研讀新教材，理解新課標

摘 要：為落實國家對中學教育提出的新要求，教育部于2017年發布了高中新課程標準，又于2020年對高中新課程標準進行了修訂，這為教學指明了方向.教師要通過認真學習高中新課程標準，理解把握高中數學的教學要求，還要通過研讀新教材體會新課標的教學要求的各項細化目標，在平常的教學中去認真落實，提升學生的基本數學素養.

關鍵詞：新教材；新課標；數列

數列作為一種特殊的函數，是一種重要的數學模型.學習數列，不僅可以培養學生的數學核心素養，還可以滲透素質教育理念，使學生產生文化共鳴.伴隨基礎教育改革的深入，各出版社依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》相繼出版了多個版本的數學教材，呈現出“百花齊放”的局面，不同版本的數學教材在數列的編寫上呈現出不同的特色和教學要求.本文研讀人教A版新教材中有關數列通項公式的兩道習題，總結教學經驗，以期為教學提供一些有益的指導.

1 關于數列通項兩道習題的分析與拓展

人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊》在習題4.3由數列的遞推關系求解數列的通項公式配備了兩道習題，筆者針對這兩道習題做如下分析與拓展.

習題1 若數列｛an｝的首項a1=1，且滿足an＋1=2an＋1，求數列｛an｝的通項公式.

解法1（觀察法）：學生剛學完等差、等比數列，很容易通過觀察法求解此題，先由已知條件求出a2=3、a3=7、a4=15，再由得到的前四項a1=1、a2=3、a3=7、a4=15尋找其規律并歸納出通項公式an=2n-1，然后代入條件an＋1=2an＋1檢驗符合要求，進而得到數列的通項公式an=2n-1.

解法2（構造法）：由解法1可知，an＋1=2n，｛2n｝是個等比數列，啟發我們可以通過配湊，構造一個新等比數列｛an＋1｝，由此可得以下解法.

因為an＋1=2an＋1，所以an＋1＋1=2（an＋1）.

又a1＋1=2≠0，則數列｛an＋1｝是以2為首項，2為公比的等比數列.

由等比數列通項公式得an＋1=2×2n-1=2n，所以數列｛an｝的通項公式an=2n-1.

解題反思：本題的解法從解法1到解法2由易到難，符合學生的認知規律，學生比較容易接受.若沒有解法1的提示，初學的學生是很難想到構造數列｛an＋1｝的.

追問 對于形如an＋1=can＋m（c、m為非零常數）這種類型的數列通項公式怎么求解？

對于形如an＋1=can＋m（c、m為非零常數）的數列通項公式的求解，可以利用待定系數法構造一個新數列｛an＋λ｝成等差或等比數列，再利用等差、等比數列的通項公式求出已知數列｛an｝的通項公式.由此得到下面的解法3.

解法3（待定系數法）：令an＋1＋λ=2（an＋λ），即an＋1=2an＋λ.又an＋1=2an＋1，所以有λ=1，從而構成新數列｛an＋1｝滿足an＋1＋1=2（an＋1），下同解法2.

習題2 已知數列｛an｝的首項a1=1，且滿足an＋1＋an=3×2n.

（1）求證：｛an-2n｝是等比數列.

（2）求數列｛an｝的前n項和Sn.

（1）分析：題目要證｛an-2n｝是等比數列，此時數列的第n＋1項是an＋1-2n＋1，可將條件an＋1＋an=3×2n變形為an＋1-2n＋1=-（an-2n），且a1-2=-1≠0，所以數列｛an-2n｝是等比數列.

方法拓展1：教材為了控制難度，給出了構造數列｛an-2n｝的提示，那么數列｛an-2n｝是怎么得到的？可以按如下思路進行思考.

令an＋1＋x·2n＋1=-（an＋x·2n），即an＋1=-an-3x·2n.

又an＋1＋an=3×2n，所以有-3x=3，解得x=-1，

代入上式得到an＋1-2n＋1=-（an-2n），且a1-2=-1≠0，故數列｛an-2n｝是等比數列.

方法拓展2：將式子an＋1＋an=3×2n兩邊同時除以2n＋1，得an＋12n＋1=-12·an2n＋32，

記bn=an2n，則上式變為bn＋1=-12bn＋32，這樣就把此題化歸為習題1的類型，

按照習題1的解法有bn＋1-1=-12·（bn-1）.又b1-1=a12-1=-12≠0，

則bn-1=-12·-12n-1=-12n，即得an2n-1=-12·-12n-1=-12n，

所以an-2n=2n·-12n=（-1）n，即｛an-2n｝是等比數列.

（2）由（1）可知，an=2n＋（-1）n，所以Sn=2-2n＋11-2＋-1-（-1）n＋11＋1=2n＋1-（-1）n＋12-52.

解題反思：通過習題1和習題2的設置可以看出，人教A版教材對形如an＋1=can＋m（c、m為非零常數）這類型數列通項問題要求學生能夠正確求解并掌握，但對于形如an＋1=can＋f（n）（c為非零常數）這類式子后面帶有變量n的通項的求解控制了難度，只需在題目的提示下完成通項公式的求解，不需采用配湊求解，體現出新課標對兩類題型要求的不同.這些細微的區別是值得教師認真琢磨的，在琢磨中去體會新課標的教學要求，提高教學的實效性.

2 關于數列通項兩道習題的思考與啟示

通過分析人教A版高中數學教材關于由數列的遞推關系求解數列的通項公式配備的兩道習題可以看出，教材對由數列的遞推關系求解數列的通項公式的要求較舊教材有所提高，難度也略有增大，同時也可以看出對不同問題的要求也是有區別的，處理的方式也有所不同.

（1）教師要對照新課標認真研讀新教材，準確理解新課標的教學要求，把控好教學目標，既不能盲目加重學生負擔，又不能降低了教學要求，要依據新課標把知識落實到位，在知識的學習中培養學生的提出問題、分析問題與解決問題的能力.

（2）在高一、高二基礎年級的教學中注意不能脫離學生接受知識的客觀條件盲目拔高，甚至采取一步到位的方式加大難度，應循序漸進，依據課標要求、學生的認知規律以及接受知識的實際情況，逐步提高教學要求，便于學生理解掌握.

（3）教師要不斷加強理論學習，提升自己專業素養，積極轉變教學觀念，自覺探索并不斷改變自己的課堂教學方式，充分調動學生的學習積極性，培養學生自覺主動學習的能力，提高課堂效率，提升學生數學素養.