基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計

摘要：基于板殼加強筋生長步序列的馬爾可夫性質，提出了板殼加強筋生長式設計的強化學習驅動策略。以結構整體應變能最小化為目標，運用馬爾可夫決策過程對板殼加強筋的生長過程進行建模。通過引入多智能體系統，共享加強筋生長式過程的狀態獎勵并記憶特定動作，降低學習復雜度，實現了加強筋生長式過程獎勵值的波動收斂，達成板殼加強筋生長式設計策略。最后給出算例并將平滑處理后的加強筋布局與經典算法的設計結果進行對比，驗證了基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計的有效性。

關鍵詞：板殼加強筋；生長式；多智能體深度Q網絡；布局設計；強化學習

中圖分類號：TH11;TP31

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.08.008

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Growth Design of Stiffeners for Shell/Plate Structures Based on

MADQN Interaction

ZHONG Yi YANG Yong JIANG Xuetao PAN Shunyang ZHU Qixin WANG Lei

College of Mechanical Engineering，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou，Jiangsu，215009

Abstract： Based on the Markov property of the growth steps of shell/plate stiffeners， a reinforcement learning driving strategy of the growth design of shell/plate stiffeners was proposed. Aiming at minimizing the overall strain energy of the structures， Markov decision process was used to model the growth processes of the stiffeners. By introducing a multi-agent system to share the states and the rewards of the stiffeners growth processes， and memorizing specific actions， the learning complexity was reduced. Meanwhile， the convergence of the reward value of the stiffeners growth processes was realized. Therefore， the growth design strategy of shell/plate stiffeners was achieved. Finally， a numerical example was given and the results of the smoothed stiffeners layout were compared with those of the classical algorithm， which verifies the validity of the growth design of stiffeners for shell / plate structures based on MADQN interaction.

Key words： stiffener for shell/plate structure; growth pattern; multi-agent deep Q network（MADQN）; layout design; reinforcement learning

0 引言

板殼結構在船舶、汽車、航空航天等領域具有極其廣泛的應用，在板殼結構表面設計加強筋，能夠在保證輕量化的同時顯著提高結構的剛度等力學性能。板殼加強筋的設計主要包括加強筋的位置、尺寸和形狀設計。在工程實際中，加強筋布局的確定很大程度上依賴于工程經驗，如何同時保證加強筋結構的輕量化和承載性，一直是板殼加強筋設計領域的難點和重點。

板殼加強筋布局設計領域常用的方法為拓撲優化方法，這類方法通過將加強筋的布局問題轉化為材料的分布問題來實現加強筋布局的優化。常用于板殼加強筋布局設計問題的拓撲優化技術包括均勻化法、變密度法、漸進結構優化法（evolutionary structural optimization，ESO）等。MA等［1］提出了一種基于均勻化方法的加固板生成設計方法，優化了基于等效模型的加固布局。WANG等［2］將漸進式均勻化方法引入分層加筋板的屈曲分析和優化問題的求解中。在變密度法中，最具代表性的模型是BENDS E等［3］提出的固體各向同性懲罰材料（solid isotropic material with penalization，SIMP）模型。LI 等［4］將變密度法（SIMP）與相場法相結合，對復合材料結構的抗斷裂性進行優化研究。然而，基于SIMP法框架得到的優化結果存在大量的灰度單元，無法獲得清晰的加強筋布局。LI等［5］將進化算法轉換為數學模型，對加強筋自適應生長過程進行建模并結合所提出的“剛度變換方法”，使得加強筋能夠朝著任意方向生長。

上述通過將加強筋的布置問題轉化為材料的分布問題來進行設計的方法，得到的只是加強區域的分布，而不是具體的加強筋結構，這導致需要后處理才能確定加強筋的分布與尺寸，增加了實際工程設計的難度。隨著研究的進一步深入，其他方法也被嘗試應用到加強筋的布局設計中。如FATEMI等［6］以加強筋的位置為設計變量，利用直線來描述加強筋并結合遺傳算法對直線的坐標參數進行優化，最終得到了清晰的加強筋布局。MULANI等［7］用B樣條曲線來描述加強筋，利用粒子群算法對曲線的特征點坐標進行優化，最終實現了曲線加強筋的布局優化設計。然而這類采用遺傳算法或粒子群優化算法對直線端點和B樣條控制點進行優化從而實現加強筋的布局設計的方法仍然難以解決多載荷復雜工況下的加強筋設計問題。張衛紅等［8］以結構最大剛度為目標，提出了幾何背景網格法，實現了加筋設計域內任意離散網格沿加筋高度方向的布局參數化定義和三維曲面薄壁殼結構的加筋布局設計。ZHANG等［9］基于移動可變形組件法求解了三維結構加強筋的拓撲優化問題，成功避免了灰度單元，但是采用實體單元進行有限元計算仍然存在龐大的計算量。崔榮華等［10］引入水平集方法對加強筋布局進行描述并用不同的抗彎剛度表征薄板與加強筋，成功避免了灰度單元，獲得了清晰的加強筋布局與尺寸。但是水平集方法在應用中還存在許多不足，如收斂速度慢、數值計算復雜（尤其是三維問題）、優化結果嚴重依賴孔洞的初始布置等。DING等［11］將自然界分支系統的自適應生長規律應用于板殼加強筋分布設計方法的研究，并提出了自適應成長法。LI等［12］和薛開等［13］根據雙子葉植物葉脈形成的結構力學規律和形態發生的結構力學假說，提出脈序生長法（venation growth algorithm， VGA）。SHEN等［14］將附加調諧質量阻尼器的最佳調諧引入自適應成長法的求解中，以提高受諧波激勵的3D箱體結構的結構動力學性能。張坤鵬等［15］采用結構參數特征圖像化表征的方法對含曲筋布局的開口多級加筋壁板進行優化設計。董偉等［16］利用均勻化方法計算點陣結構的宏觀性能，實現了點陣加筋板式結構布局的優化設計。SINGH等［17］提出將深度神經網絡（deep neural networks，DNNs）與MSC NASTRAN計算相結合以近似表示FEA屈曲響應，展現了基于DNN的機器學習算法在加速曲線型加強板優化方面的潛力。LIU等［18］提出了一種基于深度學習的智能優化框架，用于網格加固面板的加強筋單元格優化設計。

為了避免對梯度信息和先驗知識的依賴性，降低設計難度并實現清晰的加強筋布局設計，本文基于板殼加強筋生長步序列的馬爾可夫性質，提出板殼加強筋生長式設計的強化學習驅動策略。以最小化結構整體應變能為優化目標，運用馬爾可夫決策過程對板殼加強筋生長過程進行建模。通過多智能體深度Q網絡（multi-agent deep Q network， MADQN）與加強筋生長環境的交互，實現加強筋生長過程獎勵值的上升與波動收斂，達成板殼加強筋生長式設計。最后給出算例，并將平滑處理后的加強筋布局與經典算法的結果進行對比，驗證基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計的有效性。

1 板殼加強筋生長式設計模型的構建

根據自然界植物分支系統的形態形成機理，植物葉脈在不同的環境中具有自適應性，這在很大程度上增強了植物整體的力學性能。 脈序生長算法［13］以變形能和剪應力為生長規則分別指導加強筋生長脈絡的生長，其根本原理是自然界植物葉脈系統依據一定的生長規律并通過生長過程最終達到整體性能最優。本文將這種結構生長式機理應用于板殼加強筋設計中，即加強筋脈絡的生長總是以優化目標為導向，朝著提升結構性能更顯著的方向生長，下面構建生長式設計模型。

板殼加強筋生長式設計的約束函數為加強筋的體積上限，優化目標為結構的整體剛度最大化，即結構整體柔順度最小化。根據結構的應變能和柔順度的一致性，優化目標等價于結構整體應變能最小化。優化目標及約束函數的數學模型可表示為

min U

s.t. Vs≤Vs.max

式中，U為結構整體應變能；Vs、Vs.max分別為加強筋體積及其上限。

板殼加強筋生長式設計的有限元幾何模型采用基結構法構建，基結構模型如圖1所示。采用四節點四邊形單元離散板殼結構，創建梁單元連接殼單元相關節點作為加強筋，梁單元截面類型為正方形，加強筋單面加筋的布置方式，加強筋截面尺寸及布置方式如圖2所示，即加強筋的截面形心位于殼結構的一側。

板殼加強筋生長式設計方法的具體生長準則如下：

（1）采用Abaqus/CAE對薄板加強筋模型進行參數化設計。采用忽略橫向剪切變形的基爾霍夫板來模擬基板的變形情況，采用四節點殼單元構建基礎模型，兩節點梁單元構建加強筋，梁單元橫截面采用正方形截面，且截面尺寸固定。

（2）在板殼加強筋生長式設計過程中，以加筋結構整體應變能最小為優化目標，加強筋體積上限為約束條件。文獻［11，19］中對具有相同載荷和支撐的算例布置不同位置的“種子”，并進一步對添加加強筋后結構的力學性能進行對比，得出結論如下：加強筋生長“種子”應該位于結構的載荷點、支撐點或邊緣。根據結構的承載條件并依據文獻［11，19］的種子選取原則，選擇約束和載荷作用區域布置種子。

（3）根據脈序生長算法所提出的生長機理［13］，對加強筋脈絡的生長準則進行本文方法適應性的修改，即規定在加強筋的生長過程中僅存在以應變能最小為生長原則的主脈，而不存在次脈；僅存在單支生長，而不存在分支、退化等情況。

在板殼加強筋生長式設計過程中，下一狀態的加強筋生長布局僅與當前的加強筋生長布局以及加強筋下一生長步的生長方向相關，可以看出加強筋生長步是一組滿足馬爾可夫性質的隨機變量序列，加強筋生長過程呈現典型馬爾可夫性質：當給定當前狀態時，未來的狀態與過去的狀態是條件獨立的。因此，在板殼加強筋生長式設計模型構建的基礎上，運用馬爾可夫決策過程進一步構建板殼加強筋生長式設計的強化學習驅動策略。

2 板殼加強筋生長環境交互的多智能體深度Q網絡

2.1 搭建板殼加強筋生長環境與智能體交互模型

強化學習（reinforcement learning， RL）是機器學習中重要的一部分。強化學習由環境和智能體兩部分組成，通過環境與智能體的交互獲得獎勵或懲罰，通過不斷地在交互式環境中進行探索利用（exploration-exploitation）的權衡來學習一系列動作，進而使預期回報最大化。

在板殼加強筋生長式設計中，首先構建板殼加強筋生長環境與智能體交互機制：在強化學習的訓練過程中，智能體與板殼加強筋生長環境不斷進行交互，如圖3所示。板殼加強筋生長環境將當前加強筋生長狀態與獎勵傳遞給智能體，智能體根據當前加強筋生長狀態選擇下一加強筋生長方向，并將所選擇的下一加強筋生長方向返回板殼加強筋生長環境，板殼加強筋生長環境得到智能體選擇的下一加強筋生長方向后，執行加強筋生長的動作并進入加強筋生長的下一個狀態，隨后將加強筋生長的下一狀態和獎勵傳遞給智能體，這種交互過程可以用馬爾可夫決策過程表示。

2.2 構建加強筋生長式設計的馬爾可夫決策過程

在馬爾可夫決策過程中，可以用p（st+1=s′|st=s，at=a）來表示狀態轉移，即在訓練步數為t時環境狀態為s，在狀態s選擇動作a，會轉移到狀態s′，未來的狀態st+1由當前的狀態st和當前智能體采取的動作at共同決定。狀態轉移是具有馬爾可夫性質的。

隨機變量R0，R1，…，RT構成一個加強筋隨機生長過程，其中，T表示訓練次數。隨機變量的取值空間的集合稱為狀態空間，Rt+1對過去狀態的條件概率分布可以僅用Rt的函數表示為

p（Rt+1=rt+1|R0∶t=r0∶t）=

p（Rt+1=rt+1|Rt=rt+1）

式中，R0∶t為變量集合，即板殼加強筋歷史生長布局的集合{R0，R1，…，RT}；r0∶t為狀態空間中的狀態序列，即加強筋生長步序列r0，r1，…，rt。

板殼加強筋生長步的馬爾可夫決策過程滿足以下條件：

p（st+1|st，at）=p（st+1|ht，at）

其中，集合ht={s1，s2，…，st}包含之前所有的加強筋生長步狀態，是加強筋生長步狀態的歷史。s1，s2，…，st是一組具有馬爾可夫性質的隨機變量序列。

2.3 加強筋生長式設計的多智能體深度Q網絡模型的構建

深度Q網絡（deep Q network， DQN）通過使用非線性神經網絡近似Q函數。神經網絡用θ進行參數化表示并以最小化損失函數為目標函數：

L（θ）=E［（r+γmax Q（s′，a′;θ′）-Q（s，a;θ））2］

式中，s為狀態；a為動作；r為獎勵；s′為下一狀態；a′為下一動作；［r+γmax Q（s′，a′;θ′）］為目標網絡（target network）輸出的Q值，包含獲得的獎勵、下一狀態價值的估計兩部分；Q（s，a;θ）為Q值的當前估計。

深度Q網絡能夠在與環境的交互學習中最小化預測網絡輸出的Q值（Q值的當前估計）與目標網絡輸出的Q值（Q值的更新估計）之間的差異，從而達到能夠輸出符合預期目標的動作策略并且使獎勵上升與波動收斂的學習目的。

在板殼加強筋生長式設計過程中，加強筋生長“種子”的位置和數量根據工況的不同而有差異，并且“種子”數量的增加顯著提高了DQN智能體權衡探索利用的成本與難度。為了解決這一問題，本方法在采用DQN的基礎上引入多智能體系統（multi-agent deep reinforcement learning， MADRL），n個智能體與n個“種子”相對應，多個智能體之間具有共享的狀態和獎勵，并在經驗回放池中進行每個智能體特定的動作更新，在多智能體與板殼加強筋生長式環境的交互學習過程中實現預期目標。

在基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計中，板殼加強筋生長式過程用動作、狀態和獎勵描述。如圖4所示，在訓練次數為t時，獲得環境狀態s（n）t的智能體An根據策略選擇動作a（n）t并控制“種子”n生長，當所有種子的動作被執行后，環境依據狀態轉移概率轉移到下一時刻的狀態s（n）t+1，同時，每個智能體An得到執行動作a（n）t后的獎勵r（n）t。

3 板殼加強筋生長式多智能體深度Q網絡的算法設計

3.1 加強筋生長過程的狀態動作空間設計

在板殼加強筋生長式多智能體深度Q網絡交互環境中，智能體An能夠在t時刻觀測到種子n相關的環境狀態s（n）t：

s（n）t={Seed_label（n）t，ΔSE（n）t，ΔMASS（n）t}

式中，Seed_label（n）t為當前狀態加強筋生長起點的網格節點號；ΔSE（n）t為當前狀態結構整體應變能與上一狀態應變能差值；ΔMASS（n）t為當前狀態結構整體質量與上一狀態質量的差值。

建模過程中加強筋用兩節點梁表示，加強筋生長的動作空間為以生長起點為中心的8個生長角度0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°，加強筋從生長起點（上一狀態加強筋的生長終點）開始生長，從8個生長角度中選擇生長方向生長直至此次加強筋生長終點。采取ε-貪心策略，ε為一個很小的值，以ε的小概率隨機選擇動作空間內的動作，以1-ε的概率選擇預測Q值最大的動作a，探索分布為

πQ（st）=argmaxa Q（st，a）" 1/Tθslt;Pelt;1

arandom0≤Pe≤1/Tθs

其中，Pe為隨機生成的概率；Ts為訓練次數，用1/Tθs表示ε，隨著訓練次數的增加而遞減，0lt;θlt;1為控制1/Tθs大小的參數，以調節智能體選擇隨機動作進行探索或利用的概率。

3.2 加強筋生長過程的獎勵函數設計

獎勵函數是引導智能體學習的關鍵性因素，通過對智能體采取的策略進行評價并將相應獎勵或懲罰反饋給智能體，從而引導智能體在復雜多維的環境中學習到符合目標導向的決策。在本文方法中，目標函數為加筋板殼結構整體應變能的最小化，因此選擇結構整體應變能變化量ΔSE作為自變量構建獎勵函數。同時，由于位于板殼頂點或邊界等特殊位置的節點作為加強筋的生長起點時存在某些角度無法生長的情況，故設置懲罰因子作為負獎勵。最終得到獎勵函數：

r=rneg" ""Seed_label（n）t=Seed_label（n）t-1

x1ΔSE其他

式中，rneg為負獎勵；x1為系數，用以調節ΔSE的大小，從而降低獎勵值的方差，保證訓練過程中梯度更新的穩定性。

4 典型算例

為便于驗證所提方法的正確性，選取研究領域內常用的共識性典型算例，采用多智能體深度Q網絡模型進行加強筋生長式設計。獎勵值波動收斂后，對加強筋初步設計結果進行平滑處理，最終得到加強筋生長式設計結果，并將本文方法得到的設計結果與文獻［6］中經典算法的設計結果進行對比。

文獻［6］采用遺傳算法，通過對梁式加強筋兩端的坐標進行參數化表征與優化實現加強筋的設計。此方法允許加強筋在板殼單元內任意放置，能夠得到清晰流暢的加強筋布局。但該方法存在以下不足：①需要對加強筋進行參數化描述及復雜的計算，工作量與難度隨著工況的復雜和加強筋數量的增加而急劇增大;②難以對需要加強筋進行密集分布才能提高剛度性能的問題進行有效求解。針對上述問題，本文提出板殼加強筋生長式設計的強化學習驅動策略，克服了對梯度信息與先驗知識的依賴性，大大降低了設計難度，該方式可以有效解決某些特定區域需要加強筋密集生長才能達到的剛度強化需求。

4.1 角點固支方板

算例1為四角點固支的正方形薄板［6，11］，如圖5所示。中心P點受集中載荷F=200 N。基板長、寬均為0.2 m，厚度為3 mm，加強筋截面形狀為正方形，邊長為3 mm。材料彈性模量E=69 GPa，泊松比為0.33，加筋材料用量不超過薄板體積的25.5%。

在本算例中，設置加強筋生長“種子”數量為4，分別位于正方形薄板固支的四個角點，如圖6所示。在以應變能變化量為自變量的獎勵函數的引導下，加強筋從“種子”開始依照智能體ε-貪心策略選擇的方向生長。同時，DQN智能體不斷與加強筋仿真建模環境交互并進行網絡訓練。加強筋訓練獎勵值與訓練次數之間的關系如圖7所示。由圖7可知，訓練獎勵值具有上升并波動收斂的趨勢，這說明隨著訓練次數的增加，加強筋愈發朝著能夠減小更多應變能的方向生長，證明了所提出的基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計的有效性。

根據智能體訓練情況，得到加強筋生長式設計的初步設計結果，如圖8所示。然而，由于深度強化學習DQN模型是一種探索利用權衡的算法，ε-貪心策略具有采取的動作的不確定性和隨機性，會影響加強筋生長路徑的平滑性，故需要進一步地對初步得到的加強筋生長式布局進行平滑處理。將圖8所示的四張加強筋初步設計圖重疊，取重合的加強筋生長步，去除單獨的加強筋生長步，最終得到平滑處理后的加強筋生長式設計圖（圖9）。文獻［6］利用遺傳算法進行加強筋布局設計，最終設計結果如圖10所示。將最終得到的加強筋生長式設計結果與文獻［6］得到的設計結果對比后可以看出，本文方法得到的設計結果與遺傳算法得到的設計布局整體上一致，加強筋分布清晰合理，說明本文方法能夠有效地解決加強筋生長式設計問題。以應變能數值表征剛度，加強筋三維設計圖見圖11，經仿真計算得出結論如下：加強筋材料體積增量為8.43%，結構整體應變能減小40.79%。

4.2 單邊固支方板

選取單邊固支方板［6，20］作為另一個典型算例，其基本尺寸與算例1相同，包括薄板、加強筋的尺寸，集中載荷大小，材料的彈性模量、泊松比。其中，加筋材料用量不超過薄板體積的19.1%，載荷位于P點，如圖12所示。

在本算例中，設置加強筋生長“種子”數量為3，分別位于方板約束邊的頂點A、D與受力點P，如圖13所示。加強筋訓練獎勵值與訓練次數之間的關系如圖14所示。由圖14可知，訓練獎勵值具有上升并波動收斂的趨勢，這說明隨著訓練次數的增加，加強筋愈發朝著能夠減小更多應變能的方向生長，證明了所提出的基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計的有效性。

根據智能體訓練情況，得到加強筋生長式布局的初步設計結果，如圖15所示。對圖15所示的四張加強筋生長式布局的初步設計結果進行疊加，取加強筋重疊部分，去除單獨的加強筋，得到平滑處理后的加強筋布局設計圖（圖16）。根據本工況中方形薄板所承受的載荷、約束以及結構的對稱性，顯然其加強筋應當為對稱式分布。因此，分別對圖16a的上半部分與下半部分進行對稱處理，最終得到加強筋生長式設計圖（圖16b、圖16c）。從最終設計結果可以看出，本文方法得到的結果（圖16b、圖16c）與遺傳算法［6］得到的設計布局（圖17）整體上一致，加強筋分布清晰合理，說明本文方法能夠有效地解決加強筋分布設計問題。以應變能數值表征剛度，圖16b的加強筋三維設計圖見圖18a，經仿真計算得出結論如下：加強筋材料體積增加量為7.22%，應變能減小26.57%。圖16c的加強筋三維設計圖見圖18b，經仿真計算得出結論如下：加強筋材料體積增加量為8.99%，應變能減小19.57%。比較后可知，圖18a所示的加強筋在體積變化更小的情況下具有更大的應變能減小量，故性能更優。

5 結論

（1）本文運用馬爾可夫決策過程對板殼加強筋生長過程進行建模，通過多智能體深度Q網絡與加強筋生長環境的交互，實現了板殼加強筋的生長式設計。

（2）通過引入多智能體、共享狀態獎勵并記憶特定動作，降低了學習復雜度，最終實現獎勵值的波動收斂，達成板殼加強筋生長式設計策略。

（3）通過經典算例驗證了本文基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計的有效性，最終得到了清晰合理的加強筋設計布局。

本文論述的基于多智能體深度Q網絡交互的板殼加強筋生長式設計方法的實現過程印證了該方法在理論上對不同的板殼及受載工況均具有普適性。然而，由于該方法的研究仍然處于初步階段，故優先且著重考慮采用共識性算例來驗證其可行性與正確性，以期為后續進一步研究提供有效性支撐。后續將引入更為復雜的工況，以研究相關設計變量對優化結果的影響。

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（編輯 陳 勇）