一道未定式極限習題的解法研究

摘要：極限是高等數學學習中的一個重點，是學生后續學習的重要基礎與理論工具，但基于極限問題的形式多樣性，因此它也是學生學習中的一個難點，尤其是未定式極限的求解方法更是靈活多樣。00型未定式極限常用的方法主要有洛必達法則、等價無窮小的代換等，∞∞型未定式極限常用的方法除了洛必達法則外，還要考慮使用重要極限、無窮大與無窮小的轉化、重要結論等。本文針對一道∞∞型的未定式極限習題，利用洛必達法則及其與多種形式的三角恒等變換的結合給出了六種解法，并對每一種解法進行了詳細的分析。最后，總結在該題中得到的結論，旨在提高學生的計算能力和發散思維。

關鍵詞：未定式極限；洛必達法則；三角恒等變換；發散思維

AnalysisofAnIndeterminateformLimitExercise

YouJunyan

SchoolofMathematicsandStatistics，HezeUniversityShandongHeze274000

Abstract：Limitsareanimportantfocusinthestudyofadvancedmathematics，anditisanimportantfoundationandtheoreticaltoolforstudents'subsequentlearning.However，duetothediverseformsoflimitproblems，itisalsoadifficultpointforstudents，especiallythemethodsofsolvingindeterminateformsoflimitsareflexibleanddiverse.Thecommonlyusedmethodsforsolving00tepyindeterminatelimitsareL'Hopital'sruleandthesubstitutionofequivalentinfinitesimals，etc.InadditiontoL'Hopital'srule，methodsforsolving∞∞tepyindeterminatelimitsalsoincludetheuseofimportantlimits，thetransformationbetweeninfinityandinfinitesimals，andimportantconclusions，etc.Inthispaper，foranexerciseof∞∞tepyindeterminateformlimit，sixsolutionsaregivenbyusingL'Hospital'sruleanditscombinationwithvariousformsoftrigonometricidentitytransformation，andeachsolutionisanalyzedindetail.Finally，theconclusionisdrawntoimprovethestudents'calculationabilityanddivergentthinking.

Keywords：Indeterminateformlimit；L'Hospital'srule；TrigonometricidentityTransformation；Divergentthinking

1概述

在極限的教學過程中，一方面，教師要強調理論知識與方法的重要性，有效引導學生掌握極限的多種求解方法，提升學生的計算能力；另一方面，教師還要重點培養學生的創新思維能力，尤其是創新思維的核心組成部分——發散思維。發散思維的訓練不僅可以夯實學生的基礎知識，拓寬學生的知識層面，還可以提升學生解決問題的能力及綜合應用知識的能力，最終實現學校學以致用的培養目標［12］。

未定式極限是極限問題中常見而且重要的一類問題，其求解方法靈活多樣，對于學生綜合應用知識的能力要求極高。本文主要針對一道∞∞型未定式極限的習題展開研究，詳細分析探討了其六種解法。在一題多解的思想之下展現了未定式極限的綜合性及復雜性，幫助學生更好地理解洛必達法則的使用條件，培養學生敢于思考、勇于解決問題的學習習慣，提升學生的創新思維。同時，在不同解法中結合使用多個三角恒等變換式將問題轉化，可以培養學生細致嚴謹的學習態度，提升學生解決問題的發散思維。

2問題分析

本文分析的問題出自同濟大學數學科學學院編寫的教材《高等數學》（第八版·上冊）中第134頁習題32中第1題的第8小題，題目為用洛必達法則求極限limx→π2tanxtan3x［3］。

在此值得一提的是，學習洛必達法則之前，同學們已經學習過運用等價無窮小的代換的方法來求解未定式極限，尤其是對x→0時，tanx～x記憶深刻，但是在此題求解過程中若盲目使用此等價無窮小的代換則會導致錯誤結果，具體如下：

錯解：limx→π2tanxtan3x=limx→π2x3x=13。

錯因分析：等價無窮小的代換在00型極限問題中才能使用［4］，而在本題中當x→π2時，tanx→+∞，tan3x→+∞，故本題不是00型極限，且x與3x此時也不是無窮小量。因此x→π2時，把tanx等價代換為x、tan3x等價代換為3x是錯誤的。

顯然，這是一道與三角函數有關的∞∞型的未定式極限問題，可以考慮使用洛必達法則［5］，但不能直接使用等價無窮小的代換。接下來，本文將根據題目特點，在洛必達法則使用的基礎上，結合多種形式的三角恒等變換分別給出六種解法，并對每種解法進行詳細的分析，旨在提升學生的發散思維。

3解法研究

解法一：單純使用洛必達法則，不需要nL1yhhx2Gt8SqJ2MB6YomA==三角恒等變換，然后運用逆向思維在過程中找特點，在求解中找結論。但此方法對學生思維能力的要求較高，計算能力和思考能力較強的同學可以選擇使用，并能輕松找到答案。求解過程如下：

limx→π2tanxtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=limx→π2sec2x3sec23x∞∞型，使用洛必達法則

=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x

在第二個等號處如果繼續使用洛必達法則，則會出現如下煩瑣的結果：

原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

結果依然是∞∞型極限，但是不能再繼續使用洛必達法則往下求解，否則會出現更煩瑣的表達式而求不出結果，這里只能說明洛必達法則不是萬能的，在此它失效了，并不能說明此題是無解的［6］。

因此，在解法一中對于第二個等號處的結果，要求學生具有敏銳的觀察力和靈活的思維方式，比較第二個等號和原式可知，表達式出現了循環，那么要使等號恒成立，則只有除原式外剩余部分是等于1的，即有limx→π2sec2x9sec23x=1，再比較這個小結論和第一個等號可得limx→π2sec2x3sec23x=3，從而可得：limx→π2tanxtan3x=limx→π2sec2x3sec23x=3。

解法二：洛必達法則與三角恒等變換secx=1cosx的結合使用［7］，雖然步驟看起來有點多，但是此方法簡單易想，是大多數學生首選的方法。求解如下：

limx→π2tanxtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=limx→π2sec2x3sec23xsecx=1cosx

=limx→π2cos23x3cos2x00型，使用洛必達法則

=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx當x→π2時，sin3x→-1，sinx→1

=-limx→π2cos3xcosx00型，使用洛必達法則

=-limx→π2-3sin3x-sinx當x→π2時，sin3x→-1，sinx→1

=3

解法三：在解法二的基礎上，判斷出解法二的第三個等號處的表達式是00型的，此時不對sin3x與sinx取值，而是直接使用洛必達法則。求解如下：

原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx00型，使用洛必達法則

=limx→π23（cos23x-sin23x）cos2x-sin3x（當x→π2時，cos3x→0，cosx→0，且sin3x→-1，sinx→1）

=3（0-1）0-1

=3

解法四：在解法二的基礎上，對解法二中第三個等號處的sin3x與sinx先不取值，而是對表達式直接使用二倍角公式進行三角恒等變換，然后再使用洛必達法則。求解如下：

原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx（2cos3xsin3x=sin6x，2cosxsinx=sin2x）

=limx→π2sin6xsin2x00型，使用洛必達法則

=limx→π26cos6x2cos2x（當x→π2時，cos6x→-1，cos2x→-1）

=3

解法五：注意到題目中的表達式是和正切函數有關的，則先利用三角關系式tanx=sinxcosx將函數進行三角恒等變換，再結合使用洛必達法則。求解如下：

limx→π2tanxtan3xtanx=sinxcosx

=limx→π2sinxcos3xcosxsin3x當x→π2時，sinx→1，sin3x→-1

=-limx→π2cos3xcosx00型，使用洛必達法則

=-limx→π2-3sin3x-sinx（化簡）

=-limx→π23sin3xsinx當x→π2時，sinx→1，sin3x→-1

=-3·（-1）1

=3

解法六：在解法五的基礎上，對于解法五中第一個等號處的sin3x與sinx先不取值，而是直接使用三角函數中的積化和差公式sinxcos3x=sin4x-sin2x，cosxsin3x=sin4x+sin2x，對第一個等號處的表達式做三角恒等變換，然后結合使用洛必達法則進行求解。求解如下：

原式=limx→π2sinxcos3xcosxsin3x（sinxcos3x=sin4x-sin2x，cosxsin3x=sin4x+sin2x）

=limx→π2sin4x-sin2xsin4x+sin2x00型，使用洛必達法則

=limx→π24cos4x-2cos2x4cos4x+2cos2x（當x→π2時，cos4x→1，cos2x→-1）

=4+24-2

=3

4教學總結

一題多解的訓練可以實現培養學生發散思維的目標，通過對本文中這道具有代表性的習題六種解法的具體分析研究，下面結合例題把幾點想法總結如下：

（1）對于與三角函數有關的未定式極限問題，結合使用洛必達法則與三角恒等變換可以大大提高解題效率。

例1：求極限limx→0tanx-xx2sinx。

解：這是一道與三角函數有關的00型未定式極限，它可以有多種解法，但是在求解過程中若結合使用洛必達法則、等價無窮小的代換及三角恒等變換可以大大提高計算效率，相比其他方法這是較為簡便的一種方法。求解如下：

limx→0tanx-xx2sinx00型，當x→0時，sinx～x

=limx→0tanx-xx300型，使用洛必達法則

=limx→0sec2x-13x2（sec2x-1=tan2x）

=limx→0tan2x3x2（當x→0時，tanx～x）

=13

（2）洛必達法則失效的情形。洛必達法則不是萬能的，遇到一些其解決不了的問題，并不能說明極限不存在，只能說明此方法失效了，需要尋找新的合適的方法重新求解［8］。洛必達法則失效的情形主要有以下幾種：

失效情形一：當使用洛必達法則后極限表達式中分子或分母的導數變得很繁雜時，洛必達法則失效。

例如，解法一中的分析：

原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

失效情形二：當極限表達式不再是00型或∞∞型未定式極限時，洛必達法則失效。

例2：求極限limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1。

錯解：limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=limx→166=1。

此時，limx→06x6x-2已不再是00型未定式極限，不能繼續使用洛必達法則。

正解：limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=64=32。

失效情形三：當使用洛必達法則后，判斷出極限不存在或極限表達式中部分表達式極限不存在，則洛必達法則失效。

例3：求極限limx→∞x+cosxx+sinx。

錯解：使用洛必達法則求得limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1-sinx1+cosx，此時sinx與cosx的極限都不存在，洛必達法則失效。

正解：先利用無窮大與無窮小的關系將極限表達式進行恒等變形，然后使用無窮小量的運算性質，計算得到limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1+1xcosx1+1xsinx=1。

失效情形四：當使用洛必達法則后極限表達式出現循環形式時，洛必達法則失效。

例4：求極限limx→+∞x1+x2。

錯解：使用洛必達法則求得limx→+∞x1+x2=limx→+∞1+x2x=limx→+∞x1+x2，此時極限表達式出現循環形式，洛必達法則失效。

正解：利用無窮大與無窮小的關系，計算得到limx→+∞x1+x2=limx→+∞11x2+1=1。

（3）對于00型未定式極限，在結合使用等價無窮小的代換時，一定要注意代換是否成立，否則容易走進代換誤區，導致錯誤結果的出現。本文中涉及的代換誤區主要有：

誤區1：參見上述問題分析中提到的誤解，在此不再贅述。

誤區2：沒有理解等價無窮小的代換的兩個量首先都需要是無窮小量，否則代換錯誤。例如，在解法四中的第二個等號處，若使用等價無窮小的代換得到原式=limx→π2sin6xsin2x=limx→π26x2x=3，雖然結果相同，但卻是錯誤解法。錯解的原因是當x→π2時，sin6x與sin2x是無窮小量，但此時6x與2x卻不是無窮小量。因此當x→π2時，sin6x不能代換為6x，sin2x不能代換為2x。

例5：求極限limx→πsin3xtan5x。

錯解：使用等價無窮小的代換，計算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3x5x=35。

錯因分析：當x→π時，雖然sin3x與tan5x是無窮小量，但此時3x與5x卻不是無窮小量。因此當x→π時，sin3x不能代換為3x，tan5x不能代換為5x。

正解：這是一道00型未定式極限，直接利用洛必達法則，計算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3cos3x5sec25x=-35。

參考文獻：

［1］李天竹，肖業亮，陳昊，等.用一題多解激活學生的發散思維：以一道定積分題的多種解法為例［J］.科技風，2024（04）：121123.

［2］胡新利，王凱明.一題多解對學生創造性思維的培養［J］.高等數學研究，2021，24（06）：4143+34.

［3］同濟大學數學科學學院.高等數學：上冊［M］.8版.北京：高等教育出版社，2023.

［4］陳金濤.等價無窮小的巧用［J］.數學學習與研究，2020（01）：1516+18.

［5］葉麗穎.洛必達法則在求極限中的應用［J］.科技風，2020（05）：66+82.

［6］王麗麗.洛必達法則在解析求極限類問題中的應用［J］.河南工程學院學報（自然科學版），2022，34（01）：7680.

［7］華東師范大學數學系.數學分析：上冊［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010.

［8］孫巧閣.關于洛必達法則的幾點思考［J］.科學咨詢（科技管理），2021（03）：9697.

基金項目：OBE理念下大學數學教學“課程思政”體系的構建研究（編號：230713003307000）

作者簡介：油俊彥（1987—），女，漢族，山東菏澤人，碩士，講師，從事高等數學教育與研究。