“一元二次方程”考點例析

從近幾年全國各地的中考題可以看出，有關一元二次方程的知識是中考的必考點，主要考點為一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、一元二次方程的根與系數的關系、一元二次方程與二次函數的綜合應用、一元二次方程的實際應用．下面舉例分析.

一、一元二次方程的解法

例1 方程x2+4x+3=0的兩個根為（ ）．

A.x1=1，x2=3 B.x1=-1，x2=3

C.x1=1，x2=-3 D.x1=-1，x2=-3

解析：利用因式分解法將方程轉化為（x+1）（x+3）=0，則該方程的根為x1=-1，x2=-3.選D．

點撥：用因式分解法解一元二次方程的步驟是：（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根，若解一元二次方程時發現配方法、因式分解法不適用，則選用公式法．

二、一元二次方程的根的判別式

例2 已知方程x2-2根號下3x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是____．

解析：根據該一元二次方程有兩個不相等的實數根可知△=（-2根號下3）2-4mgt;0，解得m＜3.

點撥：當一元二次方程有兩個不相等的實數根時，△gt;0;當一元二次方程有兩個相等的實數根時，△=0;當一元二次方程沒有實數根時，△＜0.反之亦成立．

三、一元二次方程的根與系數的關系

例3 若一元二次方程x2-4x+3=0的兩個根是x1，x2，則x1x2的值是____.

解析：依據一元二次方程根與系數的關系知x1x2=3.

點撥：解此類試題時，需要先將一元二次方程轉化為一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），在方程有根（即△≥0）的情況下，再利用x1+x2=-b/a，x1x2=c/a來求解．

四、一元二次方程的實際應用

例4 某網絡學習平臺2022年注冊用戶數為100萬，2024年注冊用戶數為169萬．設注冊用戶數的年平均增長率為x，則x=_____．

解析：2022年注冊用戶數為100萬，則2023年注冊用戶數比2022年增長了100x萬，到2023年底注冊用戶數達到了100+1000x =100（1+x）萬.2024年注冊用戶數比2023年增長了100x（1+x）萬，則2024年底注冊用戶數達到了100 （1+x） +100x（1+x）=100（1+x）2萬，即100（1+x）2=169，運用直接開平方法求解，得到x1=-2.3（不合題意，舍去），x2=0.3=30%.

點撥：對于這種增長率的應用題，我們可以建立模型，設基礎量為a，平均增長率為x，則增長一次后的量為a+ax=a（1+x）；以a（1+x）為基礎量，再增長一次后的量為a（1+x）+a（1+x）·x=a（1+x）2．這樣我們就可以根據等量關系建立一元二次方程，從而解決問題．