關于L-代數中理想的一些注記

許多邏輯代數可以看成L-代數.討論一些特殊的L-代數，給出其L-理想與格濾子之間的關系.刻畫一類使得L-理想集與格濾子集相等的格L-代數，同時給出L-代數與蘊含格之間的一個等價刻畫.進一步給出格序效應代數的理想與L-理想以及它的同余與L-同余的等價刻畫.

L-代數; 格序效應代數; L-理想; 蘊含格; 濾子

O159 A 0270-09 02.012

L-代數^[1]的概念表示了一種量子結構，與braidings，非交換邏輯和Yang-Baxter方程^[2]有著密切的關系.Hilbert代數，locales，（left）hoops，（pseudo）MV-代數和格序錐是L-代數^[1].最近，Rump^[3]刻畫了廣義正交模格作為一類L-代數.Wu等^[4]給出了正交模格與LE-L-代數之間的一個等價刻畫.文獻[5]證明了如果一個L-代數L的理想格I（L）是分配的，那么I（L）也是一個L-代數甚至是一個spatial locale.換句話說，L的理想可以看作拓撲空間Spec L（即L的譜）譜中的開集.

效應代數是一個含有部分運算的代數結構，從量子系統方面來看，它是Hilbert空間中界于零算子和單位算子之間的自伴算子^[6].它們是在量子力學中出現的許多結構的推廣^[7-8]，例如非交換測度理論中的正交模格和模糊測度理論中的MV-代數.Kpka等^[9]在模糊數學領域定義了一種新結構，即所謂的模糊D-集，并證明了D-集與效應代數等價.效應代數在量子邏輯的理論研究中有不可忽視的作用，所以關于其代數性質的研究是十分重要的.本文主要研究格序效應代數的理想與同余，一般而言，在效應代數中，其理想與同余之間并不存在序同構關系.Avallone等^[10]證明了如果I是效應代數中的Riesz理想，則～I（～I表示由I誘導的一個關系）是一個Riesz同余.反過來，如果～是一個Riesz同余，那么I=[0]～（[0]～={a|a～0}）是一個Riesz理想，并且～I=～.Wu等^[11]給出了格序效應代數與LE-L-代數之間的一個等價刻畫，在此基礎上，本文從L-代數的角度給出格序效應代數中Riesz理想與Riesz同余的一個序同構.

在邏輯代數的研究中，子代數與濾子理論起到了非常重要的作用，很多學者對此做了很多研究^[12-14].本文將討論一些特殊的L-代數，研究其L-理想與格濾子之間的關系，證明∧-閉的格L-代數的L-理想集與格濾子集是相等的當且僅當它是一個蘊含格.受文獻[10]的啟發，本文討論格序效應代數中的Riesz理想與L-理想之間的關系，以及格序效應代數中的Riesz同余與L-同余之間的關系.

1 預備知識

定義 1.1^[1]

一個L-代數（L，→）是一個（2，0）型代數，并且對x，y，z∈L滿足以下條件：

x→x=x→1=1，1→x=x，

（1）

（x→y）→（x→z）=（y→x）→（y→z）， （2）

x→y=y→x=1x=y，

（3）

其中，條件（1）說明了1是一個邏輯單位，并且邏輯單位是唯一的.由文獻[1]的命題2可知，存在一個偏序關系

x≤yx→y=1，

（4）

使得1是L的最大元.如果L有最小元0，那么稱L是有0的L-代數.如果L在偏序下作成一個格，則稱此時的L-代數為格L-代數.

由文獻[1]的命題2可知，設（L，→）是一個L-代數，則對x，y，z∈L有x≤yz→x≤z→y成立.

定義 1.2^[5]

設L是一個L-代數，YL是一個L-子代數，如果x，y∈Y蘊含x→y∈Y.如果對x∈L，y∈Y有x→y∈Y成立，稱Y是一個不變L-子代數.

定義 1.3^[1]

設（L，→）是一個L-代數，稱IL是一個理想，如果對x，y∈L滿足以下條件：

1∈I，

（5）

x，x→y∈Iy∈I，

（6）

x∈I（x→y）→y∈I，

（7）

x∈Iy→x∈I，y→（x→y）∈I.

（8）

如果L滿足

x→（y→x）=1，

（9）

則條件（8）可以被替換.

命題 1.1^[1]

設（L，→）是一個L-代數，每個理想I都可以定義一個同余

x～y：x→y， y→x∈I.

反過來，每個同余～定義一個理想I：={x∈L|x～1}.

推論 1.1^[1]

對于一個L-代數L，當L/～是一個L-代數時，理想和同余～之間存在一個一一對應.

尹麗云，等：關于L-代數中理想的一些注記

注 1.1

設L是一個L-代數，由文獻[1]中的推論1的證明可知，L/～是一個L-代數當且僅當滿足

x～y（x→y）～（y→x）～1.

（10）

定義 1.4^[1]

一個幺半群H帶有另一個二元運算→被稱為是一個left hoop，如果對a，b，c∈H滿足以下條件：

a→a=1，

（11）

ab→c=a→（b→c），

（12）

（a→b）a=（b→a）b.

（13）

每一個left hoop H都可以生成一個L-代數（H，→）.

left hoop H的公理（12）意味著

ab≤ca≤b→c

（14）

對a，b，c∈H都成立.因此，H是由它潛在的L-代數結構完全決定的.

定義 1.5^[1]

稱一個L-代數（L，→）是自相似性的，如果對x∈L，左乘yMT ExtraaA@x→y是下集↓x→L上的一個雙射.

每一個自相似性L-代數都是一個left hoop，對a，b∈H定義

a∧b：=（a→b）a，

（15）

則式（15）是一個下確界，而且對a，b，c∈H有

a→（b∧c）=（a→b）∧（a→c）.

（16）

由文獻[1]的定理3可知，在left hoop的同構意義下，每一個L-代數都有唯一的一個自相似性閉包S（L）.相關概念見文獻[1].

定義1.6^[15]

設L是一個L-代數.定義L的一個∧-閉包C（L）是一個L-代數，使得L是C（L）的一個L-子代數，并且C（L）中的每一個元素a∈C（L）都滿足a=x1∧…∧xn，其中xi∈L.

定義 1.7^[16]

稱一個L-代數L是∧-閉的，如果L=C（L）.

定義 1.8^[17]

一個Hilbert代數L是一個具有二元運算→和常元1的集合，并且對x，y，z∈L滿足以下等式：

x→x=1，

（17）

1→x=x，

（18）

x→（y→z）=（x→y）→（x→z），

（19）

（x→y）→（（y→x）→x）=（y→x）→（（x→y）→y）.

（20）

由文獻[18]的命題3可知，每一個Hilbert代數都是L-代數.

定義 1.9^[2]

稱一個L-代數L的元素p是素的，如果對x∈L滿足x≤p或者x→p≤p.如果p∈L都是素的，則稱L是一個素L-代數.

注 1.2

設L是一個有最大元1的偏序集，通過定義如下的二元運算

x→y：=

1， 如果x≤y，

y， 如果x≤/y，

（21）

其中，x，y∈L，則可以將（L，→）看成一個L-代數.由文獻[2]的定義1可知，素L-代數都是這樣的.

2 格L-代數的理想與格濾子

定義 2.1^[19]

設（L;∧，∨）是一個格，若L的非空子集F滿足以下條件：

a∈F， x∈L， a≤xx∈F，

a∈F， b∈Fa∧b∈F，

則稱F是L的濾子.顯然濾子是一個升集.

設I是L-代數L的一個理想，由條件（5）和（6）可知，當x∈I，y∈L，x≤y時，有y∈I成立，即I是一個升集.本節主要討論一些特殊的L-代數，研究它的理想與格濾子之間的關系.

設L是一個格L-代數，將L的所有L-理想的集合記為I（L），L的所有格濾子的集合記為F（L），L的所有L-同余的集合記為Con（L）.

定義 2.2^[19]

一個格L稱為蘊含格，或Brouwer格，如果對任意L中的元素a，b，集合{x∈L|a∧x≤b}包含最大元.這個最大元稱為a在b中的余、相對偽補或實質蘊含，記作a→b.如果Brouwer格有最小元0，元素a→0稱為a的偽補.

引理 2.1^[19]

設L是一個蘊含格，則對a，b，c∈L有以下性質：

b≤a→b，

（22）

a→（b→c）=（a∧b）→c=b→（a→c），

（23）

a→（b→c）=（a→b）→（a→c），

（24）

a→（a∧b）=a→b，

（25）

a∧b≤ca≤b→c，

（26）

a∧（a→b）=a∧b，

（27）

a∧（b→c）=a∧[（a∧b）→（a∧c）]，

（28）

L是分配格.

（29）

如果1是L的最大元，則

a=1→a，

（30）

a≤b當且僅當1=a→b.

（31）

命題 2.1^[18]

每一個Brouwer半格都是一個Hilbert代數.一個Hilbert代數L是一個Brouwer半格當且僅當L=C（L）.

命題 2.2

設L是一個蘊含格，則L是一個KL-代數.

證明

由定義2.2可知，a→a=1，a→1=max{x∈L|a∧x≤1}=1.根據式（30）可知1是一個邏輯單位.由式（23）和（24）可得

（a→b）→（a→c）=a→（b→c）=

b→（a→c）=（b→a）→（b→c），

所以L滿足條件（2）.下證L滿足條件（3），設a→b=b→a=1，則由式（31）可知a=b，所以L是一個L-代數.此外，通過式（22）可知，L滿足條件（9），故L是一個KL-代數.

定義 2.3^[20]

一個MV-代數（A，，，0）是一個帶有二元運算，一元運算以及一個特殊元0的一個集合A，并且對x，y，z∈A滿足以下條件：

x（yz）=（xy）z，

（32）

xy=yx，

（33）

x0=x，

（34）

x=x，

（35）

x0=0，

（36）

（xy）y=（yx）x.

（37）

引理 2.2^[20]

以下等式在每一個MV-代數中都成立：

x（y∧z）=（xy）∧（xz）.

（38）

引理 2.3

設L是一個格，則L的任意一個升集都是濾子當且僅當L是一個鏈.

證明

必要性 設L的任意一個升集都是濾子，L不是一個鏈，則存在a，b∈L使得a與b不可比.令A=a↑∪b↑={y∈L|y≥a或y≥b}，其中a↑和b↑都是L的升集，則A是一個升集.事實上，設x∈L，y∈A，x≥y，當x≥y≥a時，有x≥a，即x∈A;類似地，當x≥y≥b時，有x≥b，即x∈A，所以A是一個升集.由假設條件可知，A是一個濾子，所以a，b∈A蘊含a∧b∈A，也就是說，a≤a∧b≤a或者b≤a∧b≤b，當a∧b=a時，有a≤b，這與a與b不可比是矛盾的.同理可證，當a∧b=b時，與a與b不可比也是矛盾的，因此L是一個鏈.

充分性 設L是一個鏈，則L中的所有元素都可比.設A是L的一個升集，那么A中的元素也都可比.下證A是對∧封閉的.對x，y∈A，當x≤y時，有x∧y=x∈A;當y≤x時，有x∧y=y∈A.因此，A是L的一個濾子.

例 2.1

設（L，→）是一個素L-代數，則I是L的L-理想當且僅當I滿足條件（5）和（6）.

事實上，必要性顯然.

充分性 素L-代數當中的→由注1.2給出，設I滿足條件（5）和（6），只需證I滿足條件（7）和（8）.對于條件（7），設x∈I，y∈L，當x≤y時，有

（x→y）→y=1→y=y，

由條件（5）和（6）可知，I是一個升集，所以

y=（x→y）→y∈I;

當x≤/y時，有

（x→y）→y=y→y=1∈I.

因此，滿足條件（7）.對于條件（8），因為y→（x→y）=1y≤x→y，即滿足條件（9），所以滿足條件（8）.因此，I是L的L-理想.進一步地，當L是一個格素L-代數，則它的升集與L-理想是一樣的.事實上，由上面論述可知，L-理想是一個升集.反過來，設A是L的任意一個升集，則A=A↑={y∈L|（x∈A）y≥x}，因為1∈A，即滿足條件（5）.又因為x∈A，x≤y蘊含y∈A，即滿足條件（6），故A是一個L-理想.又因為L的格濾子都是升集而且對∧封閉，故每一個格濾子都是L-理想，但反之未必.

反例 2.1

設（M5，→），其中→由注1.2給出，從而可知（M5，→）是一個素L-代數，此時{a，b，1}是升集，但是a∧b=0{a，b，1}，對∧不封閉，故{a，b，1}不是格濾子（圖1）.

命題 2.3

設L是一個MV-代數，由文獻[11]的定理4.8可知，L是一個L-代數，其中x→y：=xy，則I是L的L-理想當且僅當I滿足條件（5）和（6）.

證明

必要性 顯然.充分性 設I滿足條件（5）和（6），只需證I滿足條件（7）和（8）.對于條件（8），因為

x→（y→x）=x（yx）=

（xx）y=1y=1，

所以，對x，y∈L，有x≤y→x成立，即滿足條件（9），故滿足條件（8）.對于條件（7），設x∈I，y∈L，又因為

（x→y）→y=（xy）y=

（yx）x=

（y→x）→x，

由條件（8）可知，（y→x）→x∈I，即滿足條件（7），因此I是L的L-理想.

例 2.2

設L是一個MV-代數，則它的L-理想都是格濾子，但反之未必.事實上，設I是L的一個L-理想，x∈I，y∈L且x≤y，則有x→y=1∈I.由條件（5）和（6）可知y∈I，所以I是升集.設x，y∈I，由引理2.2和條件（8）可知x→（x∧y）=x（x∧y）=（xx）∧（xy）=x→y∈I成立.再由條件（6）可知x∧y∈I，即對∧封閉，所以I是格濾子.

反例 2.2

已知在實單位區間[0，1]={x∈R|0≤x≤1}上定義運算xy=min{1，x+y}和x=1-x，則[0，1]=（[0，1]，，，0）是一個MV-代數.因為實單位區間[0，1]是一個鏈，所以由引理2.3可知[12，1]是升集，也是格濾子.

設x∈[12，1]，因為x→y=min{1，1-x+y}∈[12，1]，但是當x=12，y=0時，有x→y=12→0=12∈[12，1]，此時y=0[12，1]，即不滿足條件（6），所以[12，1]是格濾子，但不是L-理想.

命題 2.4

設L是一個蘊含格，則I是L的L-理想當且僅當I滿足條件（5）和（6），并且L的L-理想與濾子是一樣的.

證明

必要性 顯然.充分性 設I滿足條件（5）和（6），只需證I滿足條件（7）和（8），因為蘊含格滿足條件（9），故滿足條件（8）.對于條件（7），設x∈I，y∈L，由式（23）可得

x→（（x→y）→y）=（x→y）→（x→y）=1∈I，則由條件（6）可知（x→y）→y∈I，即條件（7）成立，所以I是L的L-理想.

下一步證明L的L-理想與濾子是一樣的.首先，設I是L的一個L-理想，x∈I，y∈L且x≤y，則有x→y=1∈I.由條件（5）和（6）可知y∈I，所以I是升集.設x，y∈I，由式（25）和條件（8）可知

x→（x∧y）=x→y∈I，

由條件（6）可知x∧y∈I，即I對∧封閉，所以I是格濾子.反過來，設F是L的一個格濾子，則有1∈F，滿足條件（5），設x，x→y∈F，則由式（27）可知

x∧（x→y）=x∧y∈F，且x∧y≤y，再由F是濾子可知y∈F，則滿足條件（6），所以F是L-理想.

命題 2.5

設L是一個具有最大元1的格，→是L上的一個二元運算，且對x，y，z∈L滿足

x∧y≤zx≤y→z，

（39）

則L是一個蘊含格.

證明

設L是一個具有最大元1的格，x，y，z∈L，則由條件（39）可知，y→z是集合{a∈L|a∧y≤z}上的最大元，即滿足定義2.2，故L是一個蘊含格.

定理 2.1

L是一個蘊含格當且僅當L是一個∧-閉的格L-代數且I（L）=F（L）.

證明

設L是一個蘊含格，由定義1.7和命題2.1可知，L是一個∧-閉的Hilbert代數.因為每一個Hilbert代數都是L-代數，所以L是一個∧-閉的L-代數.又因為L在偏序下作成一個格，所以L是一個∧-閉的格L-代數，再由命題2.4可知，必要性是成立的.下證充分性.設L是一個∧-閉的格L-代數且I（L）=F（L）.由命題2.5可知，只需證明x，y，z∈L，有x∧y≤zx≤y→z成立.設x，y，z∈L，x∧y≤z，則有y→（x∧y）≤y→z.因為L是一個∧-閉的L-代數，所以（16）式在L中是成立的，再由式（16）可知y→（x∧y）=（y→x）∧（y→y）=y→x，又因為x^↑是一個格濾子，且I（L）=F（L），則x^↑也是一個L-理想，所以由條件（8）可得y→x∈x^↑，進而有y→z∈x^↑，即x≤y→z.另一方面，設x，y，z∈L，x≤y→z，因為x∧y≤x≤y→z，所以

y→z∈（x∧y）^↑， y∈（x∧y）^↑.

又因為（x∧y）^↑是一個濾子，因此也是一個L-理想，由條件（6）可知，z∈（x∧y）^↑，即x∧y≤z.因此，x∧y≤zx≤y→z，故L是一個蘊含格.

3 LE-L-代數的理想與同余

定義 3.1^[6]

一個效應代數是一個集合E帶有2個特殊元0，1∈E，稱為零和單位，并且有一個部分二元運算，使得對p，q，r∈E滿足以下條件：

1） （交換律） 如果pq有定義，那么qp有定義，并且pq=qp;

2） （結合律） 如果pq有定義，（pq）r有定義，那么qr和p（qr）有定義，而且有p（qr）=（pq）r;

3） （正交補律） 對每一個p∈E都存在唯一一個q∈E使得pq有定義，并且pq=1，這個唯一的元q記為p′并且稱為p的正交補;

4） （0-1律） 如果p1有定義，那么p=0.

如果ab有定義，那么稱a和b是正交的，記為a⊥b.

設（E，，0，1）是一個效應代數.在E上定義一個二元運算

a≤b如果對于某個c∈E，有ca=b.

（40）

這是在E上的一個偏序，使得0和1分別是E的最小元和最大元.如果偏序集（E，≤）是一個格，那么E被稱為一個格序效應代數.

效應代數與D-posets等價^[6].

定義 3.2^[6]

D-poset是一個系統（P，≤，，0，1），其中P是一個具有最小元0和最大元1的偏序集，是P上的一個部分二元運算，對a，b，c∈P滿足以下條件：

1） ba被定義當且僅當a≤b;

2） a0=a;

3） 如果a≤b≤c，則cb≤ca并且（ca）（cb）=ba.

如果（P，≤）是一個格，稱P是一個D-lattice.

效應代數與D-posets的對應關系如下：如果（E，，0，1）是一個效應代數，則（E，，0，1）是一個D-poset，其中

ab：[KG-*1/5]=[KG-*1/5]ca[KG-*1/5]=[KG-*1/5]bc;

反過來，如果（P，≤，，0，1）是一個D-poset，則（P，，0，1）是一個效應代數，其中

ab：=cb≤c， cb=a.

引理 3.1^[21]

設L是一個格序效應代數，a，b∈L，則具有以下性質：

ab有定義a≤b′并且a≤b′a≤ab，（ab）a=b;

（41）

a≤bb′≤a′;

（42）

aa′=1;

（43）

（a∧b）′=a′∨b′，（a∨b）′=a′∧b′;（44）

a≤bb=a（ba）;

（45）

如果a≤b′，那么（ab）′=a′b=b′a;

（46）

a≤b≤c′ac≤bc，（bc）（ac）=ba.

（47）

定義 3.3^[10]

設（E，，0，1）是一個效應代數，如果≠IE使得對a，b∈E滿足以下條件：

如果a，b∈I并且a⊥b，則ab∈I;

（48）

如果a∈I并且b≤a，則b∈I，

（49）

稱I是E的一個理想.

給定一個理想I，可以定義效應代數E上的一個關系～I如下：

a～Ib則存在i，j∈I：i≤a，j≤b，ai=bj.

（50）

定義 3.4^[10]

設（E，，0，1）是一個效應代數，如果E的一個理想I，使得對a，c，d∈E滿足：

如果a∈I，cd≥a，則存在h，k∈I，h≤c，k≤d，而且hk≥a，

（51）

其中c⊥d，則稱理想I為Riesz理想.

設L是一個效應代數，將L的所有Riesz理想的集合記為RI（L）.

定義 3.5^[10]

設（E，，0，1）是一個效應代數，則E上的同余是一個等價關系～，使得對a，a1，b，b1∈E滿足以下條件：

如果a1～a，b1～b，a⊥b，并且a1⊥b1，則a1b1～ab;

（52）

如果a1～a，a⊥b，則存在b0∈E，而且a1⊥b0，b0～b.

（53）

命題 3.1^[10]

給定效應代數E上的一個同余～，則以下條件對a，a1，b，b1，c∈E成立：

如果a～b，則a′～b′;

（54）

如果a1～a，a⊥b，a1⊥b1，并且a1b1～ab，則b1～b;

（55）

如果b⊥c，bc～a，則存在b0，c0∈E，b0⊥c0，b0c0=a，使得b0～b，c0～c.

（56）

定義 3.6^[10]

設（E，，0，1）是一個效應代數，如果E上的同余～對a，b∈E滿足以下條件：

如果a～b，則存在c∈E使得c⊥a，c⊥b，并且ac～1～bc，

（57）

則稱同余～為Riesz同余.

引理 3.2^[10] 1） 如果I是一個Riesz理想，則～I是一個Riesz同余，而且[0]～I=I;

2） 如果～是一個Riesz同余，則I=[0]～是一個Riesz理想，而且～I=～;

3） 賦予每個Riesz同余0等價類的映射是所有Riesz同余格和Riesz理想格之間的序同構，它的逆映射是IMT ExtraaA@～I.

定義 3.7

設L是一個格序效應代數，若一個集合FL滿足以下條件：

1∈F;

（58）

如果x∈F，x≤y，則y∈F;

（59）

如果x，y∈F，y′≤x，則（x′y′）′=xy′∈F，

（60）

稱F是一個格序效應代數濾子.

引理 3.3^[11]

一個格序效應代數（L，，0，1）可以看成一個LE-L-代數，其中

x→y：=（x∧y）x，x′=x→0=x.

反過來，一個LE-L-代數（L，→，0，1）可以被轉化為一個格序效應代數，其中xy有定義當且僅當x≤y′，xy：=y′→x，且在LE-L-代數中有

x∧y=（（x→y）→x′）′，x∨y=（x′→y′）→x.

由文獻[5]的命題12可知，對于一個格序效應代數L來說，IL是L的L-理想當且僅當I是一個滿足條件（6）的不變L-子代數.下面給出另一種證明.

命題 3.2

設L是一個格序效應代數，則I是L的L-理想當且僅當I滿足（5）、（6）和條件

x∈Iy→x∈I.

（61）

證明

必要性 顯然.充分性 設I滿足條件（5），（6）和（61），只需證明I滿足條件（7）和（8）.首先考慮條件（8），設x∈I，y∈L，由文獻[11]的定理3.3可知

（y→x）→[y→（x→y）]=（y∧x∧（x→y））（y′∨x′）=

（x∧y）（x∧y）′=1∈I.

又因為y→x∈I，再由條件（6）可知y→（x→y）∈I，所以滿足條件（8）.

其次考慮條件（7）.設x∈I，y∈L，因為

（x→y）→y=[（（x∧y）x′）∧y][（x∧y）x′]′.

利用式（47）可得（x∧y）[（x∧y）x′]′≤（x→y）→y，再利用式（45）和（46）可得

（x∧y）[（x∧y）x′]′=（x∧y）[x（x∧y）]=x，

即x≤（x→y）→y，所以（x→y）→y∈I，故滿足條件（7），因此I是L的L-理想.

命題 3.3

設L是一個LE-L-代數，則L滿足條件（10）.

證明

設（x→y）～（y→x）～1，則

x∧y=（（x→y）→x′）′～（1→x′）′=x.

因為y′=1→y′～（y→x）→y′=（x∧y）′，所以y～y∧x，即x～x∧y～y.反過來，設x～y，則有

1=x→x～y→x， 1=x→x～x→y，

所以1～（y→x）～（x→y）.因此L滿足條件（10）.

推論 3.1

設L是一個格序效應代數，則它的L-理想與L-同余是序同構的.

證明

由命題3.3和推論1.1可知，格序效應代數L的L-理想與L-同余是一一對應的.其中對應關系由以下映射給出，設α：IMT ExtraaA@θI是I（L）到Con（L）上的一個映射，β：θMT ExtraaA@[1]θ是Con（L）到I（L）上的一個映射，其中aθIba→b，b→a∈I，[1]θ={x∈L|xθ1}，αβ=1Con（L），βα=1I（L）.下證α和β均為保序映射.設I，J∈I（L），IJ，因為aθIba→b，b→a∈I，從而推出a→b，b→a∈JaθJb，即θIθJ，所以α是保序的.設θ1，θ2∈Con（L），θ1θ2，因為a∈[1]θ1（a，1）∈θ1，又因為θ1θ2，所以[1]θ1[1]θ2，所以β是保序的.因此，L的L-理想與L-同余是序同構的.

注 3.1

由引理3.2可知，在格序效應代數中，Riesz理想與Riesz同余之間存在一個序同構.根據引理3.3及推論3.1，從另一個角度給出了格序效應代數中的L-理想與L-同余是同構的.下面考慮格序效應代數（LE-L-代數）中的Riesz理想與L-理想，Riesz同余與L-同余之間的關系.

命題 3.4

設L是一個格序效應代數，則它的L-理想都是格序效應代數濾子.

證明

設I是L的一個L-理想，則由條件（5）和（6）可知，I滿足定義3.7中的條件（58）和（59）.下證條件（60）.設x，y∈I且y′≤x，則由式（45）和（46）可得

x→（x′y′）′=[x∧（x′y′）′]x′=

（x′y′）′x′=y∈I，

由條件（6）可知（x′y′）′∈I，所以I是格序效應代數濾子.

命題 3.5

設L是一個格序效應代數，則格序效應代數濾子F是L-理想當且僅當x∈F（x∧y）y′∈F成立.

證明

必要性 設I是L的一個L-理想，由命題3.4可知I是格序效應代數濾子.當x∈I時，由條件（61）可知y→x=（y∧x）y′∈I.

充分性 設F是L的一個格序效應代數濾子，且滿足x∈F（x∧y）y′∈F，則1∈F.設x，x→y∈F，則因為x→y=（x∧y）x′≥x′，所以由式（42）可知（x→y）′≤x.由條件（60）可知

[（x→y）′x′]′=（x→y）x′=

[（x∧y）x′]x′=x∧y∈F.

又因為x∧y≤y，所以y∈F.設x∈F，因為

y→x=（y∧x）y′∈F，

由命題3.2可知，F是L的L-理想.

命題 3.6

設L是一個格序效應代數，則L的L-同余與Riesz同余是一樣的.

證明

必要性 設～是L的一個L-同余，a1～a，b1～b，a⊥b，并且a1⊥b1，則因為ab=b′→a，a1b1=b′1→a1，又因為a1～ab′1→a1～b′1→a～b′→a，所以a1b1～ab.設a1～a，a⊥b，則令b0=b∧a′1，則b0⊥a1，由L-同余是格同余可知

b0=b∧a′1～b∧a′=b.

設a～b，則令c=a′∧b′，從而得到c⊥a，c⊥b和c～a′～b′.由條件（52）可知ac～aa′=1， bc～bb′=1.因此，～是一個Riesz同余.

充分性 設～是L的一個Riesz同余，a～b，則有a′～b′.因為a→c=（a∧c）a′，b→c=（b∧c）b′，由條件（52）可知（a→c）～（b→c）.類似可得（c→a）～（c→b），故～是一個L-同余.

定理 3.1

設L是一個格序效應代數，則L的Riesz理想格RI（L）與L-理想格I（L）是序同構的.

證明

首先證明I是Riesz理想蘊含I′={a′|a∈I}是L-理想.設I是一個Riesz理想，由引理3.2可知，～I是一個Riesz同余，再由命題3.6可知，～I是一個L-同余，由命題1.1可知[1]～I是一個L-理想.只需證[1]～I=I′，因為

[1]～I={a∈L|a～I1}=

{a∈L|存在i，j∈I，i≤a，j≤1，ai=1j}，

設a∈[1]～I，則存在

i，j∈I， i≤a， j≤1，ai=1j=j′，

所以ia′=j，即a′≤j∈I.由定義3.3可知a′∈I，所以a∈I′，即[1]～II′.反過來，設a∈I′，則存在a′∈I，0∈I，0≤a，a′≤1使得a0=a=1a′，所以a～I1，即a∈[1]～I，所以I′[1]～I.因此，[1]～I=I′，即I′是L-理想.

接下來證明F是L-理想蘊含F′={c′|c∈F}是Riesz理想.設F是一個L-理想，則θF（即xθFyx→y，y→x∈F）是一個L-同余，由命題3.6可知，θF是一個Riesz同余，由引理3.2可知[0]θF是一個Riesz理想.只需證F′=[0]θF，因為

[0]θF={b∈L|b～θF0}=

{b∈L|b→0∈F}=

{b∈L|b′∈F}=F′，

所以F′是Riesz理想.設α：IMT ExtraaA@I′是RI（L）到I（L）上的一個映射，β：FMT ExtraaA@F′是I（L）到RI（L）上的一個映射，其中I′={a′|a∈I}， F′={c′|c∈F}.

再證α與β是互逆的，設F∈I（L），因為

（αβ）（F）=α（β（F））=α（F′）=F″=F，

所以αβ=1I（L）.類似可證，βα=1RI（L）.下證α和β均為保序映射.設I，J∈RI（L），且IJ，設m∈I′，則m′∈IJ，所以m∈J′，即I′J′，所以α是保序的.反過來，設F1，F2∈I（L），且F1F2，設n∈F′1，則n′∈F1F2，所以n∈F2′，即F′1F2′，所以β是保序的.因此，L的Riesz理想格RI（L）與L-理想格I（L）是序同構的.

參考文獻

[1] RUMP W. L-algebras， self-similarity， and I-groups[J]. Journal of Algebra，2008，320（6）：2328-2348.

[2] RUMP W. L-algebras with duality and the structure group of a set-theoretic solution to the Yang-Baxter equation[J]. Journal of Pure and Applied Algebra，2020，224（8）：106314.

[3] RUMP W. The structure group of a generalized orthomodular lattice[J]. Studia Logica，2018，106（1）：85-100.

[4] WU Y L， YANG Y C. Orthomodular lattices as L-algebras[J]. Soft Computing，2020，24（19）：14391-14400.

[5] RUMP W. L-algebras and topology[J]. Journal of Algebra and Its Applications，2023，22（2）：2350034.

[6] FOULIS D J， BENNETT M K. Effect algebras and unsharp quantum logics[J]. Foundations of Physics，1994，24（10）：1331-1352.

[7] BELTRAMETTI E G， CASSINELLI G， SHIMONY A. The logic of quantum mechanics[J]. Physics Today，1983，36（12）：62-64.

[8] VARADARAJAN V S. Geometry of quantum theory[M]. Berlin： Springer-Verlag，1985.

[9] KPKA F， CHOVANEC F. D-posets[J]. Mathematica Slovaca，1994，44（1）：21-34.

[10] AVALLONE A， VITOLO P. Congruences and ideals of effect algebras[J]. Order，2003，20（1）：67-77.

[11] WU Y L， WANG J. YANG Y C. Lattice-ordered effect algebras and L-algebras[J]. Fuzzy Sets and Systems，2019，369（C）：103-113.

[12] RASOULI S. Heyting， Boolean and Pseudo-MV filters in residuated lattices[J]. Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing，2018，31（4）：287-322.

[13] 左衛兵，張一旎. 非交換剩余格上的n重PMTL濾子及其刻畫[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），2022，45（2）：215-223.

[14] 劉春輝，白彥輝，秦學成. 雙極值模糊子格[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），2023，46（1）：78-82.

[15] RUMP W. Semidirect products in algebraic logic and solutions of the quantum Yang-Baxter equation[J]. Journal of Algebra and Its Applications，2008，7（4）：471-490.

[16] RUMP W， ZHANG X. L-effect algebras[J]. Studia Logica，2020，108（4）：725-750.

[17] MONTERO A. Hilbert， and Tarski algebra course[M]. Toowoomba： Southern National University Blanca，1960.

[18] RUMP W. L-algebras and three main non-classical logics[J]. Annals of Pure and Applied Logic，2022，173（7）：103121.

[19] BIRKHOFF G. Lattice theory[M]. 3rd. New York： Am Math Soc，1967．

[20] MUNDICI D. Foundations of many-valued reasoning[M]//Applied Artificial Intelligence. Genova： World Scientific，2006.

[21] DVUREENSKIJ A， PULMANNOV S. New trends in quantum structures[M]. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers，2000.

Notes on" L-Ideals of L-Algebras

YIN Liyun， ZHONG Chen， WU Yali

（School of Mathematics and Science， Hebei GEO University， Shijiazhuang 050031， Hebei）

It is well known that many logical algebras can be regarded as L-algebras. In this paper， we discusses some special L-algebras and give the relation between L-ideals and lattice filters. Moreover， we characterize" a class of lattice L-algebras that make the L-ideal sets equal to lattice filter sets， and where an equivalent characterization between L-algebras and implicative lattices is also given. Furthermore， we give the equivalent characterizations of" ideals and L-ideals of lattice-ordered effect algebras and as well as its congruences and L-congruences.

L-algebra; lattice-ordered effect algebra; L-ideal; implicative lattice; filter

2020 MSC：03G10; 03G12; 06B10

（編輯 鄭月蓉）