發展模型觀念 提高數學素養

方程是代數學的核心內容，是初中階段最重要、最基本的數學概念之一．簡而言之．方程是含有未知數的等式，它既是連接數學與現實的有效途徑，也是發展代數思維的重要工具，人類對于方程的研究推動了整個代數學的發展．

一元一次方程是最簡單的代數方程，是繼有理數和代數式之后“數與代數”領域的重要內容，也是所有代數方程的基礎．

在學習“一元一次方程”的過程中，我們不僅要經歷“將實際問題抽象為方程”的數學化過程，感受方程是刻畫現實世界中等量關系的有效模型，還要根據具體情境理解方程及其相關概念，進一步感悟方程的核心——模型思想和化歸方法，發展模型觀念，在解決現實問題中不斷提高數學核心素養．

《算法統宗》是中國古代數學名著，下面是其中記載的關于“盈不足”的問題：

隔墻聽得客分銀，不知人數不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．人數銀兩各幾何？

其大意為：有一群人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則還差8兩．有多少人分銀子？所分的銀子共有多少兩？（注：舊時1斤等于16兩）

這是一個以財產分配為背景的實際生活問題，雖然涉及兩種不同的分配方案，但銀子總數是相同的，解決問題的關鍵在于先準確找出題中的等量關系，再建立一元一次方程．

第一步，抽象階段，分析問題，發現問題中涉及的已知量、未知量以及量與量之間的關系，用自然語言表達，將現實問題抽象為數學問題．

問題情境中的等量關系為：

每人分7兩銀子時，銀子總數量還剩4兩；每人分9兩銀子時，銀子總數量還差8兩．

用自然語言表達等量關系如下：

7兩銀子與人數之積，再加4兩銀子，是銀子總數量；9兩銀子與人數之積再減8兩銀子，是銀子總數量．

第二步，表達階段，探尋普適規律，提煉共同要素，根據已知條件，選取恰當的符號語言表達等量關系．

用人表示人數，用銀表示銀子總數量，用符號語言表達等量關系如下：

7×人+4=銀，9×人-8=銀．

第三步，建模階段．建立模型，用含有未知數的等式表達等量關系，形成刻畫等量關系的方程．

設總人數為x，每人分7兩銀子時，剩余4兩，銀子總數量可表示為（7x+4）兩；每人分9兩銀子時，還差8兩，銀子總數量可表示為（9x-8）兩．于是可得7x+4=9x-8.

第四步，解方程階段．解方程就是一項尋找未知數的值的任務，其核心方法是運用“化繁為簡，化生為熟”的化歸策略．

對于7x+4=9x-8，移項，得7x-9x=-8-4，合并同類項，得-2x=-12，系數化為1，得x=6.

則銀子總數量為7x+4=42+4=46（兩）．

故有6人分銀子，所分的銀子共有46兩．

對初中數學來說，方程學習的核心，一方面在于建模，另一方面在于解方程．通過上面的實例，我們感悟到了方程模型“三個階段兩次抽象”的建構過程：第一次抽象是“將現實問題抽象為數學問題”，即從“發現問題情境中的等量關系”到“用自然語言表達等量關系”：第二次抽象是“將數學問題抽象為數學表達”，即從“用自然語言表達等量關系”到“用含有未知數的等式表達等量關系”，進而形成一元一次方程．

數學源于生活實踐，又廣泛應用于現實生活，在一元一次方程的實際應用中，要注重相關基礎知識的運用，這是解題的關鍵．

例 《九章算術》是中國古代的一部數學專著，其中“均輸”章記載了一個有趣的數學問題：

今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今鳧雁俱起，問何日相逢．

其大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海，現野鴨從南海，大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經過多少天相遇．

解析：8由題意知，鳧1日飛整段路程的1／7，雁1日飛整段路程的1／9，設經過x天相遇，根據題意可得：

（1／7+1／9）x＝1．

去括號，得1／7x+1／9x＝1，

移項及合并同類項，得16／53x=1．

系數化為1，得x=63／16．

答：經過63／16天相遇，

試一試

（2024年宜賓）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之，”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬．則快馬追上慢馬的天數是（ ）．

A.5 B．10

C．15 D.20

參考答案：D