以期貨作為標的資產的期權定價表達式推導

摘要：本文設計了一個兩層交易結構，以期貨為標的資產的期權交易。通過刻畫支付函數，在風險中性條件下，本文給出了兩層交易結構下的期權定價表達式，并且在兩層交易結構下發現了新的看漲看跌期權平價表達式，同時將上述情況推導的表達式推廣到一般情況，并在一般情況下同樣給出了平價關系方程，以上三點是本文的增量貢獻。

關鍵詞：期權；期貨；交易結構；運動方程

DOI：10.12433/zgkjtz.20241519

一、背景介紹

在經典金融學或金融工程中，自1976年布萊克和斯科爾斯推導出期權定價公式之后，很多定價表達式在過去幾十年衍生出來，如1976年Merton在金融文獻中首次提出當基礎資產的運動方程除漂移項和擾動項（類似布朗運動）外，再加入沖擊項（遵從泊松分布）的情況下，可以給出看漲期權的定價公式，即Merton跳躍—擴散模型；1993年Heston模型從一系列隨機波動模型脫穎而出，該模型假定資產的波動過程非負，符合市場可觀察數據具有的均值回復特性，模型同時設定了擾動項系數具有波動方程，其波動方程的擾動項與前述基礎資產運動方程中的擾動項之間存在相關系數，該模型可以給出期權的顯式解，為奇異期權提供了一個一致的定價框架。

近年來期權定價模型通常是基礎資產的運動方程具有帶跳（Jump）性質或假設運動方程中的參數具有不確定性（Samuel and Martin， 2017），然后在此基礎上研究期權定價模型。以上期權定價都是以假設不同的基礎資產運動方程為前提的推導，只是運動方程的數學復雜性或特點各不相同，但交易結構往往是直接在基礎資產上嫁接期權，只有一層交易結構。

本文設計了一個兩層的交易結構，期權以期貨為標的，期貨以基礎實物或金融資產為標的。下面將闡述基本交易結構，然后在風險中性條件下，推導出四種情況下的定價表達式，并通過觀察定價表達式尋找它們之間的平價關系，最后推廣到一般情況。

二、交易結構介紹

如圖1所示，設定t0為期權合同簽訂初始時點；t1為期權合同到期時點，KO為執行價格，亦即期貨合同購買價格；t2為期貨合同到期時點，Kf為對應的標的基礎資產交割價格；設定t0至t2整個時間段的無風險利率為r。

仍然假設基礎資產的運動方程為帶有漂移項和擾動項的經典表達式，即，其中擾動項為符合布朗運動的獨立增量過程。運用伊藤引理，可知（（楊真好、代維，2023）。此處需要強調的是，在推導經典的Black-Scholes期權定價公式時，其對應的偏微分方程是通過構造投資組合與支付函數之間的等價關系而得到的，Black—Scholes定價公式正是通過求解對應偏微分方程而得到，而就偏微分的形式看，可知前述設定的運動方程的漂移項系數中的μ在構造偏微分方程中被銷去，從而經典期權定價公式與μ無關；本文的支付函數可以寫為類似等類似形式，構造的對應偏微分方程與經典Black-Scholes模型是相同的，只是邊界條件變為（對應下述第一種情況，后面三種情形的邊界條件類似，不再贅述），文中運動方程的漂移項系數μ仍然因為可以約去而不在定價表達式中出現，所以仍然設定μ=r，從而資產的運動方程變為，可以免去后續求解時需要測度變換，后面的四個定價公式和定價公式的一般化形式均采用此處理方式。

二、定價表達式推導

（一）嫁接在期貨合同買方的看漲期權定價表達式推導

首先，容易知道支付函數在t1時點的期望值大于等于期貨執行價格Ko。

即，推導出。需要說明的是上述推導中使用exp（-rt）作為對應時間段的折現系數，因為對應單位時間的無風險利率有，含義為設定某時間段的無風險利率為r，當此期間無限細分時，其理論利率為exp（r），則對應時間段t的無風險折現系數可以表達為，e-rt后面三個推導亦沿用類似處理。根據風險中性定義，看漲期權的價值應為支付函數在時點折現值的期望值，即：

從該表達式可看出，該交易結構中期貨變為現貨，即Kf=0，且d（t1，t2）=0時，表達式退化為經典Black-Scholes看漲期權定價公式。

（二）嫁接在期貨合同賣方的看漲期權定價表達式推導

類似于前面敘述，這里直接給出嫁接在期貨合同賣方的看漲期權定價表達式：

（三）嫁接在期貨合同買方的看跌期權定價表達式推導

類似前述，直接給出如下表達式：

（四）嫁接在期貨合同賣方的看跌期權定價表達式推導

類似前面推導，直接給出下面的定價表達式：

在以上推導中，在不引起混淆情況下，我們交替使用σ和σ（t）。隱含假設期權為歐式期權，即到期方可執行。

（五）看漲看跌期權平價公式評論

當交易為一層結構，交易標的為現貨時，存在看漲看跌期權平價等式S+P=C+PV（k）。根據推導，可看出隨著交易結構層級增加，定價公式變得更為復雜；基于上述推導出的期權定價公式，仍然可以發現較為簡潔的二層交易結構下看漲看跌期權平價表達式，即和，其中PV（Kf）和PV（Ko）分別表示期貨交易執行時點t2的交易對價（交割價格）Kf對初始時點t0在無風險利率條件下的折現值和歐式期權執行時點t1的執行價格Ko對初始時點t0的無風險利率折現值。

三、期權定價公式的一般化

上述推導中期貨只有一次交割，若期貨的標的資產到期交割之前有N次權利的交易，即期貨的買權或賣權換手共有N次，比照上述推導，嘗試得到N次交易情況下的定價公式。

為方便推導演繹，首先進行符號的重新定義：設定前述期權執行價格為K0，后續的（N-1）次中的第i次期貨買權或賣權換手價格為Ki，第N次為期貨到期交割，交割價格為KN；時間軸重新刻畫如下：

其中tinitial為初始時點，t0為期權執行時點，ti（i=1，2，...N-1）為以期貨合同買方或賣方權利為標的的交割時點，tN為期貨底層基礎資產交割時點。

類似前述表述：對于只有一次交割的期貨期權，tN：=t1，即t1時點期貨到期交割，交割價格為K1，嫁接在期貨上的期權執行價格為K0，則若將此情形擴展到中間經歷N次換手，則有，縮略表達為，即；從而該情況下的看漲期權價值（表示為CN1）仍為支付函數的折現值，即：

類似上述演繹推導，我們可以得到另外三種情況下的期權定價表達式。并且，通過觀察四種推廣情況下的期權定價表達式，發現它們之間的平價關系表達為：和，其中PV（ ）表示期貨（期權）交割（執行）時點對初始時點的折現。

四、評論

雖然在假設基礎資產運動方程不同形式的條件下，過去幾十年衍生出很多種不同的期權定價表達式，但嫁接在期貨合同上的期權定價表達式推導是本文的增量貢獻，還在兩層交易結構下探討了看漲看跌權平價公式的存在性，給出了新的平價表達式，并推廣到一般情形，同時推導出一般情形下的平價表達式。本文中的基礎資產亦可被置換為衍生金融工具，乃至跨期工具，前提是可以寫出它們的支付函數表達式，所以兩層交易結構可以衍生成多層交易結構，甚至跨期多層交易結構?；A資產的運動方程越復雜，用到的數學工具越復雜，則期權定價表達式越復雜，可以作為今后的研究方向。

本文不足之處是設計的交易結構較為復雜，實操中不容易為普通投資者接受；作為純規范分析，沒有從實證角度給出數據驗證，這依賴于投資者教育和金融市場的逐步發展，在獲得實際交易數據后方可使前述定價表達式得到驗證，同時定價表達式的成立也嚴格依賴于市場的有效性。

參考文獻：

[1]Yang Zhenhao amp; DAI Wei， European Barrier Range Accrual Option Pricing Formula Deduction and the Corresponding American Range Option Numerical Value Simulation， Journal of Mathematics Research; Vol. 15， No. 3; Canadian Center of Science and Education， June 2023.

[2]Jonathan E. Ingersoll， Jr.， Theory of Financial Decision Making[M]，中國人民大學出版社， 1986.

[3]Robert L.Kosowski and Salih N.Neftci， Principles of Financial Egineering[M]，Academic Press，2004.

[4]David Romer，Advanced Macroeconomics（高級宏觀經濟學）（第二版）[M]，上海財經大學出版社、麥格勞-希爾教育出版集團，2001.11

[5] Samuel N.Cohen， David Siska， et al. Frontiers in Stochastic Analysis-BSDEs， SPDEs and their Applications[M]， ，Selected， Revised and Extended Contributions， Springer Proceedings in Mathematics amp; Statistics ，Edinburgh， July 2017.

[6] Vivek S.Borkar， Probability Theory An ADVANCED COURSE[M]， Springer（1991）.

[7] Samuel N.Cohen and Martin Tegner， European Option Pricing with Stochastic Volatility Models Under Parameter Uncertainty， Frontiers in Stochastic Analysis-BSDEs， SPDEs and their applications[M]， Edinburgh， Selected， Revised and Extended Contributions， Springer， July 2017.

作者簡介：代維（1980），男，湖北省荊門市人，碩士，會計師，研究方向為資產定價、或有權益定價。