數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸多自由度靜/熱誤差同步測(cè)量與建模

摘要：針對(duì)現(xiàn)有的數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸誤差測(cè)量與建模方法僅考慮多自由度靜態(tài)幾何誤差或單自由度熱誤差單獨(dú)作用的影響，未考慮幾何誤差和熱誤差耦合影響的問題，提出了一種基于球桿儀的數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸多自由度靜/熱誤差同步測(cè)量與建模方法。首先基于齊次坐標(biāo)變換建立球桿儀桿長變化模型，再基于該模型使用非齊次線性方程組建立靜/熱誤差辨識(shí)模型;其次設(shè)計(jì)了適應(yīng)多自由度靜/熱誤差同步測(cè)量的球桿儀安裝模式以縮短測(cè)量時(shí)間，減少熱逸散對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響;再次基于卷積長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN-LSTM）建立旋轉(zhuǎn)軸多自由度靜/熱誤差預(yù)測(cè)模型;最后在數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)的C軸上進(jìn)行誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)，對(duì)多種轉(zhuǎn)速下的旋轉(zhuǎn)軸多自由度誤差進(jìn)行快速辨識(shí)，并通過CNN-LSTM靜/熱誤差預(yù)測(cè)模型對(duì)多自由度誤差和球桿儀桿長變化進(jìn)行預(yù)測(cè)，以驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：靜/熱誤差；誤差測(cè)量；卷積長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；旋轉(zhuǎn)軸；球桿儀

中圖分類號(hào)：TH161

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.08.011

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Simultaneous Measurement and Modeling of MDOF Static/Thermal Errors

of CNC Machine Tool Rotational Axes

LI Guolong1 XIAO Yang1 LI Zheyu1 XU Kai2 ZHANG Wei1

1.State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing，400044

2.School of Mechanical Engineering，Chongqing University of Technology，Chongqing，400054

Abstract： Existing measurement and modeling methods for CNC machine tool rotational axis errors only considered the influences of multiple degrees of freedom（MDOF） static geometric errors or single degree of freedom thermal errors acting in isolation without accounting for the coupled effects， a simultaneous measurement and modeling for MDOF static/thermal errors in CNC machine tool rotational axes was proposed based on a double ball bar. Firstly， a model was developed to describe the variation in length of the double ball bar using homogeneous coordinate transformation. A static/thermal error identification model was constructed by solving a system of nonhomogeneous linear equations based on this model. Subsequently， to minimize the influences of thermal dissipation on the measurement results， a specific installation mode adapted to the simultaneous measurement of MDOF static/thermal errors was designed to reduce the installation time of the double ball bar. Additionally， a prediction model for MDOF static/thermal errors in rotational axis was established using a CNN-LSTM. Finally， experiments were conducted on the C-axis of a gear grinding machine to rapidly identify the rotational axis errors at various speeds. The accuracy of the prediction model was verified by utilizing the static/thermal error model to predict the errors of C-axis and the variation in length of the double ball bar.

Key words：static/thermal error; error measurement; convolutional neural network long-short-term memory（CNN-LSTM）; rotating axis; double ball bar

0 引言

數(shù)控機(jī)床在運(yùn)行過程中受到幾何誤差、熱誤差、力誤差、控制誤差等多種誤差的共同影響，導(dǎo)致數(shù)控機(jī)床刀具與工件的相對(duì)位姿發(fā)生改變，產(chǎn)生加工誤差。其中，幾何誤差與熱誤差是最主要的誤差源，占機(jī)床總誤差的80%以上［1-3］。隨著五軸加工需求的不斷增加，旋轉(zhuǎn)軸的誤差對(duì)工件加工精度的影響也越來越大，對(duì)數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸誤差進(jìn)行測(cè)量、建模、補(bǔ)償是減小加工誤差的有效方法。

幾何誤差是標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試環(huán)境、無負(fù)載下的靜態(tài)誤差［4］。根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)［5］，旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差按位置和誤差的關(guān)聯(lián)性分為位置相關(guān)幾何誤差（position dependent geometric errors，PDGEs）和位置無關(guān)幾何誤差（position independent geometric errors，PIGEs）。球桿儀操作簡(jiǎn)單，成本相對(duì)較低，常用于測(cè)量數(shù)控機(jī)床靜態(tài)幾何誤差［6-7］。LI等［8］通過球桿儀的4個(gè)不同安裝位置的8種測(cè)量模式能夠測(cè)量出旋轉(zhuǎn)軸所有的12個(gè)位置相關(guān)誤差，該方法測(cè)量精準(zhǔn)但測(cè)量模式多，安裝較為復(fù)雜。徐凱等［9］利用球桿儀提出了一種基于參數(shù)化建模的旋轉(zhuǎn)軸PDGEs快速辨識(shí)方法，該方法便捷快速，可直接用于旋轉(zhuǎn)軸及機(jī)床誤差的建模及補(bǔ)償過程。ZARGARBASHI等［10］提出了一種只需安裝一次球桿儀便能測(cè)量A軸軸向運(yùn)動(dòng)誤差的方法，但是只能使用于特定機(jī)床。梁小冰等［11］通過現(xiàn)有的辨識(shí)方法獲得旋轉(zhuǎn)軸PIGEs初始解，然后定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，通過差分演化算法整體優(yōu)化求解旋轉(zhuǎn)軸PIGEs，提高了辨識(shí)準(zhǔn)確性。FU等［12］提出了一種基于差動(dòng)矩陣的球桿儀六圈法，能夠?qū)πD(zhuǎn)軸的4項(xiàng)PIGEs和6項(xiàng)PDGEs進(jìn)行測(cè)量和辨識(shí)。郭世杰等［13］為實(shí)現(xiàn)幾何誤差精準(zhǔn)建模，提出了基于遺傳算法量子粒子群算法（genetic algorithm quantum-behaved particle swarm optimization， GA-QPSO）的正弦低次多項(xiàng)式參數(shù)化建模方法，補(bǔ)償后誤差指標(biāo)平均能夠降低61.2%。但上述方法均只針對(duì)靜態(tài)幾何誤差進(jìn)行測(cè)量和建模，并未考慮機(jī)床長時(shí)間運(yùn)行過程中的溫度變化對(duì)這些誤差元素的影響。

熱誤差是溫度變化導(dǎo)致數(shù)控機(jī)床各零部件熱變形而產(chǎn)生的誤差，其本身具有動(dòng)態(tài)、非線性特點(diǎn)，誤差預(yù)測(cè)模型較為復(fù)雜［14］。目前，機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的熱誤差主要借鑒ISO230-3中的五點(diǎn)法［15］，測(cè)量旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)中心在特定方向上的動(dòng)態(tài)變化。魏弦［16］基于五點(diǎn)法對(duì)磨齒機(jī)工件主軸（C軸）進(jìn)行了測(cè)量，并提出了工件主軸無溫度傳感器分類建模方法，利用在線數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行修正，提高了模型的自適應(yīng)性能。何振亞等［17］基于球桿儀提出了主軸熱誤差檢測(cè)新方法，該方法借助五軸數(shù)控機(jī)床的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸分別單獨(dú)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)正交圓或圓弧構(gòu)成的球桿儀空間軌跡測(cè)量，測(cè)量結(jié)果與五點(diǎn)法吻合。WU等［18］使用激光干涉儀測(cè)量誤差數(shù)據(jù)，建立的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（convolutional neural network，CNN）模型能夠精確地預(yù)測(cè)旋轉(zhuǎn)軸熱角度定位誤差。上述方法雖然提出了熱誤差測(cè)量和建模方法，但均只針對(duì)某一方向上的誤差的綜合表現(xiàn)，未考慮具體的各個(gè)自由度上的誤差元素。

針對(duì)目前的研究大多只考慮多自由度靜態(tài)幾何誤差或單一自由度熱誤差單獨(dú)作用的影響，并未考慮多自由度靜/熱誤差影響（即靜態(tài)幾何誤差和多自由度熱誤差耦合對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的影響）的問題，本文提出了一種基于球桿儀的旋轉(zhuǎn)軸多自由度靜/熱誤差同步測(cè)量與建模方法。建立基于球桿儀桿長變化的多自由度空間誤差辨識(shí)模型，再通過設(shè)計(jì)特定的安裝模式，對(duì)旋轉(zhuǎn)軸多自由度靜/熱誤差進(jìn)行同步測(cè)量，并建立基于卷積長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（convolutional neural network-long short-term memory，CNN-LSTM）的旋轉(zhuǎn)軸靜/熱誤差預(yù)測(cè)模型。

1 基于球桿儀的多自由度空間誤差建模

1.1 球桿儀桿長變化模型

考慮熱誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)軸位置相關(guān)誤差的影響，提出位置相關(guān)熱誤差（position dependent thermal errors， PDTEs）和位置無關(guān)熱誤差（position independent thermal errors， PITEs），本文針對(duì)研究對(duì)象多自由度靜/熱誤差采用PDGEs和PDTEs的定義。如圖1所示，轉(zhuǎn)動(dòng)副繞旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)存在6項(xiàng)誤差元素［19-20］，包括3項(xiàng)移動(dòng)誤差δx（C，T）、δy（C，T）、δz（C，T）和3項(xiàng)角度誤差εx（C，T）、εy（C，T）、εz（C，T）。其中，δx（C，T）、δy（C，T）、δz（C，T）分別為C軸沿X軸、Y軸、Z軸坐標(biāo)方向的移動(dòng)誤差，εx（C，T）、εy（C，T）、εz（C，T）分別為C軸繞X軸、Y軸、Z軸旋轉(zhuǎn)的角度誤差。

球桿儀由兩個(gè)精密小球及直線位移傳感器組成，使用時(shí)安裝在工作臺(tái)上的小球稱為工件球，安裝在主軸端的小球稱為刀具球，如圖2所示。設(shè)工件球坐標(biāo)為P=（x0，y0，z0，1）T，刀具球坐標(biāo)為Q=（0，0，h，1）T，h為刀具球起始安裝位置的高度。在旋轉(zhuǎn)軸單軸驅(qū)動(dòng)模型下不考慮數(shù)控機(jī)床其他軸的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角度C時(shí)，其理想坐標(biāo)變換矩陣為T，坐標(biāo)變換誤差矩陣為Te，即

T=cos C-sin C00

sin Ccos C00

0010

0001（1）

Te=

1－εz（C，T）εy（C，T）δx（C，T）εz（C，T）1－εx（C，T）δy（C，T）－εy（C，T）εx（C，T）1δz（C，T）0001（2）

工件球理論位置坐標(biāo)Pi=（x′，y′，z′，1）T和實(shí)際位置坐標(biāo)Pe=（x1，y1，z1，1）T計(jì)算公式為

Pi=TP

Pe=TeTP（3）

工件球空間誤差矩陣Δr為工件球?qū)嶋H位置坐標(biāo)與理論位置坐標(biāo)的差：

Δr=TeTP－TP=（Δx，Δy，Δz，0）T（4）

Δx=－x0εz（C，T）sin C－y0εz（C，T）cos C+

z0εy（C，T）+δx（C，T）

Δy=x0εz（C，T）cos C－y0εz（C，T）sin C－

z0εx（C，T）+δy（C，T）

Δz=（εx（C，T）sin C－εy（C，T）cos C）x0+

（εy（C，T）sin C+εx（C，T）cos C）y0+δz（C，T）（5）

其中，Δx、Δy、Δz分別為X軸、Y軸和Z軸上的誤差分量。分離6項(xiàng)誤差元素：

e=（δx（C，T），δy（C，T），δz（C，T），εx（C，T），

εy（C，T），εz（C，T））T

則分離后的Δr可表示為

Δr=Tne=

1000z0－a010－z00b001a－b0000000δx（C，T）δy（C，T）δz（C，T）εx（C，T）εy（C，T）εz（C，T）（6）

a=x0sin C+y0cos C

b=x0cos C－y0sin C（7）

如圖2所示，設(shè)β為誤差向量與球桿儀理論位置之間的夾角，當(dāng)β趨于無窮小時(shí)，球桿儀初始長度L0=Δrcos β≈ΔL0。可得到球桿儀長度變化量ΔL0與旋轉(zhuǎn)軸各項(xiàng)誤差之間的關(guān)系：

ΔL0=（n·Δr）=1L0baz0－h(huán)0T

Δr=1L0baz0－h(huán)－ahbh0Tδx（C，T）δy（C，T）δz（C，T）εx（C，T）εy（C，T）εz（C，T）（8）

式中，n為球桿儀理論位置的單位方向。

由式（8）可知，C軸繞Z軸的角度誤差εz（C， T）在計(jì)算過程中與0相乘被抵消掉，故無法被辨識(shí)。則可得到在安裝參數(shù)P、Q影響下的球桿儀桿長變化模型：

L0ΔL=bδx（C，T）+aδy（C，T）+（z0－h(huán)）δz（C，T）－

ahεx（C，T）+bhεy（C，T）（9）

1.2 多自由度空間誤差辨識(shí)模型

球桿儀桿長的變化對(duì)應(yīng)5項(xiàng)誤差的變化，而每一次單獨(dú)的球桿儀桿長測(cè)量實(shí)驗(yàn)都對(duì)應(yīng)多個(gè)誤差分量。當(dāng)進(jìn)行5次線性無關(guān)的球桿儀測(cè)量實(shí)驗(yàn)時(shí)就能求解出Δr：

（b1δx（C，T）+a1δy（C，T）+（z1－h(huán)）δz（C，T）－

a1h1εx（C，T）+b1h1εy（C，T））=L1ΔL1

（b5δx（C，T）+a5δy（C，T）+（z5－h(huán)）δz（C，T）－

a5h5εx（C，T）+b5h5εy（C，T））=L5ΔL5（10）

LiΔL=ΔTer=

b1a1z1－h(huán)1－ah1bh1b2a2z2－h(huán)2－ah2bh2b3a3z3－h(huán)3－ah3bh3b4a4z4－h(huán)4－ah4bh4b5a5z5－h(huán)5－ah5bh5·

δx（C，T）δy（C，T）δz（C，T）εx（C，T）εy（C，T）=LiΔL1ΔL2ΔL3ΔL4ΔL5（11）

Li=diag（L1，L2，…，L5）

實(shí)際上，Li為常量，求解式（11）就是求解非齊次線性方程組，當(dāng)誤差辨識(shí)矩陣ΔT滿秩即r（ΔT）=5時(shí)，可求解出er=（δx（C，T），δy（C，T），δz（C，T），εx（C，T），εy（C，T））中的5項(xiàng)誤差元素。當(dāng)r（ΔT）lt;5時(shí)，方程組有無窮多解；當(dāng)r（ΔT）gt;5時(shí)，方程組無解。所以設(shè)計(jì)測(cè)量模式時(shí)應(yīng)該滿足誤差辨識(shí)矩陣滿秩條件。

此外，球桿儀安裝過程中存在人為安裝導(dǎo)致的安裝誤差，基于筆者課題組前期的研究［9］進(jìn)行安裝誤差消除，可消除球桿儀變化中由PIGEs和安裝誤差引起的影響，得到僅由PDGEs引起的球桿儀桿長變化Δr：

Δr=ΔR－cos Cπ∫2π0ΔRcos CdC－

sin Cπ∫2π0ΔRsin CdC－12π∫2π0ΔRdC（12）

2 多自由度靜/熱誤差同步測(cè)量與建模

2.1 多自由度靜/熱誤差同步測(cè)量方案

要滿足數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸靜/熱誤差的同步測(cè)量，設(shè)計(jì)球桿儀誤差測(cè)量方案時(shí)應(yīng)考慮兩個(gè)問題：一是誤差辨識(shí)矩陣需要滿秩，以保證誤差辨識(shí)模型有解，能夠辨識(shí)出5項(xiàng)空間誤差；二是不同測(cè)量模式之間需要更換迅速、測(cè)量方便，以降低球桿儀測(cè)量過程中的溫度變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，保證多自由度熱誤差測(cè)量的準(zhǔn)確性。

值得注意的是，為滿足誤差辨識(shí)矩陣滿秩條件，可以選擇的安裝方式有很多，但是同時(shí)考慮到誤差測(cè)量過程中熱量逸散對(duì)熱誤差數(shù)據(jù)的影響，所以安裝方式的選擇應(yīng)該方便、快捷。安裝位置的設(shè)計(jì)應(yīng)滿足以下要求：①球桿儀不需要頻繁拆解，即球桿儀長度保持一致；②球桿儀安裝次數(shù)盡量少，即中心座位置變動(dòng)少；③運(yùn)動(dòng)過程中不能發(fā)生干涉。

本文設(shè)計(jì)使用的5種球桿儀測(cè)量模式如圖3所示，具體安裝參數(shù)見表1。表1中，xt、yt、zt代表工件球起始坐標(biāo)位置，xw、yw、zw代表刀具球起始坐標(biāo)位置。以中心座1位置作為XY平面坐標(biāo)原點(diǎn)，以中心座2的高度作為Z軸坐標(biāo)原點(diǎn)。安裝模式1、2的中心座1安裝在旋轉(zhuǎn)軸軸心，高度為hr；刀具杯1安裝在與中心座1同一高度且距離旋轉(zhuǎn)軸軸心br處坐標(biāo)軸上。安裝模式3、4、5的中心座2安裝在距離旋轉(zhuǎn)軸軸心ar的工作臺(tái)上；刀具杯2安裝在中心座1上方，高度為kr。hr、br、ar、kr、cr、dr為特定安裝模式下刀具球或工件球起始安裝位置的具體坐標(biāo)值。

圖3中，開始測(cè)量對(duì)刀時(shí)就提前安裝好安裝模式1、2和安裝模式3、4、5的中心座。為減少球桿儀拆卸次數(shù)，令（a2r+k2r）1/2=br以保證球桿儀長度始終保持不變；為減少球桿儀安裝次數(shù)和中心座位置變動(dòng)，令（c2r+d2r）1/2=ar以保證中心座到旋轉(zhuǎn)軸中心距離保持不變；為避免運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生干涉，以中心座2的高度為Z軸原點(diǎn)，中心座1的高度為XY平面原點(diǎn)，即可避免相撞。該測(cè)量方案通過簡(jiǎn)單地控制工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)和刀具運(yùn)動(dòng)就能調(diào)整工件球和刀具球坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)各種安裝模式之間的快速切換。

此安裝方案滿足誤差辨識(shí)矩陣滿秩，工件球安裝方便，不用頻繁拆裝，縮短了測(cè)量和安裝時(shí)間，能夠大幅提高誤差測(cè)量的準(zhǔn)確性。這種測(cè)量方案既能滿足旋轉(zhuǎn)軸靜態(tài)誤差的測(cè)量，也適用于旋轉(zhuǎn)軸在工作一段時(shí)間后的靜/熱誤差的同步測(cè)量。

2.2 基于CNN-LSTM的旋轉(zhuǎn)軸靜/熱誤差模型

基于上述誤差辨識(shí)模型與誤差測(cè)量方案，可以得到不同溫度與位置下的誤差值，進(jìn)一步可以構(gòu)建旋轉(zhuǎn)軸靜/熱誤差的預(yù)測(cè)模型。熱誤差建模方法包括多元回歸法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、灰色理論法、支持向量機(jī)等［21-23］方法。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因具有大規(guī)模的并行分式計(jì)算、計(jì)算能力強(qiáng)、容錯(cuò)率高、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)而得到廣泛的應(yīng)用。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，能在數(shù)據(jù)中提取有效的特征［24］。長短時(shí)記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（long short-term memory， LSTM）［25］是在循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（recurrent neural network，RNN）的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，用于解決RNN中的梯度消失問題，同時(shí)也解決了復(fù)雜長時(shí)間滯后的問題，而機(jī)床熱誤差的變化相對(duì)溫度變化具有時(shí)間滯后效應(yīng)，所以近年來LSTM模型常用于熱誤差建模［26］。

CNN-LSTM模型［27］結(jié)合了上述兩種網(wǎng)絡(luò)模型的優(yōu)點(diǎn)，具有強(qiáng)大的特征提取能力和記憶能力，因此，本文采用CNN-LSTM模型進(jìn)行建模，其神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4所示。CNN的卷積層對(duì)數(shù)據(jù)特征信息（溫度、位置）進(jìn)行提取；通過池化層降低特征信息維度，并保留重要的特征信息；將池化后的特征信息轉(zhuǎn)換為一維向量輸入LSTM層進(jìn)行時(shí)序信息建模；輸出最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。

LSTM神經(jīng)元由輸入門、遺忘門、輸出門三個(gè)門控結(jié)構(gòu)構(gòu)成，遺忘門用于控制當(dāng)前輸入數(shù)據(jù)的重要性，輸出結(jié)果為fn；輸入門用于控制過去時(shí)刻的記憶在當(dāng)前時(shí)刻的重要性，輸出結(jié)果為in；輸出門用于控制當(dāng)前時(shí)刻的輸出，輸出結(jié)果為On。計(jì)算流程如下：n時(shí)刻的輸入向量xn和n-1時(shí)刻的輸出向量hn-1進(jìn)入神經(jīng)元的遺忘門、輸入門和輸出門中。遺忘門的計(jì)算結(jié)果fn控制存儲(chǔ)信息Cn-1中的哪些信息會(huì)被遺忘，輸入門的計(jì)算結(jié)果it控制新信息中的哪一部分會(huì)被存儲(chǔ)進(jìn)Cn中，輸出門的計(jì)算結(jié)果On控制Cn中的哪些信息會(huì)被當(dāng)作hn輸出。最后輸出hn并將hn和Cn傳給下一時(shí)刻的神經(jīng)元。記憶單元存儲(chǔ)信息Cn的更新公式如下：

Cn=Fn·Cn－1+In·n（13）

神經(jīng)元的輸出向量hn為

hn=On·tanh（Cn）（14）

3 實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證

3.1 誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)

為測(cè)得旋轉(zhuǎn)軸多自由度靜/熱誤差，設(shè)計(jì)了四組實(shí)驗(yàn)。四組實(shí)驗(yàn)以轉(zhuǎn)速為變量，分別反映了旋轉(zhuǎn)軸在不同工況下產(chǎn)生的誤差，隨著工作時(shí)間的增加，模擬不同溫度對(duì)誤差的影響。實(shí)驗(yàn)過程中以機(jī)床溫度20 ℃、工作臺(tái)起始位置0°為邊界條件，如圖5中模式1所示。讓工作臺(tái)在固定的轉(zhuǎn)速下持續(xù)工作4 h，從工作臺(tái)靜態(tài)開始每間隔工作20 min便使用球桿儀按照誤差辨識(shí)模型的5種安裝模式分別進(jìn)行桿長變化測(cè)量，測(cè)量過程如圖5所示，具體實(shí)驗(yàn)參數(shù)見表2，共測(cè)得260組數(shù)據(jù)，同時(shí)采集旋轉(zhuǎn)軸的各項(xiàng)溫度數(shù)據(jù)，建立靜/熱誤差關(guān)系。

本文以YS7232機(jī)床C軸為研究對(duì)象，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)軸靜/熱誤差測(cè)量。球桿儀、溫度采集卡和溫度傳感器參數(shù)見表3，傳感器的位置布置如圖6所示，具體位置見表4。其中，溫度測(cè)點(diǎn)T1和T7分別測(cè)量環(huán)境溫度和機(jī)床床身溫度，其他溫度傳感器采集C軸附近溫度，T9為直接讀取的電機(jī)溫度。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

以轉(zhuǎn)速為300 r/min的試驗(yàn)結(jié)果為例，溫度變化和消除安裝誤差后的實(shí)驗(yàn)1模式5的桿長隨位置和時(shí)間的變化結(jié)果如圖7、圖8所示。為方便觀察變化量，本文都取相對(duì)變化值。隨著工作臺(tái)工作時(shí)間的增加，溫度不斷上升。其中，C軸電機(jī)的溫度上升最劇烈，溫升超過7 ℃；床身和環(huán)境溫度變化趨勢(shì)比較平緩，在1 ℃以內(nèi)；C軸和工作臺(tái)各測(cè)點(diǎn)溫度上升相對(duì)一致，在3～4 ℃。桿長變化量隨位置變化呈三角函數(shù)型波動(dòng)，桿長變化幅值隨著時(shí)間的變化也逐漸變大。

將5種安裝模式下的桿長變化代入誤差辨識(shí)模型即可辨識(shí)得到五項(xiàng)誤差數(shù)據(jù)，為同時(shí)表達(dá)誤差與運(yùn)動(dòng)位置和時(shí)間的關(guān)系，建立三維圖對(duì)誤差進(jìn)行描述，實(shí)驗(yàn)1的δx（C，T）（第一組實(shí)驗(yàn)的機(jī)床X向移動(dòng)誤差，后同）和實(shí)驗(yàn)2的εy（C，T）如圖9所示。其中，X軸位置數(shù)據(jù)表示球桿儀旋轉(zhuǎn)角度映射位置的相關(guān)誤差，Y軸表示旋轉(zhuǎn)軸工作時(shí)間來反映溫度的變化對(duì)熱誤差的影響，Z軸表示辨識(shí)出的誤差值。時(shí)間為0時(shí)為靜態(tài)誤差，隨著工作時(shí)間的增加，熱誤差產(chǎn)生影響，誤差變化的幅值也逐漸增大；隨著工作臺(tái)的旋轉(zhuǎn)，誤差在X軸上呈類三角函數(shù)分布。因篇幅所限，其他組數(shù)據(jù)不再贅述。

3.3 誤差預(yù)測(cè)

將1、2、4組實(shí)驗(yàn)測(cè)量的溫度、位置和誤差數(shù)據(jù)用于誤差建模，將第3組實(shí)驗(yàn)的溫度和位置數(shù)據(jù)作為自變量代入模型進(jìn)行誤差預(yù)測(cè)。通過靜/熱誤差模型進(jìn)行預(yù)測(cè)可以得到預(yù)測(cè)誤差，以實(shí)驗(yàn)3的δy（C，T）和實(shí)驗(yàn)3的εx（C，T）為例繪制位移時(shí)間誤差變化圖（圖10）。整體上看，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值變化趨勢(shì)基本吻合。作出殘差圖（圖11），其中，紅色部分加深表示殘差正向變大，藍(lán)色部分加深表示殘差反向變大。誤差預(yù)測(cè)性能指標(biāo)均方根誤差（root mean square error， RMSE）、平均絕對(duì)誤差（mean absolute error， MAE）和殘差比見表5，δy（C，T）最大預(yù)測(cè)殘差值為6.8 μm，而最大誤差達(dá)17.29 μm，相比之下減幅超過60%，說明能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出誤差。

為進(jìn)一步驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果的正確性，將預(yù)測(cè)得到的誤差值反算出桿長變化值得到模擬的預(yù)測(cè)變化桿長。將預(yù)測(cè)的實(shí)驗(yàn)3模式3的桿長變化與實(shí)際桿長變化進(jìn)行對(duì)比，繪制桿長變化時(shí)間位移變化圖（圖12），桿長變化的預(yù)測(cè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)見表5，殘差圖見圖13。預(yù)測(cè)桿長的變化趨勢(shì)與實(shí)際桿長變化趨勢(shì)基本吻合，而實(shí)際桿長的最大偏差已達(dá)19.3 μm，預(yù)測(cè)桿長的最大殘差僅7.4 μm，相比之下誤差減少61.6%。可以發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果是準(zhǔn)確可靠的。

此外，將CNN-LSTM與BPNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)兩種模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表5、圖11b、圖11c所示，可以發(fā)現(xiàn)這兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)結(jié)果中殘差比相差不大，但是CNN-LSTM預(yù)測(cè)結(jié)果的RMSE值和MAE值要更優(yōu)于BPNN，說明CNN-LSTM預(yù)測(cè)結(jié)果整體上更加穩(wěn)定，殘差圖更加平穩(wěn)，預(yù)測(cè)效果更好。

4 結(jié)論

（1）本文研究了旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)特性，構(gòu)建了基于齊次坐標(biāo)變化的球桿儀桿長變化模型，將球桿儀

桿長變化映射到旋轉(zhuǎn)軸各項(xiàng)誤差，建立了旋轉(zhuǎn)軸多自由度空間誤差辨識(shí)模型。

（2）提出了靜/熱誤差同步辨識(shí)的高效快速測(cè)量方法，在滿足誤差辨識(shí)矩陣滿秩的前提下，兩個(gè)中心座一次安裝便能完成5種球桿儀測(cè)量模式的測(cè)量，5種測(cè)量模式之間的切換只需要短短幾秒，縮短了測(cè)量時(shí)間，保證了靜/熱誤差測(cè)量的可靠性。

（3）建立了CNN-LSTM模型，對(duì)靜/熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，并通過與BPNN模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了CNN-LSTM模型應(yīng)用于靜/熱誤差同步建模的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)5項(xiàng)靜/熱位置相關(guān)誤差及球桿儀桿長的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)桿長最大殘差僅7.4 μm，比實(shí)際桿長19.3 μm減小60%以上，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

本文僅針對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的5項(xiàng)靜/熱誤差的位置相關(guān)誤差進(jìn)行研究，后續(xù)可以對(duì)靜/熱誤差作用下的旋轉(zhuǎn)軸位置無關(guān)幾何誤差與旋轉(zhuǎn)熱定位誤差的建模與預(yù)測(cè)進(jìn)行研究。

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（編輯 陳 勇）