基于改進差分進化算法的橋梁有限元模型修正研究

摘 要：進化算法進行橋梁結構有限元模型修正，改善了傳統有限元模型修正算法的全局優化能力。經實橋驗證，基于該方法修正后得到的連續剛構橋有限元模型的計算精度提升顯著，能夠真實反映橋梁結構的靜動力特性，驗證了該算法的可靠性和可行性，為解決橋梁有限元模型修正問題提供了一種新的參考方式。

關鍵詞：橋梁監測；有限元模型；差分進化算法；優化問題；響應面法

中圖分類號：U442.5

0 引言

一個準確且可靠的基準有限元模型是橋梁結構健康監測與安全評估的基本前提［1］。但是由于建模過程中模型的簡化和施工中的不確定因素等原因導致橋梁結構有限元模型不能真實反映結構靜動力參數，無法滿足橋梁結構健康監測的要求，而必須對有限元模型進行修正［2］。

有限元模型修正優化算法經歷了從直接搜索算法、序列二次規劃算法到當前的各種進化優化算法［3-4］。Modak等［5］研究了在模型修正中基于梯度信息的優化算法，發現該優化算法雖然具有更高的計算效率，但也存在容易陷入局部最優解的問題。Zhang BQ等［6］采用了差分進化算法對不對稱阻尼系統不完整復雜模態數據進行有限元模型修正，結果表明該優化方法對于非對稱阻尼系統有限元模型修正是可行的。近年來，許多學者采用了高斯過程模型［7］和貝葉斯優化方法［8］進行有限元模型修正。

張連振等［9］利用優化算法理論結合梯度下降計算法對研究模型進行修正，其計算結果與實驗結果具有很好的契合性。孔憲仁等［10］將差分進化算法、粒子群優化算法、遺傳—粒子群組合算法三種算法應用到模型修正，結果表明遺傳-粒子群算法與單獨使用差分進化算法或粒子群算法相比，其效率和精度更高。

盡管目前有多種不同的優化方法可用于解決橋梁有限元模型修正的問題，但尚未確定哪種算法在這一領域中表現最為出色。另外，各種算法僅適用于解決特定結構的模型修正問題，缺乏通用性。因此，開發高效的優化算法仍然是橋梁有限元模型修正技術亟須解決的一個重要挑戰。

為此，本文在上述學者研究成果基礎上，采用改進的差分進化算法來求解基于響應面函數的橋梁有限元模型修正，并采用數值算例對改進的遺傳優化算法進行驗證。

1 基于響應面函數的橋梁有限元模型修正

基于響應面函數的橋梁有限元模型修正基本步驟為：

（1）建立初始有限元模型并獲得模態參數等實測數據及統計參數。

（2）待修正參數的選取和確定。

（3）確定響應面函數或其他代理模型。

（4）試驗設計并得到響應面函數形式。

（5）根據目標函數在參數設計空間進行優化迭代計算。

（6）有限元模型修正精度計算和確認。

其中響應面函數的確定流程如圖1所示，主要包括試驗設計、響應面函數類型選擇以及響應面函數擬合和確認。

參考文獻：

2 改進的差分進化算法

改進的差分進化優化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）的計算流程如下：

（1）采用拉丁超立方抽樣算法獲取初始種群的個體，并計算種群個體目標函數值，初始化各個迭代參數。

（2）對種群中第i個個體進行變異操作。

（3）對第i個個體的變異個體進行交叉操作，獲得子代個體。

（4）計算第i個子代個體的目標函數值，采用非線性規劃算法對第i個子代進行選擇操作，獲得第i個子代的全局最優解；如果子代個體比父代個體優秀，則用子代個體替代原父代個體，否則，維持原父代個體不變。

（5）如果i沒有達到種群個體數量上限，i=i+1，返回步驟（2），否則前往步驟（6）。

（6）如果未達到迭代的終止條件，i=1，返回步驟（2），否則改進的優化完成。

3 工程算例

3.1 初始有限元模型的建立

本文選取一連續剛構橋進行數值模擬，以實現橋梁有限元模型修正，并采用改進的差分進化算法進行優化求解。

該預應力混凝土連續剛構橋總長為230 m，跨徑布置為60 m+110 m+60 m，主梁形式為單箱單室，主墩為雙肢薄壁墩。連續剛構橋的初始有限元模型采用六自由度的梁單元按空間有限元進行建模，有限元模型如圖2所示。

經過有限元計算的自振頻率及振型如圖3所示。

3.2 待修正設計參數的確定

研究［11］表明影響大跨度混凝土連續剛構橋的動力特性的因素有：跨度、截面尺寸、混凝土彈性模量、邊界約束條件、墩高與橋墩剛度等。考慮到該橋跨度、截面尺寸與墩高是確定的因素，而橋墩剛度取決于混凝土彈性模量和橋墩截面尺寸。因此，在對該連續剛構橋進行有限元模型修正時，選取混凝土彈性模量和邊界約束條件作為待修正參數。即選取主橋兩端的支座豎向彈簧剛度以及混凝土彈性模量相對初始值的倍數N作為待修正參數。

初步確定待修正參數后，通過基于靈敏度的方法進一步來篩選參數。待修正參數對頻率的靈敏度見圖4和圖5。由圖可知，1#墩和4#墩支座豎向剛度參數對前三階頻率影響均很小，這是由于橋墩支座豎向剛度一般都認為是剛性，在有限元里面剛度系數設置的較大，對其改變影響較小。而橋墩彈性模量組對前三階頻率影響最為敏感，主梁彈性模量組中彈性模量組2相對影響較大，主梁其他彈模組對不同頻率也分別有影響。

基于上述分析，選擇橋墩彈性模量組1～2和主梁彈性模量1～4作為待修正參數組，依據工程經驗，選取修正參數范圍上下浮動15%，參數設計范圍取值如表1所示。

3.3 代理模型的確定

確定待修正參數和區間后，采用正交試驗設計，產生25個樣本點，依次代入有限元模型，進行批量運算，得到對應的六階頻率響應值。隨后，對樣本點數據進行高次擬合得到的響應面函數式。限于文章篇幅，這里只給出一階頻率兩參數響應面模型，如圖6、圖7所示。空間曲面的縱坐標軸為頻率響應的值，橫坐標軸為兩個待修正參數的值。根據曲面曲率，可看出兩個待修正參數對各階頻率的綜合影響，曲面曲率越大說明綜合影響越顯著。

對回歸所得到的代理模型進行精度檢驗，在設計空間中隨機選取18個檢驗點，不包括試驗設計的點，將該組參數代入有限元模型，計算各響應擬合所得響應面的R2值和相對均方根誤差（RMSE），計算結果如表2所示。

計算得R2值最小為0.898，RMSE值最大為0.027 7，故回歸所得的各階響應面模型的精度均較高，可以作為反映結構特性的有限元模型，并用于參數的優化計算。

3.4 有限元模型修正結果

本文選用改進的差分進化算法進行優化求解。由于本文是求解函數的最小值，把函數值的倒數作為個體的適應度值，適應度計算函數為：

F［f（x）］=1f（x）（1）

改進的差分進化算法參數設置：種群規模N=100，進化次數為100次，交叉因子為0.6，變異因子為0.1。將參數初始值代入響應面模型中并進行優化求解，得到待修正參數如表3、圖8所示，并與理想頻率進行比較如表4、圖9所示。

從整體來看，修正后的連續剛構橋有限元模型頻率響應更接近實測值，誤差水平顯著降低。由表4可知，對于修正前誤差較大的前三階頻率得到了明顯的改善，而誤差本來就很小的階次并未出現因為本次修正發生不需要的偏離，各個修正參數均具有良好的物理意義，可作為后期橋梁運營養護的基準模型。

3.5 不同優化算法的對比

為驗證該算法的計算精度，采用傳統差分進化算法和改進的差分進化算法對上述模型分別進行計算對比。兩種算法的參數均設置為：種群規模N=100，交叉因子率為0.6，變異因子為0.1，進化次數為50次和100次。對比結果如表5所示。

由表5對比結果可以看出，在同等條件下，基于差分進化算法和非線性規劃的混合尋優算法在求解結果上要優于傳統的差分進化算法，且隨著進化次數的增加，其總體誤差越小，驗證了改進的差分進化算法同時兼有全局尋優和局部尋優特點，提高了傳統差分進化算法的搜索性能。

4 結語

本文引入差分進化算法到橋梁結構有限元模型修正中，改善了傳統有限元模型修正算法的全局優化能力。基于該方法修正后得到的連續剛構橋有限元模型計算精度提升顯著，能夠真實反映橋梁結構的靜動力特性，驗證了該算法的可靠性和可行性，為解決橋梁有限元模型修正問題提供了一種新的參考方式。

參考文獻：

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