動手嘗試 分類驗證

在小學階段，我們借助剪拼三角形紙片的三個內角，發現任意三角形的內角和都是180°。最近，隨著我們學習了“平面圖形的初步認識”這一章，我了解到了多邊形的概念：在平面內，由不在同一條直線上的三條或更多線段首尾順次相連形成的封閉圖形被稱為多邊形。這讓我產生了一個疑問：多邊形的內角和是否還是180°呢？如果不是，那么它的內角和又與哪些因素有關系呢？帶著這樣的疑問，我開始了探索之旅，并找到了答案。現在，我迫不及待地想與大家分享我的探索過程。

我先對四邊形ABCD的內角和進行了探索（如圖1）。根據教材中對角線的概念，我連接對角線AC，將四邊形ABCD分割成兩個三角形（△ABC、△ACD）。根據三角形的內角和為180°，所以四邊形ABCD的內角和為180°×2=360°。

接著，我對五邊形ABCDE的內角和進行了探索（如圖2）。同樣，過頂點A分別連接對角線AC、AD，這樣將五邊形ABCDE分割成3個三角形（△ABC、△ACD、△ADE）。根據三角形的內角和為180°，所以五邊形ABCDE的內角和為180°×3=540°。

通過這樣的操作，我發現，對于n邊形來說，過其中的一個頂點，可以作（n-3）條對角線，將n邊形分割成（n-2）個三角形，再根據三角形的內角和為180°，得n邊形的內角和為180°（n-2）。

上面的探索方法是從頂點構建了對角線，將多邊形進行了分割。那么，能否從其他一般的點進行分割呢？我又開始了思考。

仍然從四邊形入手，取四邊形ABCD的AB邊上任意一點O（如下頁圖3），分別連接OC、OD，將原四邊形分割成3個三角形（△OAD、△OCD、△OBC），但與四邊形的內角和相比多了一個平角∠AOB。根據三角形的內角和為180°，所以四邊形ABCD的內角和為180°×3-180°=360°。

再看五邊形ABCDE，取AB邊上任意一點O（如圖4），分別連接OC、OD、OE，將原五邊形分割成4個三角形（△OAE、△OED、△OCD、△OBC），但與五邊形的內角和相比仍然多了一個平角∠AOB。根據三角形的內角和為180°，所以五邊形ABCD的內角和為180°×4-180°=540°。

通過這樣的操作，我發現，對于n邊形來說，過其中一邊上的任意一點，可以分割成（n-1）個三角形，但與原n邊形的內角和相比多了一個平角（180°），這樣，n邊形的內角和為180°（n-1）-180°=180°（n-2）。

上面所取的這個點O，能否不在多邊形的邊上呢？我進行了如下嘗試：取n邊形內的任意一點O（如圖5），分別將頂點與點O進行連接，將原n邊形分割成n個三角形，但與原n邊形的內角和相比多了一個周角（360°），根據三角形的內角和為180°，得n邊形的內角和為180°·n-360°=180°（n-2）。

教師點評

胡孫龍同學在探索知識的過程中，能夠積極思考，靈活應用所學的數學知識對發現的問題進行深入探究。他經歷了從特殊到一般的歸納、猜想、驗證的過程，不僅通過一題多解不斷地進行自我反思，還對問題進行有深度的思考與拓展，展現了他在數學學習上的扎實基本功。

（指導教師：陳廣兵）