一偏微分方程的形式解及其gevrey階數

摘要：一偏微分方程的形式冪級數解只有在特定的條件下，才是多重可和的，即通過證明才能確認一偏微分方程的形式冪級數解是否可和。在對方程形式冪級數解可和性的證明中，解的gevrey階數的證明是非常重要的一部分。本文就是對一偏微分方程的形式冪級數解的性質進行研究，我們先了解后續證明所需要的相關概念之后，給出本文要研究的偏微分方程，并對其形式冪級數解的存在性與唯一性進行證明。在此基礎上，利用Nagumo范數及其性質，結合gevrey階數的相關概念，最終可以證明，方程的形式冪級數解在單項式xp1xq2為1/kgevrey階數。

關鍵詞：偏微分方程；形式冪級數；漸近展開；存在性與唯一性

1預備知識

在對本文要研究的方程形式解進行討論之前，先了解相關概念。

引理1：設E［［x1，x2］］（s1，s2）表示（s1，s2）gevrey級數的代數，即若存在常數C，A>0，使得對于任意的m，n∈N有‖am，n‖≤CAm+nm！s1n！s2，則稱∑am，nxm1xn2為（s1，s2）gevrey級數。結合上述條件得到：

E［［x1，x2］］（p，q）s=E［［x1，x2］］（s/p，0）∩E［［x1，x2］］（0，s/q）E［［x1，x2］］（λs/p，（1-λ）s/q）（1）

其中0≤λ≤1。

定理2：對于非負整數p以及在Dr中全純的f，設：

‖f‖p=supx＜rf（x）d（x）p

‖f‖p即為p階Nagumo范數，且‖f‖p有界。若f在Dr的閉包上連續，則有‖f‖p≤（r-）psupx＜rf（x），且有：

f（x）≤‖f‖pd（x）-px＜r

f（x）≤‖f‖pd（x）-px≤r-δ，0＜δ＜r-

p越大，具有有限范數‖f‖p的函數f的集合就越大。

接下來介紹Nagumo范數的性質。

‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p‖αf‖p≤α‖f‖p‖fg‖p≤‖f‖p‖g‖p‖f′‖p+1≤e（p+1）‖f‖p

2偏微分方程及其形式解

本文將要證明一奇異偏微分方程4dbfac1239a9a8781069b621a36868c19ba28653a7db83973b075c54bfd0a8a8的形式解的存在性與唯一性。

考慮下面奇異偏微分方程：

（xp1xq2）kspkx1yx1+1-sqkx2yx2=F（x1，x2，z）（2）

其中x1、x2為復變量，F（x1，x2，z）為多復變量的有界解析函數，p，q∈N+，k∈N+，0＜s＜1。

下面說明上述方程所滿足的條件：

（1）z=xp1xq2；

（2）F（0）=0；

（3）F的形式：F=g（x1，x2）f（z）+h（z）+ay（x1，x2）。

上述式子g（x1，x2）、f（z）、h（z）以及a滿足假設以下假設條件：

（1）g（x1，x2）在原點處鄰域內解析有界，其形式如下：

g（x1，x2）=∑p-1i=0∑q-1j=0gijxi1xj2+∑p-1i=0∑∞j=qgijxi1xj2+∑∞i=p∑q-1j=0gijxi1xj2

g不恒為常數，且g（0，0）=0。

（2）f（z）在原點處鄰域內解析有界，其冪級數展開式為f（z）=∑∞l=0fl（xp1xq2）lf不恒為常數，且f（0）≠0。

（3）h（z）在原點處鄰域內解析有界，其冪級數展開式為

h（z）=∑∞t=0∑k-1r=1htk+r（xp1xq2）tk+r其中h不恒為常數。

（4）常數a＜0。

下面分別對方程（2）的形式解的存在性和唯一性進行討論。

3形式解的存在性及唯一性

定理3：方程（2）存在唯一的形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2滿足條件y00=0ytpk，tqk=0，其中，t∈N+。

證明：下面證明形式解y^的存在性與唯一性。首先取y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2=∑∞t=0y～txp1xq2t，其中

y～t=∑∞m′，n′=0ypt+m′，qt+n′xm′1xn′2

m′＜porn′＜q，pt+m′=m，qt+n′=n

可以得到x1y^x1=∑mymnxm1xn2、x2y^x2=∑nymnxm1xn2。

將y^代入方程（21）中，可以得到方程：

（xp1xq2）kspk∑∞m，n=0mymnxm1xn2+1-sqk∑∞m，n=0nymnxm1xn2=∑p-1i=0∑q-1j=0gijxi1xj2+∑p-1i=0∑∞j=qgijxi1xj2+∑∞i=p∑q-1j=0gijxi1xj2∑∞l=0fl（xp1xq2）l+

∑∞t=0∑k-1r=1htk+r（xp1xq2）tk+r+a∑∞m，n=0ymnxm1xn2

比較x01x02的系數，可以得到0=ay00。由于a≠0，可以得到y00=0。比較xpk1xqk2的系數，可以得到0=aypk，qk。同上，得到ypk，qk=0。

比較（xpk1xqk2）2的系數，可以得到ypk，qk=ay2pk，2qk。由于ypk，qk=0，得到y2pk，2qk=0。

比較（xpk1xqk2）3的系數，可以得到y2pk，2qk=ay3pk，3qk。由于y2pk，2qk=0，可以得到y3pk，3qk=0。

以此類推，可以證明取任意的正整數b，比較（xpk1xqk2）b的系數，可以得到ybpk，bqk=0。

下面比較（xpk1xqk2）b+1的系數，可以得到ybpk，bqk=ay（b+1）pk，（b+1）qk。由于ybpk，bqk=0，得到y（b+1）pk，（b+1）qk=0。

綜上，可以得到，滿足mpk=nqk=1，2，…條件的ymn=0。

比較xm1xn2（不包括mpk=nqk=1，2，…的情況）的系數時，考慮以下情況：

當0≤m＜pk，n≥0（不包括m=n=0的情況）時，得到0=gmnf0+aymn（m≠pr，n≠qr，r=1，2，…k-1）與0=hr+aymn（m=pr，n=qr，r=1，2，…k-1）。

整理后得到ymn=-gmnf0a（m≠pr，n≠qr，r=1，2，…k-1）與ymn=-hra（m=pr，n=qr，r=1，2，…k-1）。

同理，當0≤n＜qk，m≥0（不包括m=n=0的情況）時，可以得到ymn=-gmnf0a（m≠pr，n≠qr，r=1，2，…k-1）與ymn=-hra（m=pr，n=qr，r=1，2，…k-1）。

當pk≤m＜2pk，n≥qk（不包括m=pk且n=qk的情況）時，可以得到spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=gm-pk，n-qkf1+aymn（m≠p（k+r），n≠q（k+r），r=1，2，…k-1）與spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=hk+r+aymn（m=p（k+r），n=q（k+r），r=1，2，…k-1）。

整理后可以得到ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-pk，n-qkf1a（m≠p（k+r），n≠q（k+r），r=1，2，…k-1）與ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-hk+ra（m=p（k+r），n=q（k+r），r=1，2，…k-1）。

同理，當qk≤n＜2qk，m≥pk（不包括m=pk且n=qk的情況）時，可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-pk，n-qkf1a（m≠p（k+r），n≠q（k+r），r=1，2，…k-1）

與

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-hk+ra（m=p（k+r），n=q（k+r），r=1，2，…k-1）

當2pk≤m＜3pk，n≥2qk（不包括m=2pk且n=2qk的情況）時，可以得到

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=gm-2pk，n-2qkf2+aymn（m≠p（2k+r），n≠q（2k+r），r=1，2，…k-1）

與

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=h2k+r+aymn（m=p（2k+r），n=q（2k+r），r=1，2，…k-1）

整理后可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-2pk，n-2qkf2a（m≠p（2k+r），n≠q（2k+r），r=1，2，…k-1）

與

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-h2k+ra（m=p（2k+r），n=q（2k+r），r=1，2，…k-1）

同理，當2qk≤n＜3qk，m≥2pk（不包括m=2pk且n=2qk的情況）時，可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-2pk，n-2qkf2a（m≠p（2k+r），n≠q（2k+r），r=1，2，…k-1）

與

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-h2k+ra（m=p（2k+r），n=q（2k+r），r=1，2，…k-1）

通過以上證明過程可以得到，任取正整數t，tpk≤m＜（t+1）pk，n≥tqk（不包括m=tpk且n=tqk的情況），可以得到

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=gm-tpk，n-tqkft+aymn（m≠p（tk+r），n≠q（tk+r），r=1，2，…k-1）

與

spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk=htk+r+aymn（m=p（tk+r），n=q（tk+r），r=1，2，…k-1）

整理后可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-tpk，n-tqkfta（m≠p（tk+r），n≠q（tk+r），r=1，2，…k-1）

與

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-htk+ra（m=p（tk+r），n=q（tk+r），r=1，2，…k-1）

同理，當tqk≤n＜（t+1）qk，m≥tpk（不包括m=tpk且n=tqk的情況）時，可以得到

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-gm-tpk，n-tqkfta（m≠p（tk+r），n≠q（tk+r），r=1，2，…k-1）

與

ymn=spk（m-pk）+1-sqk（n-qk）ym-pk，n-qk-htk+ra（m=p（tk+r），n=q（tk+r），r=1，2，…k-1）。

通過上述證明過程，可以證明方程（2）的形式解存在。下面考慮形式解的唯一性。

由給定條件已知，g（x1，x2）、f（z）以及h（z）的每一項系數gij、fl以及htk+r都是唯一的。

通過上述證明過程得知，對于y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2的系數ymn，可由系數gij、fl、htk+r以及固定的常數p、q、k、s、c計算得出。

綜上所述，能夠得到y00=0，當mpk=nqk=1，2，…時ymn=0、對于不為零的ymn，可以得出ymn由已給出的固定條件唯一表示，即形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2具有唯一性。最終可以證明，方程（2）的形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2存在且唯一。

4方程形式解的gevrey階數

下面考慮解的gevrey階數。對于變量x1，得到如下方程：

spkxqk2（m-pk）ym-pk（x2）+1-sqkxqk+12y′m-pk（x2）=gm-pl（x2）fl（z）+htk+r（xq2）+aym（x2）（3）

注意，此方程在Dr上全純。這里要考慮兩種情況，一種是當m≠tk+r時，等式右邊取gm-pl（x2）fl（xq2）+aym（x2），另一種是當m=tk+r時，等式右邊取htk+r（xq2）+aytk+r（x2）。兩種情況證明方法及結論最終相同，故下面僅證明m≠tk+r的情況。

定理4：方程（2）的形式級數解在單項式xp1xq2上為1/kgevrey階數。

證明：利用Nagumo范數及其性質，通過方程（3），得到不等式

‖y（x2）‖m≤1aspkRqk（m-pk）‖y（x2）‖m-pk+1-sqkRqk+1e（m-pk）‖y（x2）‖m-pk-1+∑m/pl=0‖g（x2）‖m-pl‖f（z）‖l+a‖y（x2）‖m（4）

同樣，可以假設上述所有關系是相等的，相應地擴大數字ym。設y^t=∑ymtm，代入方程（4），得到

y（t）=1aspkRqktpk+1y′（t）+1-sqkRqk+1em-pkm-pk-1tpky′（t）+g（t）f（z）（5）

在參考文獻［1］中，這樣的方程的一般理論就意味著存在常數C、M，使得

‖ym‖≤CMmΓ（1+m/pk）m≥0（6）

利用柯西公式，得到

‖ym，n‖≤CMmNnΓ（1+m/pk）m，n≥0（7）

由參考文獻［2］可以得到，當ym，n滿足上述不等式時有y^∈Ex1，x21/k，則可以得到

‖ym，n‖≤CMm+nm！1/pk（8）

結合（8），由引理1，可以證明，ym，n為（1/pk，0）gevrey級數。即

y^∈Ex1，x2（1/pk，0）（9）

同理對于x2也有相應方程。應用與上述證明過程相同的方法，可證明

y^∈Ex1，x2（0，1/qk）（10）

由引理1的方程（1），結合（9）及（10），可得

y^∈Ex1，x2（p，q）1/k（11）

即y^在單項式xp1xq2為1/kgevrey階數。

5總結

本論文研究了奇異偏微分方程

（xp1xq2）kspkx1yx1+1-sqkx2yx2=F（x1，x2，z）

及其形式解y^=∑∞m，n=0ymnxm1xn2，證明了此形式解的存在性與唯一性，并在此基礎上討論了解的gevrey階數，為后續證明形式解關于單項式xp1xq2的可和性打下了基礎。

參考文獻：

［1］W.Balser，FormalPowerSeriesandLinearSystemsofMeromorphicOrdinaryDifferentialEquations［J］.SpringerVerlag，NewYork，2000：3758.

［2］LuoZhuangchu，H.Chen，C.Zhang.ExponentialtypeNagumonormsandsummabilityofformalsolutionsofsingularpartialdifferentialequations［J］.AnnalesInstitutFourier，2011，62（2）：571618.

［3］CanalisDurandMJR.Monomialsummabilityanddoublysingulardifferentialequations［J］.JournalofDifferentialEquations，2007，233（2）：485511.

［4］CarrilloSA，MozoFernández，Jorge.AnextensionofBorelLaplacemethodsandmonomialsummability［J］.JournalofMathematicalAnalysis&Applications，2018（1）：461477.

［5］CarrilloSA.Summabilityinamonomialforsomeclassesofsingularlyperturbedpartialdifferentialequations［J］.PublicacionsMatematiques，2021（1）：83127.

作者簡介：徐思晨（1998—），女，漢族，山東昌邑人，碩士，研究方向：復數域內微分方程解的可和性。