巧思維切入，妙方法破解

摘 要：解三角形綜合問題是融合初、高中階段中的不同知識的交匯與深化，并合理加以創設與應用，在此過程中融入相應的數學思想方法以及高中階段中不同數學基礎知識模塊，構建一個良好的知識交匯與綜合應用體系.這一直是高考中的一類常見考查形式.

本文結合一道高考真題，基于解三角形的解答題創設及其應用，從不同思維視角加以巧妙切入，合理發散思維，巧妙突破與應用，以期引領并指導復習備考與解題研究.

關鍵詞：解三角形；正弦定理；余弦定理；面積

解三角形的綜合應用問題，一直是高考數學試卷命題中的一個重要考查點，有時在選擇題或填空題的位置出現，有時在解答題的位置出現，涉及的場景變化多端，是高考中對數學能力素養的考查與數學知識難度的要求等方面都比較高的一類考查場景.此類問題，基于初中平面幾何與高中三角函數、平面向量與解三角形等知識的有機“串聯”，并對相應的知識加以合理整合，真正體現新課標中“在知識交匯點處命題”基本指導精神，成為每年高考數學試卷命題中的一個基本點，

倍受各方關注.

1 真題呈現

^^（2024年新高考數學Ⅰ卷第15題）amp;amp;記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2－c2=2ab.

（1）求B.

（2）若△ABC的面積為3+3，求c.

此題依托解三角形這一主干知識，結合高中平面向量與解三角形、三角函數與平面解析幾何

以及初中平面幾何等知識的交匯與整合，通過正弦定理、余弦定理的轉化與變形，結合三角形的面積公式的巧妙應用，實現問題的轉化與變形，得以求解三角形中對應的角與邊的數值.

高考真題中的第（1）問，依托題設條件中三角形三邊長的關系式“a2+b2－c2=2ab”，聯想到余弦定理，可以快速求解角C的大小，進而結合條件中的“sin C=2cos B”，實現角B的求解.

高考真題中的第（2）問，是基于第（1）問的基礎上確定三角形的三個內角的具體值，進而依托題設條件中給出的三角形的面積的對應數值，從三角形面積公式入手，依托不同形式，或借助正弦定理的轉化，或借助三角形面積公式的變式，或借助平面幾何的直觀形象等來切入與應用，實現問題的突破與求解.

這道解三角形的綜合應用問題，屬于基本題，中等難度，大部分考生都能有所突破與收獲，只要注意推理過程的嚴謹性，運算過程的正確性即可.

2 真題破解

解析：（1）依題，結合a2+b2－c2=2ab，由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=2ab2ab=22，又C∈（0，π），可得C=π4.

2cos B=sin C=sin π4=22，則有cos B=12，又B∈（0，π），可得B=π3.

（2）方法1：正弦定理法.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

△ABC的面積為3+3，由三角形的面積公式可知S=12absin C=3+3，化簡有ab=22（3+3）.

由正弦定理可得c=asin Csin A，c=bsin Csin B，以上兩式對應相乘可得c2=absin 2Csin Asin B=223+3×126+24×32=8，解得c=22.

點評：根據解三角形中正弦定理、余弦定理的轉化與變形，巧妙實現邊與角之間的轉化，往往是解決相應解三角形問題中最為常用的技巧方法.該方法通過三角形面積公式的轉化確定兩邊長的乘積，借助正弦定理加以轉化，得以求解第三邊的長度，實現解三角形問題的突破.

方法2：面積公式法1.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

結合三角形的面積公式可知S=12c2·sin Asin Bsin C=12c2·6+24×3222=3+38c2=3+3，則c2=8，解得c=22.

點評：根據三角形面積公式的變式S=12c2·sin Asin Bsin C，該公式自人教A版《普通高中教科書數學必修第二冊》第六章《平面向量及其應用》第53頁習題6.4第18題中對應習題的結論，其實質是三角形面積公式的變式與深度應用.解題時利用該三角形面積公式的變式，使得思路更加直接明了.

方法3：面積公式法2.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

由三角形的面積公式可知S=2R2 sin Asin B·sin C=2R2×6+24×32×22=3+34R2=3+3，其中R為△ABC的外接圓半徑，

則R2=4，解得R=2，由正弦定理可得c=2Rsin C=4×22=22.

點評：根據三角形面積公式的變式S=2R2sin A·sin Bsin C，圍繞三角形的外接圓半徑與三內角的正弦值展開，離不開正弦定理及其應用，也是解決問題時比較常用的一種方法技巧.該三角形面積公式的變式，其實是依托三角形面積公式S=12absin C的一種變形與轉化，在實際解題應用過程中加以合理選取與應用.

方法4：平面幾何法.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

如圖1所示，過點A作AD⊥BC交BC于點D.

設BD=x，結合直角三角形中邊與角之間的關系可知AD=CD=3x.

由三角形面積公式得S=12（1+3）x×3x=3+3，則x2=2，解得x=2，

所以c=2x=22.

點評：根據解三角形中平面幾何的本質，回歸平面幾何“形”的結構特征，往往是解決解三角形問題中數形結合思想及其應用中的一種技巧方法.回歸解三角形問題中的平面幾何本質，往往要依托平面幾何中圖形的構建、輔助線的應用等，結合圖形直觀與代數運算來綜合應用，實現“數”與“形”的巧妙融合與應用.

3 變式拓展

基于高考真題的應用場景，借助三角形中對應邊與角的求解，合理進行深度學習與變式應用，能夠達到拓展延伸的效果.

變式 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2－c2=2ab.

（1）求B.

（2）若△ABC的面積為3+3，求△ABC的周長.

解析：（1）同原問題部分，可得B=π3.

（2）同原問題部分，可得c=22.

進一步通過

方法4中的平面幾何法，可得a=（1+3）x=2+6，b=6x=23，所以△ABC的周長為a+b+c=32+23+6.

4 教學啟示

4.1 “數”“形”融合，化歸轉化

解三角形綜合應用問題中，命題人通過情境創設與綜合應用，對初中平面幾何、高中解三角形兩個不同階段的數學基礎知識加以巧妙整合，突出對數學“四基”的考查與數學“四能”的應用.在具體破解此類問題時，“數”與“形”的融合與應用都可以達到目的.實際解題時，考生可以借助解三角形中“數”的本質與內涵，有序進行數學運算；也可以借助解三角形中“形”的實質與回歸，巧妙直觀想象，合理化歸轉化.

4.2 回歸本質，拓展思維

在解三角形綜合問題中，學生依托具體問題場景，合理構建對應的平面幾何模型.學生借助平面幾何直觀，綜合平面向量與解三角形等相關知識，加以平面幾何圖形的直觀想象以及相關問題的邏輯推理，綜合起來利用數形結合分析與應用.

從問題中合理挖掘內涵，回歸問題的本質，借助解三角形問題的數學運算或直觀想象，實現初、高中知識間的交匯與融合，特別是要將相關的解三角形、三角函數、函數與方程等知識巧妙地滲透與融合進去，拓展數學思維方式與解題策略，實現解題過程的優化與創新應用.