遇等腰勿忘分類討論

分類討論思想是解題的一種常用思想方法，它有利于培養(yǎng)和發(fā)展同學們思維的條理性和縝密性，在解有關等腰三角形的問題時經常用到分類討論思想，下面舉例說明.

一、腰和底不確定需分類討論

例1 若m，n滿足|4-m|+（n-6）2=0，則以m，n為兩邊長的等腰三角形的周長為______。

解：∵ |4-m|≥0，（n-6）2≥0，|4-m|+（n-6）2=0，

∴ |4-m|=0，（n-6）2=0.

∴ n=4．n=6.

∵ m，n是等腰三角形的兩邊長，

∴ m可能是等腰三角形的腰長，也可能是底邊長．

（1）當m是腰長時，等腰三角形的三邊長分別是4，4，6，則周長是4+4+6=14.

（2）當m是底邊長時，等腰三角形的三邊長分別是4，6，6，則周長是4+6+6=16.

綜上可知，等腰三角形的周長是14或16.

二、底角和頂角不確定需分類討論

例2 若等腰三角形的一個內角為80°，則另外兩個角的度數是______．

解：80°的內角可能是頂角，也可能是底角，所以需分類討論．

（1）當80°的角是頂角時，兩底角分別是50°，50°．

（2）當80°的角是底角時，另外一個底角是80°，頂角是20°．

綜上可知，另外兩個角的度數是50°和50°，或20°和80°．

三、高的位置不確定需分類討論

例3 已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個等腰三角形的頂角是（ ）．

A．30° B．60°

C．150° D．30°或150°

解：（1）當該三角形是銳角三角形時，依題意作圖如圖1，AB=AC，BD⊥AC于D，∠ABD=60°．

∵ BD⊥AC．

∴ ∠BDA=90°.

∵ ∠ABD=60°．

∴ ∠A =30°.

（2）當該三角形是鈍角三角形時，依題意作圖如圖2，AB=AC，BD⊥AC于0，∠ABD=60°.

∵ BD⊥AC于D．

∴ ∠BDA =90°，

∵ ∠A BD=60°．

∴ ∠BAD=30°，∠BAC=150°，

綜上可知，這個等腰三角形的頂角是30°或1500.選D．

四、由腰上的中線引出的分類討論

例4 在等腰△ABC中，AB=AC中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為______．

解：依題意畫出圖形如圖3．設A D=CD=x．則AB=AC=2x.設BC=y.

（1）當AB +AD=15，BC+CD=12時，即2x+x=15，y+x=12.解得x=5，y=7.

（2）當AB+AD =12，BC+CD=15時，即2x+x=12，y+x=15.解得x=4，y=11.

綜上可知，這個等腰三角形的底邊長為7或11.

五、由垂直平分線引出的分類討論

例5 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則∠B的度數為______．

解：（1）當△ABC為銳角三角形時，如圖4．

∵ AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，

∴ ∠A =40°，

∴ ∠B=∠C=70°.

（2）當△ABC為鈍角三角形時，如圖5．

∵ AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°．

∴ ∠BAD=40°，∠BAC=140°．

∵ AB＝4C．

∴ ∠B=∠C=20°.

綜上可知，∠B為70°或20°.

試金石

1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為______.

2．已知等腰三角形的兩角之差是30°．求這個等腰三角形的頂角的度數．

3．已知等腰三角形的周長是29，且其一邊的長為7．求這個等腰三角形的腰長．

4．△ABC中，AB=AC，CD是AB邊上的高，且△ADC為等腰三角形，求∠BCD的度數．

5．等腰三角形的一個外角等于100°，則這個等腰三角形的頂角為多少度？

參考答案

1. 60°或120°

2. 40°或80°.

3. 11.

4. 22.5°或67.5°.

5. 80°或20°．