“互聯網+”背景下“高等數學”教學模式探索與實踐

摘要：在“互聯網+”的時代背景下，信息技術與教育的深度融合已成為“高等數學”研究的熱點問題。本文結合高職“高等數學”教學特色，以學生為中心，利用現代信息技術，構建“雙主線、三階段、六環節”的混合式教學模式。然后，以定積分的概念為例進行探討，從中國工程“深中通道”出發，引出定積分的定義，利用Geogebra軟件進行可視化教學，并將定積分的概念拓展到專業領域，著力啟發學生解決實際問題的能力，提升學生的數學核心素養，充分發揮“高等數學”的育人效果。

關鍵詞：互聯網+；高等數學；混合式教學模式；定積分的概念

一、概述

2019年2月，中共中央、國務院印發的《中國教育現代化2035》中指出，利用現代技術加快推動人才培養模式改革，滿足學生個性化和多樣化的發展需求，提升師生的信息素養能力［1］。近年來我國各大高校積極響應，大力推動“互聯網+”“智能+”等新型教育模式的發展，實現了信息技術與課程教學的深度融合，有效改革了教學模式與方法，進一步推動了教育信息化的高質量發展［23］。

“高等數學”作為高職院校學生必修的公共基礎課程，有助于培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力，為后續專業課的學習奠定了堅實的基礎［4］。然而，“高等數學”高度的抽象性和嚴密的邏輯性使不少學生產生了畏難情緒，且高職院校學生生源結構比較復雜，大部分學生基礎比較薄弱，學生對“高等數學”的抵觸心理進一步加劇。針對這一現狀，教師可以通過模擬情境、設置動畫等可視化教學手段將抽象的內容直觀化、生動化，讓學生在解決復雜數學問題的同時，深刻體會到數學原理背后所蘊含的人生哲理和道德價值。

為此，本文結合高職院校學生特點和“高等數學”學科特色進行探索，構建“雙主線、三階段、六環節”的混合式教學模式，并以定積分的概念為例進行展開，充分挖掘思政元素，發揮“高等數學”的育人功能。

二、“雙主線、三階段、六環節”混合式教學模式

在“互聯網+”的時代背景下，為深入踐行個性化教學理念，并緊密結合高職院校學生的特性及其培養需求，本課程以學生為中心，依托超星學習平臺，構建“雙主線、三階段、六環節”混合式教學模式?！半p主線”即“思政元素”和“數學思想”，“三階段”即“思在課前”“悟在課中”以及“行在課中”，“六環節”指課中的“導、探、晰、用、深、練”，具體結構如圖1所示。

課前，教師利用信息技術搜集教學資源，建立思政資源庫和習題庫，為學生提供個性化學習服務。針對學生能力的不同，教師通過學習通平臺，精準推送定制化的教學微視頻及學習任務，有效引導學生預習新知識；學生則查閱資料并結合在線資源完成學習任務，在學習通討論區提出自己的疑惑；教師通過學生課前學習效果的反饋情況進行教學設計，提高課堂效率。

課中，設計問題情境，融入數學史、時事熱點、古典文化和生活實例等思政元素，通過啟發式教學導入新課，培養學生的民族自豪感和愛國主義情懷，進一步加強新時代青年大學生的使命感和責任感。此外，運用信息技術，將抽象內容直觀化，提升學生的數學核心素養。在教學過程中，實行“雙導師制”，即數學教師與專業教師的緊密協作，實現“高等數學”與專業知識的深度融合，讓數學更好地為專業服務，培養學生運用數學思維解決實際問題的能力。

課后，設置“三階式”分層作業，滿足不同學生的學習需求。具體如下：（1）夯實基礎：注重基礎知識的鞏固與加強，通過線上基礎測試題的形式，引導學生自我檢測，及時查漏補缺，確保每位學生都能打下堅實的知識基礎。（2）拓展提升：布置應用拓展題，旨在提升學生的實際問題解決能力，激發他們的創新思維，讓他們在挑戰中不斷成長。（3）鏈接專轉本：為滿足學生學歷提升的需求，布置與各知識點緊密相關的專轉本真題，幫助學生提前適應考試節奏，掌握考試技巧。最后，鼓勵學生參與“高等數學”競賽或數學建模活動，通過實踐鍛煉，培養學生的獨立思考能力、團隊協作精神和綜合分析問題的能力，為他們未來的職業發展奠定基礎。

三、實施案例——定積分的概念

（一）學情分析

教學對象為高職大一學生，其生源構成具有多樣性，涵蓋了普通高中生、中職生等，因此，學生的數學基礎有所差異。雖然部分學生抽象思維能力不強，但信息素養較為突出，動手實踐能力較強。同時，他們對專業領域的問題有一定的興趣與探索欲望。

（二）教學目標

知識目標：理解定積分的概念和幾何意義，會利用定積分的定義求和式的極限；同時，會利用數學軟件Geogebra計算定積分。

能力目標：通過解決曲邊梯形面積問題，培養學生利用數學思維和方法解決實際問題的能力；通過對定積分概念的探究過程，培養學生數形結合的思維能力。

素質目標：介紹“深中通道”的卓越成就，激發學生的民族自信心與自豪感，培養其作為新時代青年的責任感與使命感；在定積分概念的學習中，引導學生理解對立與統一、量變引起質變的哲學原理，培養其辯證思維與全面分析問題的能力。

（三）教學過程

1.思在課前

教師依托學習通平臺，發布學習任務：（1）學生觀看積分學發展史微視頻，體會到定積分概念的形成是一個螺旋式上升的過程。（2）搜集資料——德國數學家約翰尼斯·開普勒的簡介及其求圓面積的方法，感受開普勒不屈不撓、勇于創新的人生態度。

2.悟在課中

（1）創設情境，導入新課。觀看“深中通道”的視頻，簡要介紹深中通道背后隱藏的超級智慧，讓學生在領略中國基建魅力的過程中，學習科研工作者勇于探索、堅持不懈的奮斗精神［5］。

基于此背景，提出問題：如何求懸索與橋面、橋塔圍成的面積？要解決這個實際問題，以橋面為x軸，懸索為曲線，建立直角坐標系，如圖所示。

（2）數形結合，探究新知。學生基于課前搜集的資料，講述開普勒求圓的面積的無限分割辦法，其核心思想是化曲為直，無限求和。

懸索與橋面、橋塔圍成的面積（即曲邊梯形的面積）的計算，直接用矩形的面積來代替顯然不行，因為f（x）上各點的高是變化的。類比開普勒求圓面積的方法，可得到曲邊梯形面積計算的步驟（由表1所示）。

將曲邊梯形面積計算的腳本文件發放給學生，學生可以打開Geogebra文件，在指令欄任意改變函數解析式，然后通過拖動滑動條n，觀察曲邊梯形面積過程中的動態變化。在動手實踐過程中，深化學生對“化曲為直”和“無限逼近”的數學思想的理解。

英國數學家、哲學家羅素說過：“數學和哲學在探索真理的過程中是密不可分的，數學的發展為哲學提供了新的視角和思維方式?！笨梢姅祵W與哲學的發展是密不可分、相互依存的，數學的發展中也蘊含著唯物辯證的哲學思想。

在曲邊梯形面積的計算過程中，第一步，“分割”體現了“化整為零”的數學思想，更蘊含了深刻的哲學啟示：面對棘手難題時，可以將其拆解為若干個小問題逐個擊破；第二步，“近似”體現了“化曲為直”的數學思想，曲與直看似是對立的兩方面，實則蘊含著對立統一的哲學道理，是推動事物向前發展的內動力；第三步，“求和”體現了“積零為整”的數學思想，啟發學生聯想到蘊含這一思想的古詩詞，提醒學生要重視每一份微小的積累，樹立正確的價值觀，努力追求更高的目標；第四步，取極限體現了“無限逼近”的數學思想，是哲學思想“量變產生質變”的精妙解讀，它使學生深刻領悟到知識的積累是一個循序漸進、不斷深化的過程，唯有腳踏實地、堅持不懈、勇于進取，方能穩步前行，獲得成功。

（3）抽象概括，明晰概念。對于曲邊梯形面積的計算，采用“分割、近似、求和、取極限”的步驟。此外，一些實際問題的探究，如：天舟七號發射升空克服地球引力所做的功、變速直線運動的路程、非均勻物體的質量、帶電體產生的場強等都可以用上述方法解決。拋開實際問題的意義，抓住它們的本質特征，抽象出定積分的概念，即∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，同時，采用小組討論的方式，請學生思考下列問題：

①定積分是否為一個數？②“λ→0”能否換成“n→∞”？通過這兩個問題引導學生結合Geogebra進行輔助分析，并對學生的回答進行點評補充，培養學生團結合作和利用信息技術解決問題的能力。

教師請學生分享“定積分的發展史”，印證了任何事物的發展都是由淺入深、充滿質疑與創新的過程。讓學生認識到任何偉大的成就都不是一蹴而就的，而是需要經歷漫長的探索、質疑與創新的過程。正是這種持之以恒追求卓越、勇于挑戰未知的精神，推動了人類文明的不斷進步與發展。

（4）理實結合，學以致用。

①利用定義計算定積分∫10x2dx。

設計意圖：鍛煉學生利用“分割—近似—求和—取極限”解決問題的能力，讓學生體會等分法和特殊點取法的技巧。

②limn→∞1n3+1+22n3+23+…+n2n3+n3

解：1n3+1+22n3+23+…+n2n3+n3=∑ni=1i2n3+i3=1n∑ni=1i2n2+i3n

=1n∑ni=1in21+in3

原式=limn→∞1n∑ni=1in21+in3=∫10x21+x3dx

=13∫1011+x3d1+x3

=ln23。

設計意圖：定積分定義最主要的應用就是求和式的極限，這也是數學競賽和專轉本考試的必考點。常用的定積分的等價定義為∫10f（x）dx=limn→∞∑ni=1fin·1n。

③懸索與橋面、橋塔圍成的面積，實質上就是求定積分。引導學生利用Geogebra中的integral（f，a，b）指令，可直接求得面積為25884.84m2。

教師將定積分的概念應用到與學生專業相關的領域，培養學生用數學思想解決實際問題的能力，達到數學為專業服務、協同育人的目標。案例1為汽車專業的應用，案例2為醫藥專業的應用。

案例1：若已知一輛汽車速度函數關系為v（t）=5t+2（m/s），求汽車在0，10秒內行駛的路程s。

解：汽車在0，10秒內行駛的路程：s=∫100（5t+2）dt=52t2+2t100=270m。

案例2：若已知某藥物的吸收率函數為：r（t）=0.01t（t-8）20≤t≤8，求該藥物吸收的總量Q［6］。

解：藥物吸收的總量Q=∫800.01t（t-8）2dt=0.01∫80（t3-16t2+64t）dt=10.24。

（5）合作共研，深化概念。通過前面的探究，可以看出當f（x）>0（即圖像位于x軸上方）時，定積分表示圖形的面積。接著引出問題，當f（x）＜0、f（x）有正有負時，定積分表示的是什么呢？教師利用Geogebra繪制曲線f（x）=x-sin2x，當拖動滑動條a、b時，積分區間發生變化，積分值也隨之改變。通過這種動態演示，深化學生對定積分幾何意義的理解。

教師引導學生利用定積9/1YxyT9l583g5aLOovL1Zkqp0ZppBpTuCCvnUr9hOQ=分的幾何意義計算定積分的值，并通過Geogebra進行實際操作，驗證結果的正確性。接著，學生以同桌為單位進行討論，探究被積函數為奇（偶）函數時定積分的性質。這一教學過程不僅深化了學生對定積分幾何意義的理解，同時也提升了學生自主探究和團結協作的能力。

（6）課堂練習，鞏固新知。教師在學習通平臺發布練習題，采取搶答的方式請學生到黑板上板演。與此同時，其他學生需要認真完成作業，并將其上傳至學習通平臺。教師根據每位學生的答題情況，提供及時的反饋，以促進學生更好地掌握新知識。

3.行在課后

課后作業對于學生鞏固知識、發展能力、培養良好學習習慣和責任感具有重要作用。然而，在數字化的時代，學生們能夠輕松借助在線工具獲取答案，這一現象嚴重干擾了他們的學習進程，削弱了學習的實效性。為有效應對這一挑戰，教師們在布置作業時需采取創新的策略，對習題進行精心改編，同時利用技術手段加以防范，確保學生能夠獨立完成作業，達到鞏固新知識的目的。

結語

本文探討了“互聯網+”時代背景下高職“高等數學”教學模式的改革，通過挖掘“數學”與“思政”的內在關聯，借助現代信息技術，形成了“雙主線、三階段、六環節”的混合式教學模式，實現知識傳授和價值引領的有機結合，為培養有責任擔當和創新精神的復合型、高技能型人才奠定堅實基礎。

參考文獻：

［1］中共中央，國務院.中國教育現代化2035［EB/OL］.（20190223）［20190227］.https：//www.gov.cn/xinwen/201902/23/content_5367987.htm.

［2］劉斌.以新擔當新作為推進“中國教育現代化2035”［J］.教育與職業，2019（09）：59.

［3］陸霄虹.互聯網思維下高等藝術院校教學模式變革［J］.江蘇高教，2016（05）：7274.

［4］趙士元.“互聯網+課程思政”融入高等數學教學研究［J］.中國新通信，2023，25（15）：191193.

［5］范傳斌，李冕，田浩.深中通道伶仃洋大橋貓道計算方法研究［J］.公路交通科技，2023，40（02）：121126.

［6］張選群.醫用高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2015.

作者簡介：朱天芬（1997—），女，漢族，山西運城人，碩士研究生，助教，研究方向：運籌學與控制論、高等數學教育；張巧珍（1997—），女，漢族，江蘇宿遷人，碩士研究生，助教，研究方向：數學與應用數學、高等數學教育。