思想導航 思路明朗

數學思想是數學的精髓．在解題時，用數學思想導航，思路自然明朗，下面舉例說明如何運用數學思想，尋找有關一元二次方程的問題的解答思路．

一、整體思想

例1 已知a，b是方程x2+3x -5 =0的兩根，則a2+4a+b-4=____．

解析：分析已知條件和求值式的特征，可以將a2+4a+b-4變形為a2+3a+a+b-4.

由一元二次方程根的定義得到a2+3a=5，由根與系數的關系得到a+b=-3，然后整體代入變形后的式子計算即可得到結果為-2.

點評：本題也可通過解方程求出o和b的值（含有二次根式），再代入a2+4a+b-4求值，但這樣做不僅較復雜，而且需要分類求解，這里運用整體思想，迅速得到答案．

二、分類思想

例2 若x1，x2是方程x2-2x-3 =0的兩個實數根，則x1·x2的值為（ ）．

A．3或-9 B．-3或9

C．3或-6 D．-3或6

解析：解方程x2-2x-3 =0，得x=3或x=-1．

當x1=3，x2=-1時，x1·x22=3.

當x1=-1，x1=3時，x1·x22=-9.選A．

點評：本題考查用因式分解法解一元二次方程和分類思想的應用，在寫方程的根時，需要有分類意識．不能只寫成x1=3，x2=-1，否則x1·x22的值就只有一個了.

三、轉化思想

例3 已知w=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x，y為實數），則w的最小值為______．

解析：視w和y為常數，可將原等式轉化為一個關于x的一元二次方程．由于x為實數，所以利用根的判別式為非負數得到不等式，借助于配方即可得到答案.

由題意得5x2+（8-4y）x+y2-2y+3-w=0.

由x為實數可得△=（8-4y）2-20（y2-2y+3-w）≥0，即5w≥（y+3）2-10≥-10．

∴w≥-2．即w的最小值為-2.

點評：本題是求含多字母的代數式的最值問題，一般運用配方法及偶次冪的非負性來解決，但需經過多次拆項配方才能得到結果，過程比較復雜，這里用轉化思想導航，將原等式轉化為一元二次方程，利用根的判別式為非負數得到不等式，從而求得最值．由于減少了一個字母，所以再利用配方法及偶次冪的非負性來確定最值就容易多了．

四、模型思想

例4 若實數a，b分別滿足a2-3a+2=0，b2-3b+2=0，且a≠b，則1/a+1/b的值為____．

解析：從已知條件看，a2-3a+2=0與b2-3b+2=0的結構完全相同，用模型思想導航，a，b可看作方程x2-3x+2=0的兩個不相等的實數根，運用根與系數的關系即可迅速得到答案為3/2．

點評：本題也可求出a和b的值，再求解，但需要分類討論，比較復雜．請讀者朋友想一想：如果本題中沒有a≠b的條件，應該如何求解？