弱化優(yōu)化寬化

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中增加了對(duì)尺規(guī)作圖的具體要求，這些要求在學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題中也得到了相應(yīng)的體現(xiàn).解決好尺規(guī)作圖問(wèn)題，需要充分運(yùn)用多種與尺規(guī)作圖相關(guān)的基本原理和方法，能夠增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力，發(fā)展空間觀念和空間想象力.

關(guān)鍵詞：弱化要求；準(zhǔn)目標(biāo)圖形；圖形變換

近年來(lái)，尺規(guī)作圖題難度較以往有大幅提升，這些題往往難在對(duì)目標(biāo)圖形的要求較多或比較嚴(yán)格等方面，完成這樣一些尺規(guī)作圖題通常可以先弱化對(duì)目標(biāo)圖形的要求，作出接近于“目標(biāo)圖形”的“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”，再借助圖形的變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)或位似）把“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”變化為“目標(biāo)圖形”.當(dāng)然，還可以通過(guò)反思作圖的本質(zhì)，將作圖方法進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)聯(lián)想與目標(biāo)圖形相關(guān)的多種模型實(shí)現(xiàn)作圖思路的創(chuàng)新.教師在日常的尺規(guī)作圖的教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)弱化作圖要求，尋求變換解決；反思作圖本質(zhì)，探求優(yōu)化作法；聯(lián)想基本模型，追求寬化思路.下面筆者以一道尺規(guī)作圖題為例談?wù)勔恍┫敕?

1 試題呈現(xiàn)

如圖1所示，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)等腰直角三角形PCD，使C、D兩點(diǎn)分別在邊OA、OB上，且∠CPD＝90°，PC＝PD（要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）.

2 難點(diǎn)剖析

本題對(duì)目標(biāo)圖形有以下要求：①∠CPD＝90°；②PC＝PD；③點(diǎn)C在邊OA上；④點(diǎn)D在邊OB上.顯然，上述要求中，讓圖形滿足其中任意3個(gè)不是一件難事，但很難同時(shí)滿足所有條件.難點(diǎn)還在于點(diǎn)P的位置并不特殊，所以難度確實(shí)不小.

3 解法探求

3.1 弱化作圖要求，尋求變換解決

弱化問(wèn)題的要求，可以讓問(wèn)題由淺入手，逐步向目標(biāo)靠攏.

本題的4個(gè)要求可以弱化哪一個(gè)呢？經(jīng)歷過(guò)多道作圖題的弱化過(guò)程，發(fā)現(xiàn)弱化位置方面的要求，通常較易于通過(guò)變換實(shí)現(xiàn)最終的作圖，也就是弱化本題中的要求③或④，因?yàn)檫@兩個(gè)要求地位相同，所以不妨弱化要求④.

在分析階段可以畫(huà)草圖（如圖2），在等腰直角三角形PC1D1中，點(diǎn)C1在邊OA上，且∠C1PD1＝90°，PC1＝PD1.此圖為弱化要求④之后的“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”.

怎樣的變換能將“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”變化為“目標(biāo)圖形”呢？不妨將“目標(biāo)圖形”和“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”畫(huà)在一起觀察（如圖3）.兩個(gè)等腰直角三角形頂角的頂點(diǎn)都是P，于是想到了連接DD1，構(gòu)造“手拉手”全等模型，已知點(diǎn)P、C1位置是確定的，且點(diǎn)C在OA上，發(fā)現(xiàn)∠PC1C的大小是確定的，進(jìn)而作∠PD1D＝∠PC1C，便可確定點(diǎn)D在OB上的位置，完成作圖.具體作法如下.

作法1：如圖4所示，作等腰直角三角形PC1D1（為了讓圖形看起來(lái)簡(jiǎn)潔，C1D1沒(méi)有連接），在PD1左側(cè)作射線D1D，交OB于點(diǎn)D，使∠PD1D＝∠PC1C，在C1A上截取C1C＝D1D，△PCD即為所求.

此作法中，從“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”到“目標(biāo)圖形”的變換方式是旋轉(zhuǎn)和位似.其實(shí)，由于從點(diǎn)C1到點(diǎn)C的移動(dòng)路徑是直的，根據(jù)“瓜豆原理”可知，從點(diǎn)D1到點(diǎn)D的移動(dòng)路徑的確是直的，也可以通過(guò)多作幾個(gè)“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”（如圖5），發(fā)現(xiàn)從點(diǎn)D1到點(diǎn)D的移動(dòng)路徑的確是直的.這樣看來(lái)，作法1實(shí)際上是用1個(gè)點(diǎn)和1個(gè)方向確定了路徑D1D，通過(guò)圖5中的想法，我們還發(fā)現(xiàn)路徑D1D也能用2個(gè)點(diǎn)來(lái)確定，從而得到作法2.

作法2：如圖6所示，作等腰直角三角形PC1D1和PC2D2（為了讓圖形看起來(lái)簡(jiǎn)潔，C1D1和C2D2都沒(méi)有連接），作射線D1D2，交OB于點(diǎn)D，在C2A上截取C2C＝D2D，△PCD即為所求.

弱化要求④，可以完成作圖，那么弱化其他要求，也能完成作圖嗎？筆者認(rèn)為還是要就點(diǎn)的位置方面的要求進(jìn)行弱化才易于解決，除了弱化點(diǎn)C或點(diǎn)D位置的要求外，是否還可以弱化對(duì)點(diǎn)P位置的要求，不妨試一試.弱化后的要求如下：①∠C1P1D1＝90°（點(diǎn)P1位置任意）；②P1C1＝P1D1；③點(diǎn)C1在邊OA上；④點(diǎn)D1在邊OB上.

如圖7所示，先畫(huà)出滿足上述要求的一個(gè)△P1C1D1，借助草圖分析該“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”通過(guò)怎樣的變換可以變化為“目標(biāo)圖形”，發(fā)現(xiàn)還需要一個(gè)用于過(guò)渡的等腰直角三角形P2C1D2（其中O、P、P2三點(diǎn)共線，點(diǎn)D2在OB上，∠C1P2D2＝90°，P2C1＝P2D2），可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)和位似變換將△P1C1D1先變化為△P2C1D2，再以O(shè)為位似中心，將△P2C1D2通過(guò)位似變換變化為目標(biāo)圖形△PCD.于是又有了第3種作法.

作法3：如圖8所示，作等腰直角三角形P1C1D1（為了讓圖形看起來(lái)簡(jiǎn)潔，P1D1沒(méi)有連接），作∠C1P1P2＝∠C1D1B，射線P1P2與射線OP相交于點(diǎn)P2，作等腰直角三角形P2C1D2（為了讓圖形看起來(lái)簡(jiǎn)潔，點(diǎn)D2沒(méi)有顯示出來(lái)），作PC∥P2C1確定點(diǎn)C，最后在OB上截取點(diǎn)D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

3.2 反思作圖本質(zhì)，探求優(yōu)化作法

很多問(wèn)題不是復(fù)雜化地去理解，而是需要回歸問(wèn)題本質(zhì)，追求方法的優(yōu)化.

在圖5中，可以看出任意一個(gè)點(diǎn)Cn都可以通過(guò)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Dn，由于直線由點(diǎn)構(gòu)成的本質(zhì)，故易知點(diǎn)P到兩個(gè)路徑的距離相等、兩個(gè)路徑之間互相垂直等結(jié)論，所以作法2可以優(yōu)化得到作法4和作法5.

作法4：如圖9所示，過(guò)點(diǎn)P作PC1⊥OA，垂足為C1，在OC1上截取C1E＝PC1，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥OA，交OB于點(diǎn)D，作射線DP，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥PD，交OA于點(diǎn)C，△PCD即為所求.

作法5：如圖10所示，作等腰直角三角形PC1D1（為了讓圖形看起來(lái)簡(jiǎn)潔，C1D1沒(méi)有連接），過(guò)點(diǎn)D1作D1D⊥OA，交OB于點(diǎn)D，在C1A上截取C1C＝D1D，△PCD即為所求.

3.3 聯(lián)想基本模型，追求寬化思路

在解題時(shí)，聯(lián)想陌生的問(wèn)題與哪些熟悉的解題模型有關(guān)系或者類似，有助于探索出更寬、更創(chuàng)新的思路.

通過(guò)等腰直角三角形可以聯(lián)想到“一線三垂直”模型，如圖11所示，圖中有△PCF≌△DPE，則可以通過(guò)使CF與已知的PE相等來(lái)先確定點(diǎn)C的位置，然后再確定點(diǎn)D的位置，具體作法如下.

作法6：如圖12所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，在OE上截取EG＝EP，過(guò)點(diǎn)G作GC⊥OB，交OA于點(diǎn)C，在OE上作點(diǎn)D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

通過(guò)“PC＝PD”聯(lián)想到與之相關(guān)的使C、P、D三點(diǎn)共線且PC＝PD（C、D兩點(diǎn)分別在OA、OB邊上）的作圖問(wèn)題（如圖13），可以根據(jù)“平行四邊形的性質(zhì)”“中位線的性質(zhì)”的逆命題等模型先解決這個(gè)相關(guān)問(wèn)題.原作圖問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)相關(guān)問(wèn)題，即將射線OB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使旋轉(zhuǎn)后得到的射線所在的直線MN與OA相交于點(diǎn)O1，線段PD跟著一同轉(zhuǎn)動(dòng)至線段PD1（如圖14），原作圖問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為了在∠OO1N中作圖13的“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”的問(wèn)題，具體作法如下.

作法7：如圖15所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，交OA于點(diǎn)F，在EB上截取EG＝EP，過(guò)點(diǎn)G作MN⊥OB，交OA于點(diǎn)H，在OF上截取FC＝FH，在OE上作點(diǎn)D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

作法8：如圖16所示，直線MN，點(diǎn)E、G、H、D的確定方法與作法7完全相同.在HP的延長(zhǎng)線上截取PF＝HP，過(guò)點(diǎn)F作FC∥MN，交OA于點(diǎn)C，在OE上作點(diǎn)D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

4 教學(xué)思考

4.1 變換先行，逼近目標(biāo)圖形

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）指出：“‘圖形的變化’強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究圖形，理解圖形在軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)的變化規(guī)律和變化中的不變量.”［1］

尺規(guī)作圖問(wèn)題最終歸結(jié)為作出符合題目要求的點(diǎn)，不過(guò)一些較難的問(wèn)題中需要作的點(diǎn)有多個(gè)或要求較高，這就需要先確定其中某些點(diǎn)或關(guān)注其中部分要求，作出符合部分題意的“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”，再用變換的方法，讓已作出的“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”的位置或大小發(fā)生變化，使其完全符合題目的所有要求，成為最終的目標(biāo)圖形.

這里關(guān)鍵是要將“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”和“目標(biāo)圖形”放在一幅圖中，通過(guò)對(duì)比、找聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)兩圖形之間存在的變換關(guān)系.如果是存在著平移關(guān)系，那么只需要通過(guò)它們的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，便確定平移的方向和距離；如果是存在著翻折關(guān)系，那么只需要找到它們的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，便可以確定對(duì)稱軸；如果是存在著旋轉(zhuǎn)關(guān)系，那么只需要根據(jù)它們的一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，便可以確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角；如果是存在著位似關(guān)系，那么只需要找到兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在直線的交點(diǎn)，便可以確定位似中心和相似比.確定了變換的要素后，就可以將“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”中其他的點(diǎn)也變化到“目標(biāo)圖形”.

此外，還有一種思路，就是多作出幾個(gè)“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”，找到“準(zhǔn)目標(biāo)圖形”的某個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)軌跡，便能確定該點(diǎn)在“目標(biāo)圖形”中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，從而進(jìn)一步作出最終的“目標(biāo)圖形”.

教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)每種變換的性質(zhì)、規(guī)律的理解，真正能讓圖形的變換成為解決問(wèn)題的有效工具，特別是在尺規(guī)作圖的問(wèn)題中大顯身手.

4.2 模型主宰，拓寬作圖路徑

尺規(guī)作圖是對(duì)幾何圖形性質(zhì)的綜合性考查，它要求學(xué)生根據(jù)題目條件，適當(dāng)聯(lián)想、逐步探索、構(gòu)造相關(guān)的幾何圖形或者幾何模型來(lái)尋找結(jié)論，對(duì)學(xué)生的能力要求較高.

在作圖中常用的幾何模型有“一線三垂直”“手拉手”“射影”“切割線”等.在作圖前，可以把可能有關(guān)的模型鑲嵌在圖中，分析這些模型中的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)逆向思考，看看可以先確定模型中的哪些點(diǎn)，隨后再怎么逐步確定“目標(biāo)圖形”中的點(diǎn).例如，圖11中，過(guò)點(diǎn)P作OB的垂線先能很容易確定點(diǎn)E，再根據(jù)“一線三垂直”模型的性質(zhì)，明確了點(diǎn)C到直線PE的距離，相當(dāng)于先確定的點(diǎn)E為后續(xù)確定點(diǎn)C創(chuàng)造新的條件，進(jìn)而保證目標(biāo)圖形中關(guān)鍵的點(diǎn)C被作出.

教師在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生對(duì)重要幾何模型的積累，學(xué)生應(yīng)熟知這些幾何模型的性質(zhì)，以便能在尺規(guī)作圖題中想到它們，為作圖提供思路，拓寬作圖的路徑.

4.3 尺規(guī)共“舞”，盡顯幾何思維

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過(guò)尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理和方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.”［2］

范希爾將幾何思維水平分為了以下5個(gè)層次：層次0：視覺(jué)；層次1：分析；層次2：非形式化的演繹；層次3：形式的演繹；層次4：嚴(yán)密性.達(dá)到層次4的學(xué)生即使不參照模型也能以較大的嚴(yán)密性進(jìn)行推理，這時(shí)推理的對(duì)象是形式化構(gòu)造之間的關(guān)系.［3］可見(jiàn)，尺規(guī)作圖對(duì)幾何思維的要求屬于層次4.尺規(guī)作圖問(wèn)題沒(méi)有給出需要推理的圖形，而是需要學(xué)生自己創(chuàng)造圖形，使它滿足題目的要求，其中需要很嚴(yán)密、高要求的幾何推理，也需要很強(qiáng)的空間觀念.

尺規(guī)共“舞”，好比是在一張白紙上畫(huà)一幅美麗的風(fēng)景圖，這幅風(fēng)景圖的背后積淀著眾多的幾何知識(shí)和幾何邏輯，能夠展現(xiàn)學(xué)生的幾何素養(yǎng)，盡顯學(xué)生的幾何思維.

參考文獻(xiàn)

［1］［2］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］曾友良，贠朝棟.范希爾理論的幾何思維水平研究綜述及啟示［J］.當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2017（5）：12-16.