研發微專題課例，引導學生關注“等周問題”

摘 要：“等周問題”是經典數學問題，有些地區的中考把關題也常常出現“等周問題”的影子.以“等周問題”為背景，研發微專題拓展課程，在做好必要鋪墊問題的啟發、暗示之后，出示有挑戰的“等周問題”，引導資優學生關注和理解一些簡單的“等周問題”，有利于學生開拓視野，激發他們進入高中之后借助更多數學工具深入研究“等周問題”的學習興趣.

關鍵詞：等周問題；微專題教學；經典問題；鋪墊問題

孫志東老師曾對一道中考試題進行了深度研究，在給出一題多解之后，還揭示出該考題的深層結構“等周問題”中的一個簡單情形.［1］由此，筆者想到蔡宗熹先生的著作《等周問題》［2］，該書對“等周問題”給出一系列詳細的解析與拓展，其中有些特例問題可作為初中階段拓展課程的素材，“走向一般”的系列“等周問題”又是高中階段的拓展課程內容.基于以上理解，筆者在近期給九年級資優生開設拓展課程時，以“等周問題”為背景，研發出一節專題拓展課.開課之后，取得較好的教學效果，本文梳理該課教學設計，旨在為教學研究提供參考.

1 “等周問題”微專題教學設計

教學環節1：基礎熱身，解決“鋪墊問題”.

問題1 如圖1所示，在△ABC中，AB＝AC.

（1）求證：∠B＝∠C.

（2）過點A作AM∥BC，在AM上找一點A′（點A′不與點A重合），連接A′B，A′C（如圖2），判斷△A′BC與△ABC周長的大小.

教學預設：第（1）問是“等邊對等角”性質定理的復習.第（2）問可先讓學生獨立思考，如果有困難，可提示從軸對稱的角度進行轉化.如圖3所示，作點C關于直線AM的對稱點C′，連接C′A′，C′C，BC′，可證出A在BC′上.于是A′C′＋A′Bgt;BC′＝AC′＋AB＝AB＋AC，即△A′BC的周長大于△ABC的周長.通過第（2）問的求解和教師的引導，學生歸納出一個重要結論：面積與一邊長給定的三角形（△ABC與△A′BC的面積相等，有一條公共邊），另外兩邊相等時該三角形周長最小.

教學環節2：變式改編，探究“一題多解”.

問題2 如圖4所示，正方形ABCD內接于⊙O，線段EF在對角線AC上運動，若⊙O的面積為2π，EF＝1，求△DEF周長的最小值.

思路1：如圖5所示，連接BD，過點D作⊙O的切線DM，作點E關于直線DM的對稱點E′，連接E′F，DE′，可以發現DE＋DF＝DE′＋DF≥E′F，適當平移E′F，使E′F經過點D時（如圖6），就取得了DE＋DF的最小值3（直角三角形E′FE，運用勾股定理計算可得），相應的△DEF周長最小值為4.

思路2（可以看作是“思路1”的改進與簡化）：如圖7所示，過點B作BG⊥BD，截取BG＝EF＝1，連接GD交AC于點E，則點E的位置得到確定（相應的點F的位置也確定），此時在直角三角形BDG中，運用勾股定理計算出DG的長，即DE＋DF的最小值3，相應的△DEF周長最小值為4.

思路3：分離出圖8，設OF＝x，OE＝1－x，分別用含x的式子表示DE＋DF＝（1－x）2＋2＋x2＋2，改寫一下DE＋DF＝（x-1）2+（2-0）2+（x-0）2+（2-0）2，從“形”的角度看，構造圖9進行分析，在平面直角坐標系中，點P（1，0），點Q在直線y＝2上，求OQ＋PQ的最小值，結合軸對稱性質（有人稱其為“將軍飲馬”模型），可得點Q坐標12，2.此時，求得OQ＋PQ的最小值為PO′的長3，即DE＋DF的最小值為3.

教學環節3：拓展思考，挑戰“等周問題”.

問題3 求證：周長與一條邊長給定的三角形，當另外兩條邊長相等時，面積最大.

教學預設：可以回到問題1的圖形，在圖3的基礎上，得A′B＋A′C＞AB＋AC.

如圖10所示，設點D在線段A′C上（點D不與端點A′，C重合），連接BD，BD＋CD＝AB＋AC時，明顯△BCD的面積小于△A′BC面積，同時小于△ABC面積.反過來，也直觀說明周長以及一條邊長給定的三角形（△BCD與△ABC周長相等，且有一條公共邊BC），當另外兩條邊長相等（AB＝AC）時面積最大.

以下再預設一種“算”的證明思路.設該三角形的周長為2p（p為常數），一條邊長為a（a為常數）.則另外兩邊長分別為x，2p－a－x.根據海倫公式，三角形面積S＝p（p－a）（p－x）（x＋a－p），只要考慮根號內含變量x的式子（p－x）（x＋a－p），運用二次函數配方法，可得當x＝2p－a2時，式子取得最大值，相應的三角形面積S取得最大值.此時三角形另外兩邊都為2p－a2，即等腰三角形時，三角形面積S取得最大值.上面所運用三角形的面積公式（海倫公式），也可解決“在周長給定的三角形中，等邊三角形的面積最大”這一命題，由于推理演算過程中需要使用高中“三元均值不等式”，這里不作拓展.

教學環節4：課堂小結，布置同類作業.

小結問題1：本課從等腰三角形出發，從不同角度研究了一些較難問題，你對哪道較難問題印象較深？舉例說說.

小結問題2：本課中探究的三角形問題都有一條給定的邊長，先是給出三角形面積一定時求周長的最小值，接著逆向思考三角形周長一定時，求面積的最大值.你覺得兩類問題之間有怎樣的聯系，又有什么不同嗎？

2 關于微專題課例研發的初步思考

2.1 微專題課例要優選“經典問題”

近年來，微專題教學得到一些教師的關注和實踐.其中不少微專題主要關注的是中考熱點題型或解題策略.筆者以為，微專題課例的研發，應該更加關注“經典問題”以及“好的問題”，這些問題常常具有“簡單而高深”的特點，也能體現“數學的美”.中國科學院席南華院士關于“數學的美”就曾指出，數學的美，從形式上看有“清晰，簡潔，簡單，原創，新穎，優美”等特點；從內涵上看有“深刻，重要，基本，蘊意豐富”等特點.［3］上文關注的“等周問題”就屬于“經典問題”和“好的問題”，無論從形式上還是從內涵上都體現著數學的美.

2.2 微專題教學要預設“鋪墊問題”

微專題教學一般都聚焦主線，由易到難，漸次展開.在課堂前半段要重視基礎問題的回顧與復習，不要急于出示較難題或有挑戰的問題.對一些基礎問題進行初步變式或改編之后，也要留足學生思考和探究的時間，這些問題還應重視“一題多解”的課堂交流與展示，一方面是帶領學生從不同角度解決問題，另一方面是“等待”更多學生理解“鋪墊問題”的解法思路與深層結構，為后續較難題的攻克提供必要的解法暗示.在上文課例中，在出示“等周問題”之前，安排的問題1、問題2，都可以看成是為學生后續攻克“等周問題”提供的鋪墊問題，從課堂教學效果來看，不少學生能從前面的問題中獲得必要的思路暗示，從而順利獲得思路.

參考文獻

［1］孫志東.一道中考試題的解法探究與推廣［J］.數學教學，2023（7）：33-34+50.

［2］蔡宗熹.等周問題［M］.北京：人民教育出版社，1964.

［3］席南華.數學簡單與高深［M］.北京：科學出版社，2024.