總勢能分別為

Es=∑4i=1E_si=16（（l²₂（m₂+3m₄）+

l²₁（m₁+3（m₂+m₃+m₄））+

3l₁l₂（m₂+2m₄）cosθ₂）θ²₁+

l₂（2l₂（m₂+3m₄）+3l₁（m₂+2m₄）cosθ₂）₁₂+

l²₂（m₂+3m₄）²₂）（9）

Ep=∑4i=1E_pi=m₁gl₁2+m₂gl₁+l₁2+m₃gl₁+

m₄g（l₁+l₂）－m₁gl₁cosθ₁2+

m₂g（l₁cosθ₁+l₂cos（θ₁+θ₂）2+

m₃gl₁cosθ₁+m₄g（l₁cosθ₁+l₂cos（θ₁+θ₂）））（10）

式中：Es與Ep分別表示系統(tǒng)的動能與勢能；E_si表示系統(tǒng)第i部分動能；E_pi表示系統(tǒng)第i部分勢能。

根據(jù)拉格朗日方程^［18］定義下肢外骨骼機器人系統(tǒng)動力學(xué)模型為

L=∑4i=1E_si－∑4i=1E_pi（11）

ddtL－Lθ=τ（12）

式中：L表示拉格朗日函數(shù)；τ表示關(guān)節(jié)力矩。整理得到下肢外骨骼機器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

M（θ）+C（θ，）+G（θ）=τ（13）

式中：M（θ）為系統(tǒng)的慣性矩陣；C（θ，）為系統(tǒng)科氏力/離心力矩陣；G（θ）為重力矩陣；為關(guān)節(jié)角加速度。以上參數(shù)的表達式如下

θ=θ₁θ₂（14）

M=M₁₁M₁₂M₂₁M₂₂

（15）

C（θ，）=H₁₁H₂₁（16）

G（θ）=G₁₁G₂₁（17）

τ=τ₁τ₂（18）

其中

M₁₁=13m₁+m₂+m₃+m₄l²₁+13m₂+m₄l²₂+（m₂+2m₄）l₁l₂cosθ₂

M₁₂=M₂₁=13m₂+m₄l²₂+

12（m₂+2m₄）l₁l₂cosθ₂+12（m₂+2m₄）l₁l₂cosθ₂

M₂₂=13m₂+m₄l²₂

H₁₁=-12m₂+m₄l₁l₂（sinθ₂）²₂-

（m₂+2m₄）l₁l₂（sinθ₂）₁₂

H₂₁=12m₂+m₄l₁l₂（sinθ₂）²₁

G₁₁=12m₁+m₂+m₃+m₄gl₁sinθ₁+

12m₂+m₄gl₂sin（θ₁+θ₂）

G₂₁=12m₂+m₄gl₂sin（θ₁+θ₂）

2.2"軌跡跟蹤控制器設(shè)計

設(shè)被控系統(tǒng)約束方程的一階、二階導(dǎo)數(shù)表達式為

A_m×n（θ，t）=c_m×n（θ，，t）（19）

A_m×n（θ，t）=b_m×n（θ，，t）（20）

矩陣A的行數(shù)和列數(shù)分別為m和n，對于任意θ∈Rⁿ， t∈R，A_m×n（θ，t）滿秩，A_m×n（θ，t）和AT_m×n（θ，t）互逆。

基于式（13）下肢外骨骼動力學(xué)模型中確定參數(shù)與不確定參數(shù)進行分離

M（θ，σ，t）=（θ，t）+ΔM（θ，σ，t）（21）

C（θ，，σ，t）=（θ，，t）+ΔC（θ，，σ，t）（22）

G（θ，σ，t）=（θ，t）+ΔG（θ，σ，t）（23）

控制系統(tǒng)的名義部分為（·）、（·）、（·），該部分用于構(gòu)建名義系統(tǒng)，不確定部分為M（·）、ΔC（·）、ΔG（·），構(gòu)建不確定系統(tǒng)，σ是參數(shù)中不確定因素的統(tǒng)一表達，為便于后續(xù)表達與計算，將下列參數(shù)表示為

D（θ，t）=^－1（θ，t）（24）

ΔD（θ，σ，t）=M^－1（θ，σ，t）－^－1（θ，t）（25）

E（θ，σ，t）=（θ，σ，t）M^－1（θ，σ，t）－I（26）

ΔD（θ，σ，t）=D（θ，t）E（θ，σ，t）（27）

根據(jù)的U-K理論結(jié)合控制系統(tǒng)名義參數(shù)，確定出控制器應(yīng)輸出的名義力矩表達式為

p₁（θ，，t）^1/2（θ，t）A（θ，t）^－1/2+·

b（θ，，t）+A（θ，t）^－1（θ，，t）+（θ，t）（28）

在控制器中添加p₂，用以處理被控系統(tǒng)在運行過程中產(chǎn)生的軌跡跟蹤誤差，提高控制器控制精度。

p₂（θ，，t）=－12f（θ，t）AT（θ，t）Pβ（θ，，t）（29）

β（θ，，t）=A（θ，t）－c（θ，，t）（30）

p₁、p₂兩個控制項均使用系統(tǒng)的名義參數(shù)作為控制參數(shù)，f為標(biāo)量，是控制器的比例參數(shù)，矩陣P∈R^n×n，同時矩陣元素P_ij≥0， i=1，2，…，n，j=1，2，…，n。

為消除不確定因素對控制系統(tǒng)造成的影響，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，本文采用魯棒控制理論為控制器添加額外控制力矩^［19-20］，并提出以下條件。

定義矩陣ψ（θ，t）

ψ（θ，t）PA（θ，t）D（θ，t）D（θ，t）AT（θ，t）P（31）

該矩陣滿足

infθ∈Rⁿ， t∈Rλmψ（θ，t）gt;0（32）

式中λm為矩陣的最小特征值。

針對矩陣E（θ，σ，t），定義變量ρE，表示系統(tǒng)不確定性達到邊界時所對應(yīng)的極限值，且ρEgt;1，由式（26）可知，所有的θ∈Rⁿ， t∈R均滿足下式

12minσ∈ΣλmE（θ，σ，t）+ET（θ，σ，t）≥ρE（33）

當(dāng)系統(tǒng)無不確定因素，即當(dāng)σ恒等于0時，ρE≡0。

為了限定被控系統(tǒng)不確定因素邊界，設(shè)計函數(shù)ρ（θ，，t），其中θ∈Rⁿ， ∈Rⁿ， t∈R，且該函數(shù)滿足下式

ρ（θ，，t）≥max‖PAΔD（－C（t）－G+p₁+p₂）+

PAD（－ΔC（t）－ΔG）‖（34）

式中：ΔG表示重力矩陣與名義重力矩陣的差值，即為重力矩陣的不確定參數(shù)部分。

基于上述分析及條件建立用以處理被控系統(tǒng)不確定因素的控制項

p₃（θ，，t）=－γ（θ，，t）μ（θ，，t）ρ（θ，，t）（35）

根據(jù)魯棒控制理論，為了便于計算，定義μ（·）、（·）、η（·）為中間數(shù)量，γ（·）為調(diào)節(jié)系數(shù)， 以表示系統(tǒng)在不確定性因素影響下的調(diào)節(jié)作用，表達式如下

γ（θ，，t）=

（1+ρ_E）^－1μ（θ，，t）μ（θ，，t），μ（θ，，t）gt;ε

（1+ρ_E）^－1μ（θ，，t）²ε，μ（θ，，t）≤ε（36）

μ（θ，，t）=η（θ，，t）ρ（θ，，t）（37）

η（θ，，t）=（θ，，t）β（θ，，t）（38）

（θ，，t）=（θ，t）AT（θ，t）P（39）

式中：p₃用于降低不確定性因素的影響，ε用于調(diào)控控制項對系統(tǒng)不確定性因素輸出控制力矩的靈敏程度，通過對參數(shù)ρ（·）的調(diào)節(jié)，實現(xiàn)控制項p₃對不確定性因素邊界不同做出調(diào)整的目的。

根據(jù)以上分析建立基于U-K控制理論的魯棒控制器為

τ（t）=p₁（θ（t），（t），t）+p₂（θ（t），（t），t）+p₃（θ（t），（t），t）（40）

基于U-K理論的魯棒控制框圖如圖3所示。

2.3"穩(wěn)定性分析

選取合法的Lyapunov函數(shù)^［21］，以證明被控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所選函數(shù)為

V（β）=βTPβ（41）

對Lyapunov函數(shù)兩側(cè)沿被控系統(tǒng)時間求導(dǎo)得到

=2βTP{A［M^－1（－C－G）+

M^－1（p₁+p₂+p₃）］－b}（42）

將式（42）代入式（24）～式（27）可知

2βTP{A［M^－1（－C－G）+M^－1（p₁+p₂+

p₃）］－b}=2βTPA［D（－－）+

D（p₁+p₂）+D（－ΔC－ΔG）+

ΔD（－C－G+p₁+p₂）+（D+ΔD）p₃］－b（43）

將式（28）入式（43）中，得到

AD（－－）+Dp₁－b=0（44）

將式（34）代入式（43）中，得到

2βTPA［ΔD（－C－G+p₁+p₂）+

D（－ΔC－ΔG）］≤

2‖β‖‖PA［ΔD（－C－G+p₁+p₂）+

D（－ΔC－ΔG）］‖≤2‖β‖ρ（45）

將式（29）代入式（43）中，得到

2βTPADp₂=2βTPAD－f^－1ATPβ=－2fη²（46）

將式（35）與式（27）代入式（43）中，得到

2βTPA（D+ΔD）p₃=－2βTPA（D+DE）γμρ=

2（DAPβρ）T（I+E）（－γμ）=

－2γμTμ－2γμTEμ≤

－2γμ²－2γλm（E+ET）μ²≤

－2γ（1+ρE）μ²（47）

當(dāng)μgt;ε，由式（47）可得

－2γ（1+ρE）μ²=－2βρ（48）

根據(jù)式（44）～式（48），式（42）可推導(dǎo)得到

≤－2fη²+2βρ－2βρ=－2fη²（49）

當(dāng)μlt;ε，由式（47）可得

－2γ（1+ρE）μ²=－2β²ρ²/ε（50）

由式（42）推導(dǎo)可得

≤－2fη²+2βρ－2β²ρ²ε=

－2fη²+ε2（51）

將上述兩式合并可以得到

≤－2fη²+ε2（52）

根據(jù)Rayleigh原理可得

η²=ηTη=βTPADDATPβ≥

λm（PADDATP）β²≥λβ²（53）

可知

≤－2fλη²+ε2（54）

式中：λ為矩陣最小特征值的下確界。根據(jù)實用穩(wěn)定性定理^［21］，結(jié)合式（51）～式（54），可以證明被控系統(tǒng)一致有界

d（r）=λM（P）λm（P）R，"r≤R

λM（P）λm（P）r，"rgt;R（55）

R= ε4fλ（56）

式中：λM為最大特征值，被控系統(tǒng)具有一致最終有界性，、d分別為距離函數(shù)d（r）的上界和下界

gt;d=λM（P）λm（P）R（57）

T（，r）=

0， r≤λM（P）λm（P）

λM（P）r²－（λ²m（P）/λM（P））²2fλ²λm（P）/λM（P）－（ε/2），

rgt;λM（P）λm（P）（58）

3"仿真實驗及分析

3.1"步態(tài)數(shù)據(jù)獲取及處理

步態(tài)數(shù)據(jù)來源于生物力學(xué)與人體運動控制相關(guān)研究^［22］，包括髖關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)運動時的關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)，使用Matlab提取關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)并進行擬合，獲得步態(tài)數(shù)據(jù)擬合函數(shù)作為下肢外骨骼機器人控制過程中的期望關(guān)節(jié)軌跡。由于步態(tài)軌跡具有周期性，且行走過程中，雙腿各關(guān)節(jié)運動軌跡之間相位差約為半個周期，所以只需要對下肢單側(cè)的步態(tài)數(shù)據(jù)進行擬合，控制系統(tǒng)也只需將單側(cè)步態(tài)數(shù)據(jù)曲線作為期望軌跡來實現(xiàn)控制，根據(jù)髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)步態(tài)數(shù)據(jù)分別擬合髖關(guān)節(jié)期望軌跡θh和膝關(guān)節(jié)期望軌跡θk

θh=7.675－9.765cos（6.364t）－

17.71sin（6.364t）+3.767cos（12.728t）－

0.872sin（12.728t）－1.189cos（19.092t）+

0.656sin（19.092t）－0.0208cos（25.456t）－

0.1717sin（25.456t）（59）

θk=16.96－2.246cos（6.364t）+21.97sin（6.364t）－

16.09cos（12.728t）－1.274sin（12.728t）+

2.237cos（19.092t）－2.113sin（19.092t）－

1.224cos（25.456t）－0.3647sin（25.456t）（60）

為滿足不同人群對步態(tài)數(shù)據(jù)軌跡的不同使用要求^［23］，以便對步態(tài)數(shù)據(jù)擬合函數(shù)進行調(diào)整，需要對θh、θk作如下參數(shù)化處理，得到髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)修正軌跡θ_h1、θ_k1

θ_h1=A₁θh（Tt）+B₁（61）

θ_k1=A₂θk（Tt）+B₂（62）

式中：A₁、A₂用于調(diào)節(jié)關(guān)節(jié)角度變化幅值；B₁、B₂用于調(diào)節(jié)關(guān)節(jié)角度偏移量；T用于調(diào)節(jié)關(guān)節(jié)角度變化周期。

3.2"步態(tài)軌跡跟蹤控制仿真實驗及結(jié)果分析

將基于U-K控制理論的魯棒控制應(yīng)用于下肢外骨骼機器人的步態(tài)軌跡跟蹤控制實驗，由于PID控制在外骨骼軌跡跟蹤控制中應(yīng)用廣泛^［24］，所以本實驗將與傳統(tǒng)的PID控制進行對比，以此驗證控制方法的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。采用Matlab/Simulink搭建仿真模型，基于θh、θk進行仿真實驗。由于步態(tài)數(shù)據(jù)擬合函數(shù)具有周期性，因此以髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)運動的前4個周期軌跡作為期望軌跡。

以外骨骼實物尺寸及質(zhì)量作為仿真系統(tǒng)的參數(shù)，l₁=0.45m，m₁=0.32kg，l₂=0.2m，m₂=0.1kg，m₃=1.35kg，m₄=0.6kg，重力加速度g=9.81m/s²，各關(guān)節(jié)初始角速度及角加速度均為0。

本實驗的運動軌跡參數(shù)為

A=1001（63）

c=hk（64）

b=hk（65）

控制參數(shù)選擇為P=1001、f=50、ρE=－0.01、ρ（θ，，t）=50、ε=0.001。

下肢外骨骼機器人系統(tǒng)的質(zhì)量、速度、科氏力等參數(shù)包含不確定部分^［25］，根據(jù)實驗過程中測得的不確定部分的變化范圍確定其邊界。同時，由于關(guān)節(jié)電機運動具備周期性，不確定部分的變化也有周期性，因此，結(jié)合獲得的不確定部分變化邊界，設(shè)定系統(tǒng)所受不確定部分的慣性矩陣ΔM、科氏力矩陣ΔC 與重力矩陣ΔG分別為

ΔM=0.001sinπ2t0.005sinπ2t

0.002sinπ2t0.001sinπ2t（66）

ΔC=0.002sin（t）－0.001sin（πt）（67）

ΔG=0.02sin（t）－0.015sin（πt）（68）

通過多次實驗調(diào)試結(jié)果并結(jié)合PID控制原理^［26］，將PID控制器的參數(shù)設(shè)置為Kp=diag［400"400］，Ki=diag［10"200］，Kd=diag［400"400］，采用基于U-K理論的魯棒控制器和PID控制器對下肢外骨骼機器人系統(tǒng)進行仿真實驗，獲取仿真實驗數(shù)據(jù)，并將仿真數(shù)據(jù)與期望軌跡進行對比得到仿真誤差，結(jié)果如圖4、圖5所示。

通過對實驗結(jié)果分析可得，PID控制下的髖關(guān)節(jié)跟蹤誤差范圍為－0.4°～1.0°，且誤差曲線存在明顯的抖動，基于U-K方程的魯棒控制下的髖關(guān)節(jié)跟蹤誤差范圍為－0.115°～0.100°，較PID控制減小了76.4%。PID控制下的膝關(guān)節(jié)跟蹤誤差范圍為－0.15°～3.00°，基于U-K方程的魯棒控制下的膝關(guān)節(jié)跟蹤誤差范圍為－0.06°～0.04°，較PID控制減小了96.8%。基于U-K方程的魯棒控制的跟蹤誤差范圍與峰值均小于PID控制，且誤差變化更加穩(wěn)定，其誤差曲線與PID控制相比沒有明顯的偏移，證明基于U-K方程的魯棒控制具有更高的控制精度與穩(wěn)定性。將兩種控制模式下的軌跡跟蹤誤差進行統(tǒng)計學(xué)分析，誤差分析結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，在系統(tǒng)參數(shù)及約束條件相同的情況下，基于U-K方程的魯棒控制的下肢外骨骼機器人軌跡跟蹤精度分別為0.0477°與0.0196°，相比基于PID控制的0.1473°與1.5840°，分別提高了67.62%和98.76%。本文方法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.0425°和0.0279°，誤差方差分別為0.0018°與0.0008°；PID控制的誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.3452°和0.7610°，誤差方差分別為0.1191°與0.5790°，基于本文方法的步態(tài)軌跡跟蹤控制具有更高的穩(wěn)定性。綜上所述，基于U-K方程的魯棒控制與傳統(tǒng)的PID控制相比，具有更高的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。

4"下肢外骨骼機器人步態(tài)軌跡跟蹤控制樣機實驗

為進一步驗證基于U-K方程的魯棒控制方法的可行性、準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性，搭建下肢外骨骼機器人樣機及實驗平臺，如圖7所示。基于STM32F429開發(fā)板設(shè)計算法實現(xiàn)下肢外骨骼機器人的軌跡跟蹤控制，實驗平臺主要包括上位機、STM32F429開發(fā)板、電機驅(qū)動器、關(guān)節(jié)電機、編碼器、下肢外骨骼機器人樣機、電源模塊。

本實驗為人體穿戴實驗，以外骨骼實物與人體腿部尺寸及質(zhì)量計算系統(tǒng)動力學(xué)方程，并根據(jù)穿戴后各部分參數(shù)不確定的范圍設(shè)定系統(tǒng)所受的不確定性因素，搭建基于U-K控制理論的魯棒控制器。考慮實際康復(fù)訓(xùn)練過程中，過快的步速可能會對患者造成傷害，因此實物驗證中，通過上述步態(tài)數(shù)據(jù)擬合函數(shù)內(nèi)的周期調(diào)整參數(shù)T進行調(diào)節(jié)，將函數(shù)周期放大5倍，即4.93s，實驗記錄4周期內(nèi)軌跡跟蹤情況，并編寫PID控制程序，與基于U-K控制理論的魯棒控制進行對比，實驗結(jié)果如圖8、圖9所示。

由圖9可見，PID控制下的外骨骼樣機髖關(guān)節(jié)誤差范圍為－8.5°～9.4°，膝關(guān)節(jié)誤差范圍為－6.5°～8.2°，誤差范圍較大，且實際軌跡相對于期望軌跡存在明顯的偏移，沒有收斂于期望軌跡，其準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性均較差。基于U-K控制理論的魯棒控制下髖關(guān)節(jié)誤差范圍為－3.7°～2.3°，膝關(guān)節(jié)誤差范圍為－2.8°～3.9°，誤差主要出現(xiàn)在運動方向發(fā)生變化的位置，即軌跡的峰值處，且存在輕微抖振，主要是由于外骨骼機器人運動過程中的慣性與機構(gòu)間隙導(dǎo)致的。與PID控制相比，本文方法的整體跟蹤精度較高，誤差曲線偏移較小。證明了基于U-K控制理論的魯棒控制具有更高的準(zhǔn)確性。將兩種控制方法的軌跡誤差做統(tǒng)計學(xué)分析，結(jié)果如圖10 所示。

基于軌跡跟蹤誤差得到誤差均值、誤差標(biāo)準(zhǔn)差、誤差方差^［27］，其中，以軌跡跟蹤誤差均值作為跟蹤精度的表征指標(biāo)，在基于U-K控制理論的魯棒控制下，下肢外骨骼機器人軌跡跟蹤精度在髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)處分別為0.4670°與0.1141°，相比PID控制算法的2.6786°與0.8426°，分別提高了82.57%與86.84%，證明本文方法具有更高的軌跡跟蹤精度，本文所提方法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.9566°與1.6931°，誤差方差分別為3.8283°與2.8665°，而PID控制算法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為4.1048°與3.6287°，誤差方差分別為16.8495°與13.1673°，對比可知，本文方法的誤差標(biāo)準(zhǔn)差與誤差方差均小于PID控制的，證明本文方法具有更好的穩(wěn)定性。由此證明，在實際應(yīng)用中，相比傳統(tǒng)PID控制，基于U-K方程的魯棒控制具有更高的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。

外骨骼運動過程中控制系統(tǒng)延遲對人機協(xié)同運動的影響非常重要^［28］，為驗證本文基于U-K控制理論的魯棒控制在人機協(xié)同方面的控制效果，分別對基于本文控制方法與PID控制算法的延遲指標(biāo)即系統(tǒng)整體控制周期^［28］進行測量，控制周期包括傳感器測量周期、控制算法計算周期、控制信號傳遞周期。

測量結(jié)果表明，基于U-K控制理論的魯棒控制的外骨骼系統(tǒng)整體控制周期為10.8ms，延遲較小，基于PID控制下系統(tǒng)控制整體周期為24.9ms，延遲較大。即基于U-K控制理論的魯棒控制下的外骨骼運動具有更高的同步性，人機協(xié)同效果更好。

5"結(jié)"論

針對下肢康復(fù)外骨骼機器人高準(zhǔn)確性、高穩(wěn)定性的軌跡跟蹤控制要求，本文設(shè)計了基于U-K控制理論的魯棒控制系統(tǒng)，將U-K動力學(xué)理論與魯棒控制理論相結(jié)合，基于U-K控制理論計算被控系統(tǒng)的精確約束力以提高軌跡跟蹤精度，采用魯棒控制理論對系統(tǒng)不確定因素輸出相應(yīng)力矩，提高控制系統(tǒng)穩(wěn)定性。最后以PID控制為對照，開展步態(tài)軌跡跟蹤控制實驗與系統(tǒng)控制延遲對比實驗，結(jié)果表明，與傳統(tǒng)PID控制相比，基于U-K控制理論的魯棒控制方法具有更高的同步性、控制精度與穩(wěn)定性。

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（編輯"武紅江）