摘 要：“兩角和（差）公式”是中學數學的重要公式，是在學生已經熟悉的直角三角形知識的基礎上由于解決問題的需要自然生長出來的新知識.本文旨在使學生體驗兩角和（差）三角公式的必要性和優越性，理解銳角同角三角函數之間的關系以及幾何意義，掌握兩角和（差）公式，感悟公式推導過程中的直觀想象和數學運算的價值.

關鍵詞：命題課型；基本經驗；直觀想象；數學運算

如何引導學生在已有的基本經驗基礎上，發現公式、證明公式，并推廣應用，這對拔尖創新人才的培養是十分重要的課題.在銳角前提下，“兩角和（差）公式”是“建構新概念、新公式、新方法、新思想”的探究性新授課，也是一種嘗試課.根據直角三角形中邊的關系“提出問題”“發現新的研究對象”“如何給新的對象下定義”“探索不是特殊角的三角函數值如何求解”“能否給出一個新的數學公式”“如何證明新的數學公式”等，需要學生經歷形成問題、建構概念、尋找方法、語言表述等“從無到有”的數學探究活動過程，用研究問題的一般性的科學方法進行教學，從而促進了學生的思維發展和科學探索精神，把學生培養成探究性的研究型學習者，使其終身受益.因此，教師應把“怎樣探究問題、怎樣研究問題”放在核心地位，這樣才能把握住本節課真正的教學要義.筆者開設一節“兩角和（差）公式”的示范課，旨在探索課堂教學培養拔尖創新人才的新途徑.

1 基于基本活動經驗的命題教學設計

1.1 學情分析

本節課的授課對象是本校與中國科學技術大學聯辦的少年預備班2023級1班學生，該班數學學業成績優秀，學生的學習熱情很高，思維較為活躍，創新思維能力強，但表述不嚴謹.

1.2 教學設計

1.2.1 設計理念

美國數學家哈爾莫斯（P. Halmos）認為“問題是數學的心臟”.問題是數學思想的源泉，是數學思維的動力.有了問題，學生的好奇心才能被激發，思維才能被啟動.數學就是在問題的不斷提出與解決中發展的.數學的一切概念、公式、定理，都是因解決問題的需要而產生的.學生的數學思維能力也是由于問題解決得以提升.因此，筆者設計了教學路線圖（如圖1），以此構成了一個典型的“基于基本活動經驗”的探究學習過程.

1.2.2 教學目標

（1）能從勾股定理中理解并掌握同角三角函數關系式，培養學生會用數學眼光去觀察事物，會發現問題，培養數學抽象、數據分析等素養.

（2）滲透數學思想方法，增強學生的數學活動經驗，培養學生會用數學思維去分析事物、分析問題并解決問題的能力，強化數學研討交流的意識，培養數學運算、數學建模等素養.

（3）經歷代數、幾何視角探究“兩角和（差）三角公式”的主要過程，讓學生體驗其中的數學思想，培養學生會用數學語言去表述事件，培養學生直觀想象、邏輯推理素養.

1.2.3 教學過程

教學過程不只是讓學生接受、記憶、模仿和練習，更主要的是要讓學生自主探究，通過動手實驗、智力參與、主體體驗、合作交流等活動，“再創造”自己的數學意義和數學活動經驗，使數學學習成為發展智力、提升科學思維和人文思維的過程.

環節一：問題導入.

師：如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，三條邊的關系是什么？

生：AB2＋BC2=AC2.

師：如果把等式變形為ABAC2＋BCAC2=1，你們能聯想到什么？

生：BCAC=sin A，ABAC=cos A，于是有sin2A＋cos2A=1.①

師：BCAB可以定義為A的什么函數呢？

生：定義正切函數tan A=BCAB.

師：它與sin A，cos A有聯系嗎？

生：tan A=sin Acos A.②

師：同學們從熟悉的勾股定理出發，探究出銳角的同角三角函數關系，即①是平方關系，②是商數關系.現在先看一組求值題：sin 30°=""" ，cos 30°=""" ，sin 45°=""" ，cos 45°=""" ，cos 60°=""" .

生：sin 30°=12，cos 30°=32，sin 45°=22，cos 45°=22，cos 60°=12.

師：已知α、β為銳角，化簡cos2α-sin2β＋sin2αsin2β-cos2αcos2β=0.

生：利用平方和關系，原式化為cos2α（1-cos2β）-sin2β（1-sin2α）=cos2αsin2β-sin2βcos2α=0.

生：令α=β=45°，結果為0.

【設計意圖】用求值化簡方式復習舊知，比單純記憶背誦公式更有效，把知識與運用情境結合，使知識情境化.

環節二：探究新知.

師：你們能求出cos 75°、sin 75°嗎？

生1：75°可以拆成30°＋45°，由cos 75°=cos 30°＋cos 45°得cos 75°=22＋32.

生2：生1的結論不正確，22＋32gt;1，由銳角余弦函數定義知，0lt;cos αlt;1，因此公式不成立.

師：理由充分，那怎么求cos 75°的值呢？

生：利用幾何法求解，如圖3所示，在Rt△ABC中，∠BAC=75°，在∠CAB內作∠DAB=45°，D在BC上，作DE⊥AC于E.所以∠CAD=30°，∠CDE=75°.設AD=1，則AB=22=BD，DE=12，AE=32，所以CE=12tan 75°.又在Rt△ABC中，AC=ABcos 75°，因此AB=22=（AE＋EC）cos 75°，即32cos 75°＋12sin 75°=22.

師：把它看成關于cos 75°和sin 75°的方程，相當于兩個未知量，同學們能找到它們的內在聯系嗎？

生：利用sin275°＋cos275°=1，化簡得（2-3cos 75°）2＋cos275°=1，即4cos275°-26cos 75°＋1=0，解得cos 75°=6-24，同理可得sin 75°=6＋24.

師：由45°和30°，同學們能聯想到什么？

生： 由于6-24=22·32-22·12=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°，于是cos（45°＋30°）=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°，同理可得sin（45°＋30°）=sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°.

【設計意圖】問題引領是教學的重要環節，意在探究新公式、新方法.

環節三：邏輯推理.

師：這些式子僅僅是猜想，那么對一般銳角α、β都成立嗎？你們能證明嗎？

生1：同上述實例，如圖4所示，設∠DAB=α，∠CAD=β，AD=1，因此有AB=cos α，AE=cos β，BD=sin α，DE=sin β.

在Rt△ABC中，DE=CDcos β+sin βtan（α+β），DE=CDcos（α＋β），CD=BC-BD=cosαtan（α+β）-sinα，即sin β=cos αsin（α＋β）-sin αcos（α＋β），結合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）=1，得sin β＋sin αcos（α＋β）cos α2＋cos2（α＋β）=1，化簡整理，得cos2（α＋β）＋2sin αsin βcos（α＋β）＋sin2β-cos2α=0，配方得［cos（α＋β）＋sin αsin β］2-sin2αsin2β＋sin2β-cos2α=0.因為-sin2αsin2β＋sin2β-cos2α=（1-sin2α）sin2β-cos2α=-cos2αcos2β，所以［cos（α＋β）＋sin αsin β］2=cos2αcos2β，開方得cos（α＋β）＋sin αsin β=cos α·cos β，所以cos（α＋β）=cos αcos β-sin αsin β.

生2：開方時，要有 “±”號.

生3：因為cos（α＋β）＋sin αsin βgt;0，所以“-cos αcos β”舍去了.同理可以證明sin（α＋β）=sin αcos β＋cos αsin β.

師：推理嚴謹，公式正確.你們還有其他想法嗎？

生：在Rt△ABC中，AC=EA+EC=cosβ+sinβtan（α+β），利用AB=ACcos（α＋β）=［ cos β＋sin βtan（α＋β）］ cos（α＋β），所以cos α=［ cos β＋sin β·tan（α＋β）］ cos（α＋β），即cos α=cos βcos（α＋β）＋sin βsin（α＋β）.

如果令γ=α＋β，則α=γ-β，所以cos（γ-β）=cos βcos γ＋sin βsin γ.

師：利用換元法，盡管沒有得到cos（α＋β），但卻得到cos（α-β）.你們還有什么想法？

生：在sin β=cos αsin（α＋β）-sin αcos（α＋β）中，令γ=α＋β，則β=γ-α，所以sin（γ-α）=sin γ·cos α-cos γsin α.

師：你們研究兩個銳角和與差的正弦、余弦公式，還想研究哪一個三角公式呢？

生：我想利用同角正弦、余弦的商數關系研究α±β的正切公式，如sin（α＋β）cos（α＋β）=sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β-sin αsin β，右邊分子分母同時除以cos αcos β，于是兩邊都化為正切形式，tan（α＋β）=tan α＋tan β1-tan αtan β，同樣可得tan（α-β）=tan α-tan β1＋tan αtan β.

師：這位同學靈活運用同角三角函數關系推導了兩角和差三角函數的六組公式.

【設計意圖】利用已有的基本知識、基本技能、基本方法和基本活動經驗深度探究三角公式之間的內在聯系，教會學生學會思考.

環節四：公式演變.

師：如果將上述公式中α與β特殊化，你們嘗試一下，又能得到哪些公式呢？

生1：若令α=β，則sin 2α=2sin αcos α，cos 2α=cos2α-sin2α，tan 2α=2tan α1-tan2α.

生2：由sin2α＋cos2α=1，可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

師：這組公式就是二倍角公式，你們還有什么想法嗎？

生1：cos 3α=cos（2α＋α）=cos 2αcos α-sin 2αsin α=4cos3α-3cos α.

生2：sin 3α=sin（2α＋α）=sin 2αcos α＋cos 2α

·sin α=3sin α-4sin3α.

師：你們利用兩角和公式和二倍角公式證明了三倍角正弦和余弦公式.你們能解決下面這個問題嗎？

是否存在整系數方程：ax3＋bx2＋cx＋d=0（a≠0）使得cos 20°是其一個解？

生：由于60°=3×20°，于是想到cos 3α的公式，因此cos 60°=cos（3×20°）=4cos320°-3cos 20°，所以12=4cos320°-3cos 20°，即8cos320°-6cos 20°-1=0，所以cos 20°是方程8x3-6x-1=0的一個解，所以a=8，b=0，c=-6，d=-1.

【設計意圖】從一般到特殊探索新的數學公式，讓學生嘗試利用新知創造性地解決問題，自己探索路徑，尋找突破口.

2 教學啟示

數學公式是數學的重要組成部分，往往揭示了數學對象之間的內在聯系或規律.學習數學就必然要學習數學公式，因而數學公式就成為數學教學的極為重要的內容.

2.1 讓學生感悟新知識產生的必要性

數學概念、公式、定理、方法等是由于解決問題的需要自然而然產生的，其中包括生活實際的需要和數學內部的需要.例如，兩角和（差）公式是由于求解75°，15°等三角函數值時，已有的公式不能解決了，才自然需要探究新的公式.請學生提出解決問題的方案，他們會自然提出探究求解sin 75°，cos 75°的“想法”，經過實際操作，由“想法”到“解法”再到“方法”，這些方法不是教師直接告訴，而是由師生共同探究求解思路，自然產生新知識.因此教學中需要教師根據學生已有的基本活動經驗創設啟發性的問題情境，是學生經歷必要的疑難和困惑而形成問題的過程，來感悟新學習內容“從無到有”產生的現實需要和數學發展的需要.學生體會到已有的數學公式、思想方法已經不夠用了，才需要自然探究新公式、新定理和新數學思想方法，以此產生內在的學習需求，認識到新的數學知識生長是十分必要的、非常自然的、合乎情理的.這樣，才能使鮮活的數學定理、公式、法則和數學思想方法等自然而然地流淌出來.這里的“自然”包括情境創設、課題引入、知識生長、思想方法等.

2.2 創造性地運用教材把握數學本質

數學教材是數學教學的基本素材，是數學活動的重要載體和資源.教師需要提升對教材的認識力、思考力、判斷力和鑒賞力，可在理解和把握數學教材的基礎上，圍繞教學目標和學情，把握數學內容的本質，創造性地運用教材.例如，初中數學教材的“銳角三角函數”一節的旁白“思考：如何計算sin 75°，cos 75°”，不少教師在教學時忽視這一重要的素材，沒有引導學生深度思考，特別對于拔尖創新人才培養而言，失去最佳探究機會，這也是本節課的教學目的.在初中數學教材的“二元一次方程組”一節中，教師僅僅停留在解法及變式訓練的表層認識上，忽視對二元一次方程與一次函數對應關系的研究.如果我們深度探究其幾何意義，那么在求解二元二次方程組時，就水到渠成地引入圓的概念以及直線與圓的位置關系的初步認識，這樣設計教學對于創新人才的培養大有裨益.