籌算：小棍上的中國古代數學智慧

今天使用的阿拉伯數字其實是印度人的發明，但在印度人這一發明之前，中國就發展出了一套實用、完善的記數系統——算籌記數法。算籌是中國古代常用的計算工具，也叫算、籌、策、籌策、算子等。用算籌來記數和計算以及相應的方法，稱為籌算。籌算是中國古代數學的特色。

中國科學院自然科學史研究所研究員鄒大海認為，相比于其他地區的古代數學，中國古代數學以計算和算法見長，其主要原因之一就是普遍采用籌算，不僅產生了先進的記數法，而且有一套表示未知量和代數式的方法，它以獨特的方式實現了代數符號的功能。

十進位值制記數法最早出現在中國

進制是數學的基本概念之一，其含義是“累計若干個基本單位即形成下一個單位”。人們比較熟悉的進制包括最常見的十進制、用于時間和角度計量的六十進制、計算機領域常見的二進制和十六進制等。

進制的基礎上發展出了位值制觀念，即數字所在的位置可以表示該數字單位對應的倍數。例如在阿拉伯數字5234當中，5所在的位置是“千”位，表示5個千，而2、3、4在“百”“十”“個”位，分別表示 2個百、3個十、4個一。許多記數系統沒有位值制觀念，例如古埃及數字由于沒有位值制觀念，顯得非常繁瑣。

現代通行的十進位值制記數法最早起源于中國。中國漢字的數字記法就是十進制系統。一既是基本數字，也是數字單位，此外常見的數字單位有十、百、千、萬、億、兆、京等。

例如“一兆八千五百三十億二千一十八萬八千八百五十一”這個數，只要把空著的數位用〇代替，將兆、億、萬、千、百、十等數字單位撤去，就變成“一八五三〇二〇一八八八五一”，這與現代的“1853020188851”一一對應。可見，中國文字記數法是相當先進的，可以很容易跟通行的阿拉伯數字表示法進行轉化。但是，中國文字表示法只是準十進位值制，尚不完善。真正采用十進位值制的是算籌記數法。公元14世紀以前，算籌曾是廣泛使用的計算工具，之后就逐漸被算盤所取代。

算籌的形象類似筷子，源于遠古時期人們用長條形小棍計數的習慣。用算籌表示一至九有縱、橫兩種形式。

《夏侯陽算經》說：“滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張。”意思是：對于一到五，是幾就用幾根算籌表示；對于六到九，則將其中所含的五用一根算籌放在上面表示，余下幾就用幾根算籌與之垂直放在下面就可以了。比如╥表示七，其中上面一根表示五，下面兩根表示二。

對于多位數，《孫子算經》記有其算籌表示法：“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”古人在個位擺縱式，十位擺橫式，百位又用縱式，千位又用橫式，如此縱橫交錯進行。鄒大海強調，本來只用兩式的一種就夠了，但縱橫交錯的方法更為清晰，也不容易弄亂。算籌記數法大約產生于西周、春秋之際，也可能更早。在出土的先秦陶片和貨幣上可以看到這種記數法的痕跡。

籌算具有強大的記數和運算功能

籌算加減法比較簡單，古人沒有記載。對于復雜的乘除法，古人將算籌擺成三行，中行為乘積或被除數，下行為乘數或除數，上行為被乘數或商。利用九九口訣與算籌記數法相配合，就可以得出結果。這個過程在本質上與現代的豎式乘除法很接近。

籌算還可以求解線性方程組，在公元前1世紀成書的《九章算術》中，有一種稱為“方程”的方法，其表達方式和運算方法都跟現代的增廣矩陣很相似，而求解線性方程組的增廣矩陣方法在歐洲是18、19世紀之交才出現的。在籌算的方程中，不同位置具有指示不同未知量和常數項的作用，相當于現代的分離系數法。正是方程導致了正負數概念的產生，古代一般用黑色和紅色的算籌分別表示負數和正數。

《九章算術》也用籌算來開平方、開立方，還用來求一元二次方程的解。這種方法不斷發展，到宋代已形成了一套求一元高次方程數值解的方法。宋元時代還發展出列方程的普遍方法，先是出現了針對一個未知量求解的天元術，后來發展到最多可達四個未知量的高次方程組的列法與解法——四元術，用天、地、人、物指示未知量。這種方法所列出的算式中除算籌和個別漢字“太”或“元”外，不使用符號，而是通過位置來體現未知量及其冪，實現了代數符號的功能，這在某些方面甚至比現代的符號方法更具優勢。

中國古代以文字和籌算配合，使得數學工作得以開展并傳承。籌算以其強大的記數、符號和運算功能，在中國古代數學的發展過程中發揮了重大的作用。

后來隨著商業的發展，籌算捷法和相應的口訣發展起來，之后籌算被珠算取代。珠算通過沿用、改良籌算的口訣和方法，在商業、會計和日常生活中發揮著巨大的作用。

但籌算也有其局限性。鄒大海指出，籌算的缺點之一是無法保留演算的過程，中間操作有誤就難以追溯。二是算籌使用起來比較占地方。三是較難實現超過四元的列式和運算。

籌算影響中國傳統文化

明代天元術、四元術等失傳，籌算被珠算、筆算取代，但其方法和思想仍在數學發展中發揮作用，甚至已滲透到中國思想文化的方方面面。

籌算的重要意義在于制訂和利用一系列規則和方法。籌算靠的主要是智力，并特別講究精準，所以在中國傳統文化中很多反映智力活動的用語都與籌算有關。比如謀劃叫“運籌”“籌劃”，用“運籌帷幄，決勝千里”表示指揮官在后方謀劃得好讓前線取得勝利。又如考慮得周全叫“算無遺策”“胸有成算”，而謀劃失誤則叫“失算”“失策”。其他如人們常說的“算計”“暗算”“盤算”“算命”“勝算”等詞匯，皆源自古代的籌算思維。

（源自《科技日報》）

責編：潘茜