一道課本習題的變式與拓展

課本習題 用一條長40 cm的繩子怎樣圍成一個面積為75 cm2的矩形？能圍成一個面積為101 cm2的矩形嗎？如能，說明圍法；如不能，說明理由.

解析：設出矩形的較長邊的長，表示出該邊的鄰邊長，根據矩形面積列出方程，判斷方程是否有根．

設圍成面積為75 cm2的矩形的較長邊的長為xcm．則該邊的鄰邊長為（20-x）cm.

根據題意得x（20-x）=75，解得xi=5，x2=15．

∴能圍成面積為75 cm2的矩形，這個矩形的較長邊的長為15 cm，該邊的鄰邊長為5 cm.

同理，設圍成面積為101cm2的矩形的較長邊的長為y cm，則該邊的鄰邊長為（20-y） cm.

根據題意得y（20-y）=101，整理得y2-20y+101=0.

∵△=（-20）2-4×1×101=-4＜0，

∴此方程無解，即不能圍成面積為101 cm2的矩形.

答：較長邊的長為15 cm，該邊的鄰邊長為5 cm時，所圍成的矩形的面積為75 cm2.用一條長40 cm的繩子不能圍成面積為101 cm2的矩形．

變式1 圍成一邊靠墻的一個矩形

例1 如圖1，某農戶準備圍成一個面積為120 m2的矩形養雞場，養雞場的一邊靠墻AB（AB=18 m），另三邊用現有的34 m長的籬笆．若要在與墻垂直的一邊和與墻平行的一邊各開一扇2m寬的門，且籬笆沒有剩余，則這個養雞場與墻垂直的一邊長和與墻平行的一邊長各是多少米？

解析：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（38-2x）m．

根據題意得x（38-2x）=120，解得x1=15，X2=4.

當x=15時．38-2x=8＜18．符合題意．

當x=4時．38-2x=30＞18．不符合題意，故x=4應舍去．

答：這個養雞場與墻垂直的一邊長是15 m，與墻平行的一邊長是8 m．

點評：本題是一道課本習題的變式題，求解時應注意考慮兩扇門的寬度和墻的長度．

變式2 圍成一邊靠墻的兩個矩形

例2 如圖2，用長為24 m的籬笆，圍成一個一邊靠墻（墻的最大可用長度a為10 m）中間隔有一道籬笆的矩形花圃，設花圃的寬AB為xm．

（1）若圍成的花圃面積為36 m2，求此時寬AB.

（2）能圍成面積為52 m2的花圃嗎？若能，請說明圍法；若不能，請說明理由．

解析：（1）花圃的寬AB為xm，則花圃的長AD為（24-3x）m．

根據題意得x（24-3x）=36，解得x1=2，X2=6.

當x=2時，24-3x=24-3x2=18gt;10，不合題意，故x=2應舍去．

當x=6時，24-3x=24-3×6=6＜10，符合題意．

答：此時寬AB為6m．

（2）不能圍成面積為52 m2的花圃，理由如下：

若x（24-3x）=52成立，則整理得3x2-24x+52=0．

∵△=（-24）2-4×3×52=-48＜0.

∴該方程無實數根．

∴不能圍成面積為52 m2的花圃．

點評：本題考查了一元二次方程的應用和根的判別式．解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．當△＜0時，一元二次方程無實數根，另外求解時可將兩個矩形看成一個大矩形，應注意考慮墻的長度．

變式3 圍成兩邊靠墻的矩形

例3 如圖3．農場要建一個飼養場（矩形ABCD），兩邊靠現有墻（AD位置的墻最大可用長度為21 m，AB位置的墻最大可用長度為15 m），另兩邊用木欄，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1 m寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長為45 m．設飼養場的一邊AB的長為xm．

（1）若飼養場ABCD的面積為180 m2，求x的值．

（2）飼養場ABCD的面積能達到192 m2嗎？如果能，請求出x的值，并說明圍法；如果不能，請說明理由．

解析：（1）由題意得x（48-3x） =180，解得x1=6，x2=10.

由1＜48-3x≤21，1＜x≤15，可得9≤x≤15，故x=10.

（2）不能，理由如下：

若x（48-3x）=192成立，則整理得3x2-48x+192=0．

解得x=8，由（1）知9≤x≤15，故此種情況不存在．

∴飼養場ABCD的面積不能達到192 m2.

點評：求解本題應注意矩形兩邊靠墻，根據木欄總長正確表示出矩形的長和寬，依據矩形面積列出方程，并判斷方程根的情況得出答案．