彈塑性接觸沖擊永久變形與滑移長度的解析求解

摘要：在機械系統的設計與應用中，多體表面之間的彈塑性接觸沖擊現象是一個重要的力學問題，蘊含復雜的物理力學特性，對接觸力等關鍵參數的解析與表征還存在許多爭議與謎團。針對彈塑性傾斜接觸沖擊事件，根據Brake壓陷模型建立瞬時接觸力和接觸變形的計算式，用接觸變形系統地探討與描述彈塑性接觸沖擊過程；基于廣義動量定理，對沖擊持時、永久變形和滑移長度的內在關系進行解析，分別得到以積分形式表示的永久變形和滑移長度表達式，再結合已發表文獻中沖擊對象在接觸沖擊前后的運動試驗數據進行解析求解；測量接觸沖擊后被沖擊對象的變形區域并進行對比分析。試驗與數值結果表明：采用廣義動量定理所建立的方法求解永久變形和滑移長度，其計算結果與試驗值吻合較好，與采用Brake壓陷模型直接積分數學方程相比，該方法計算結果更準確。

關鍵詞：彈塑性；傾斜沖擊；沖擊持時；永久變形；滑移長度

中圖分類號：O343.3；TB122

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.08.006

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Analytical Solution of Permanent Deformations and Sliding Lengths

during the Elasto-plastic Oblique Contact-impacts

WANG Yao1 GUAN Enguang1 ZHANG Qinglei1， 2

1.College of Logistics Engineering，Shanghai Maritime University，Shanghai，201306

2.China（Shanghai） Institute of Free Trade Zone Supply Chain，Shanghai Maritime University，

Shanghai，201306

Abstract： For the design and applications of mechanical systems， the elasto-plastic contact impact phenomenon among the multi-body surfaces was one of the key mechanics problems， which contained complex physical and mechanics properties. There still were many controversies and mysteries regarding the analysis and characterization of key parameters such as contact force. For the elasto-plastic oblique contact-impact events， the calculated formulas of instantaneous contact forces and contact deformations were established based on the Brake indentation model， and the elasto-plastic contact impact process from the contact deformations was described systematically in detail. The internal relationship among impact duration， permanent deformation and sliding length was analyzed analytically based on the generalized momentum theorem， and the permanent deformations and sliding lengths expressed in the integral form were obtained respectively， and then， combined with testing data for the motions of the impact objects before and after contact impact reported in literatures， the analytical solution was obtained. The deformation region of the impacted object after the contact impact was measured， and the comparative analysis was also performed. The experimental and numerical results show that the calculated results of the permanent deformations and sliding lengths solved by using the approach developed by the generalized momentum theorem are found to be in good agreement with the experimental data. And this approach yields more accurate results compared to the direct integration of mathematical equations using the Brake indentation model.

Key words： elasto-plastic； oblique impact； impact duration； permanent deformation； sliding length

0 引言

對于機械系統的設計與應用，接觸沖擊（或碰撞）現象是一個重要的力學問題，普遍存在于機械裝配或組件系統中［1-6］，如螺紋連接、軸承裝配、凸輪或齒輪高副機構、車輛碰撞、航天器交會對接、機器人結構等。自1882年赫茲接觸（Hertzian contact）理論提出以來［7］，接觸沖擊問題已經被研究了近一個半世紀，但由于相關接觸沖擊理論以及影響因素的復雜性［8-10］，學者和工程技術人員對這一問題的認識、理解及拓展依然有局限性。

接觸沖擊問題通常可描述為不同物體（兩個或多體）表面之間的相互接觸沖擊所產生的復雜局部力學行為［11-12］，如恢復系數、接觸區域、接觸變形、接觸力等，整個過程的沖擊持時極短（量級為微毫秒），且伴隨有復雜的非線性接觸力變化和明顯的沖擊對象運動學參數變化；同時，這些變量參數又受到諸多因素的影響［13］，如初始條件、材料屬性、幾何形狀、表面質量、應變硬化、摩擦振動等。從材料變形性能角度看，任何接觸沖擊事件可劃分為三種狀態：完全彈性、彈塑性和完全塑性。以金屬表面之間的接觸沖擊為例［14-15］，完全彈性狀態存在非常小的接觸變形且可恢復，彈塑性狀態則從接觸表面下的某一深度開始（發生屈服），再過渡到完全塑性狀態（部分接觸變形可恢復），直到產生永久變形。實際上塑性狀態可認為是彈塑性狀態的一個極限，而完全塑性狀態極有可能導致機械故障。因此，大多數接觸沖擊事件是存在于彈塑性狀態的，這也是研究該問題最復雜的一個接觸階段。在彈塑性接觸沖擊模型的研究方面，主要可分為壓陷模型和扁平模型兩類，其主要區別在于接觸沖擊機理不同，前者是剛性沖擊對象壓入變形的被沖擊對象中，代表模型如Brake模型［16］等；而后者是變形的沖擊對象壓在剛性被沖擊對象上，代表模型如Jackson-Green模型［17］等。也有學者認為兩個接觸對象均發生變形，如Gheadnia模型［18］等；還有學者從阻尼角度建立了黏彈性/黏彈塑性模型［19］等。總體來說，針對不同的應用對象，各個模型所構建的表達式對彈塑性接觸沖擊的分析各有優劣，并且由于彈塑性狀態下應力分布的復雜性以及接觸變形與路徑相關的依賴性，彈塑性狀態沒有封閉解。

對于彈塑性接觸沖擊問題，研究者主要關注接觸沖擊過程的運動學和動力學參數變化規律，如接觸力、接觸變形、恢復系數、摩擦類型等。其中，接觸力與接觸變形的變化規律由所建立的接觸沖擊模型決定；對于恢復系數［20］，常見的定義有運動恢復系數、泊松恢復系數、能量恢復系數等，均可通過接觸力和沖擊持時的組合，以沖量形式來建立其表達式，從而在運動學分析時，不必關注接觸力瞬態變化的影響；對于傾斜接觸沖擊事件，摩擦因數起著重要的作用，在不同的初始傾斜角下，其摩擦類型是不同的，關系到沖擊對象是否發生滑動摩擦，因此，滑移長度也是一個重要的表征參數。

本文以彈塑性材料為研究對象，針對彈塑性傾斜接觸沖擊事件，首先系統地探討和描述其彈塑性接觸沖擊過程；然后將沖擊持時、永久變形和滑移長度聯系起來，基于廣義動量定理建立彼此之間的內在關系，旨在得到永久變形和滑移長度這兩個表征參數的解析表達式；在此基礎上，再結合沖擊對象在接觸沖擊前后的運動試驗數據對其進行解析求解；最后采用OLYMPUS激光共聚焦掃描顯微鏡（CLSM）測量變形區的三維輪廓，對所建立的方法進行試驗與數值結果對比分析，以驗證解析模型的正確性。

1 彈塑性接觸沖擊

對于接觸沖擊問題，以球體垂直沖擊大質量固體平面為例，根據泊松恢復系數的定義可將接觸沖擊過程分為壓縮和恢復兩個階段。如圖1所示，壓縮階段從沖擊物體與被沖擊物體相互接觸開始，直到接觸力達到最大值，此時壓縮階段結束、恢復階段開始，而當接觸力為零時，接觸沖擊結束。該接觸沖擊過程的描述實際上是關注了接觸沖擊之后的狀態，即恢復系數（或沖量）是一個重要表征參數；由于恢復系數狹義上僅與碰撞物體的材料屬性有關［21］，故其整個接觸沖擊過程的接觸力沖量是近似恒值，即接觸力時間曲線所圍成的陰影面積。

從壓陷或扁平接觸模型分析［8-9，12-18］，接觸沖擊過程可分為彈性、彈塑性和恢復三個階段。其中，彈性和彈塑性兩個階段為加載階段，而恢復階段為卸載階段。如圖2所示，彈性階段從碰撞兩物體發生接觸沖擊開始，直到兩物體中的弱材料發生屈服為止，此時彈性階段結束而彈塑性階段開始；當沖擊物體的接觸點法向速度為零時，接觸變形和接觸力均達到最大值，此時彈塑性階段結束而恢復階段開始；在恢復階段，部分接觸變形將反向恢復，當接觸力減小到零時，接觸變形達到永久變形，接觸沖擊結束。該接觸沖擊過程的描述，實際上是關注了整個接觸沖擊過程中的狀態，即接觸力和接觸變形是兩個重要的表征參數。

本文考慮末端圓形桿件B傾斜沖擊固體平面S的接觸沖擊事件。其中，桿件B和平面S是由彈塑性材料構成的研究對象，材質分別為20鋼和巴氏合金（牌號ZSnSb11Cu6）；桿件B的尺寸參數：長度L、直徑d，兩端半球形圓頭半徑R=d/2；平面S的外形尺寸：長×寬×高為100 mm × 100 mm × 5 mm，表面粗糙度Ra不超過1.6 μm。

1.1 系統動力學模型

桿件B和平面S組成了典型的桿件平面系統。圖3為系統運動鏈示意圖，固定坐標系為笛卡兒坐標系，對應正交基矢量為（i，j，k），傾斜沖擊角為θ，桿件B質心為C，重力為G，接觸點為E，接觸力為F。根據力的分解運算，接觸沖擊過程中接觸力的法向分量為Fn、切向分量為Ft。

根據圖3所示固定坐標系，從桿件B接觸沖擊平面S開始，接觸點E的位置向量可表示為

rE=xi+δj（1）

式中，x為接觸點E的切向位移；δ為接觸點E的法向位移，即接觸變形，表示接觸表面下的某一深度。

質心C的位置向量為

rC=［xi+（δ+R）j］+L－d2（－icos θ+jsin θ）（2）

桿件B的角速度向量和角加速度向量分別為

ω=θ·k" α=θ¨k（3）

對式（1）、式（2）分別求時間t的一階導數，即可得到質心C和接觸點E的速度向量：

vC=drCdt（4）

vE=vC+ω×（rE－rC）（5）

同理，對速度向量求時間t的一階導數，即可得到質心C和接觸點E的加速度向量：

aC=d2rCdt2（6）

aE=aC+α×（rE－rC）+ω×［ω×（rE－rC）］（7）

根據牛頓歐拉（Newton-Euler）方程，得到桿件B的運動方程：

maC=Fti+（Fn－G）j

ICα=（rE－rC）×（Fti+Fnj）（8）

G=mg" Ft=－μkFnvEi|vEi|

式中，m為桿件B的質量；IC為桿件B質心的轉動慣量；g為重力加速度；μk為動摩擦因數。

對于初始接觸沖擊條件，桿件B屬于自由落體運動，由質心C的初始墜落高度H決定。

1.2 彈塑性接觸沖擊

圖4為接觸變形示意圖。從接觸變形角度系統地探討與描述彈塑性接觸沖擊過程各個階段的變化規律并建立數學模型。用赫茲接觸理論［7］分析彈性階段和恢復階段；基于Brake壓陷模型［12，16，18，22］分析彈塑性階段。

等效彈性模量E′和等效曲率半徑R′分別為

1E′=1－μ2bEb+1－μ2fEf

1R′=1Rb+1Rf（9）

式中，Eb、Ef分別為桿件B和平面S的彈性模量；μb、μf分別為桿件B和平面S的泊松比；Rb、Rf分別為桿件B和平面S的半徑。

由于Rb=R，Rf=∞，故R′=R。對于彈性階段［7］，接觸力Fe和接觸半徑a分別為

Fe=43E′R0.5δ1.5（10）

a=Rδ（11）

彈性階段從桿件B與平面S發生接觸開始，直到兩碰撞物體中的弱材料發生屈服。根據von Mises屈服準則，屈服變形（即臨界接觸變形）δy為

δy=RFμ（πσy2E′）2（12）

Fμ=maxz≥0［－（μ+1）（1－zaarctanaz）+1.5a2a2+z2］2

式中，Fμ為應力場最大振幅；μ為碰撞兩物體中弱材料的泊松比；z為接觸表面之下的距離，即接觸變形δ；σy為碰撞兩物體中弱材料的屈服應力。

當δgt;δy時，彈塑性階段開始，直到接觸變形達到最大變形δm。Brake壓陷模型［16，22］認為該階段彈性效應從近場平滑過渡到遠場，并且隨著塑性區域的增大，彈性區域呈現衰減變化趨勢。彈塑性階段的接觸力Fep和接觸半徑aep分別為

Fep=sech（（1+nε）δ－δyδp－δy）·43E′R0.5δ1.5+

（1－sech（（1－nε）δ－δyδp－δy））·p0πanan－2p（13）

aep=Rδ［2－sech（（1－nε）δ－δyδp－δy）］（14）

p0=106H′g" H′=（2Hb+2Hf）－1" nε=n－2

ap=［3p04E′2n/2πR（n－1）/2δ（n－3）/2］1/（n－2）

式中，nε為應變硬化指數；n為Meyer硬度指數［23］；δp為塑性變形；ap為塑性變形時的接觸半徑；p0為不考慮應變硬化且均布的接觸壓力；H′為等效布氏硬度；Hb、Hf分別為桿件B和平面S的布氏硬度。

恢復階段從接觸變形達到最大變形開始，直到發生永久變形δr，即不可恢復變形。對于恢復階段［8，10，14-18，22］，假設沒有反向屈服發生。在此階段，其接觸力Fr和接觸半徑ar分別為

Fr=43E′R0.5r（δ－δr）1.5（15）

ar=Rr（δ－δr）（16）

Rr=（3Fm4E′）2·1（δm－δr）3

δr=δm（1－3Fm4E′R0.5δ1.5m）

式中，Rr為恢復階段的等效曲率半徑；Fm為最大變形時的最大接觸力。

1.3 直接積分數學方程

采用MATLAB的ODE45函數對上述模型進行數值求解，即可得到沖擊持時、接觸變形、接觸力、桿件運動變量（如位置、速度、加速度、角度、角速度）以及恢復系數等參數的數值解。其中，永久變形δr和滑移長度Ls可通過接觸點E的位置變化曲線獲得，也可用直接積分數學方程來等價表示，即

δr=∫T0vEjdt（17）

Ls=∫T0vEidt（18）

式中，T為沖擊持時。

2 解析求解方法

本文第一作者等的前期工作［8］中：基于數字圖像處理方法，通過設計多標識點的沖擊試驗，描述與跟蹤了沖擊對象在接觸沖擊過程中的運動規律，即桿件B任意標識點的位置、速度及角速度變化曲線均可通過實驗后處理求得。結合沖擊對象在接觸沖擊前后的運動試驗數據，基于廣義動量定理對沖擊持時、永久變形和滑移長度的內在關系進行解析分析，建立永久變形和滑移長度更為準確的解析求解方法。

在沖擊持時T內，基于廣義動量定理，可得

∫T0Fdt=m（vCf－vCi）（19）

式中，vCi、vCf分別為桿件B質心C接觸沖擊始、末速度。

如圖3所示，令固定坐標系的原點與接觸點E重合，則質心C的位置向量可表示為

rC=－L－d2icos θ+（L－d2sin θ+R）j（20）

設接觸點E的初始沖擊速度為

vE（t=0）=0i+vij（21）

式中，vi為接觸點E的初始法向速度。

則在接觸沖擊過程中，質心C的速度向量為

vC=vij+1m∫t0Fdt（22）

將接觸力進行分解運算，式（22）可改寫為

vC=（1m∫t0Ftdt）i+（vi+1m∫t0Fndt）j（23）

設接觸沖擊過程中桿件B所受力矩為M，根據角動量定理，則桿件B的角速度可表示為

ω=1IC∫t0Mdt（24）

同理，將力矩M進行分解運算，結合式（20），式（24）可改寫為

ω=1IC［L－d2cos θ∫t0Fndt－

（L－d2sin θ+R）∫t0Ftdt］k（25）

在接觸沖擊過程中，接觸點E的速度向量為

vE=vExi+vEyj=vC+ω×rCE（26）

rCE=L－d2icos θ－（L－d2sinθ+R）j

接觸沖擊過程中的摩擦因數μ′可表示為

μ′=∫t0Fxdt∫t0Fydt=vCfi－vCiivCfj－vCij（27）

將式（23）、式（25）和式（27）代入式（26），化簡后得

vEx=［（1m－1IC（L－d2sin θ+R）2）μ′+

1IC（L－d2sin θ+R）（L－d2cos θ）］∫t0Fndt（28）

vEy=vi+［1m+1IC（L－d2cos θ）2－

1IC（L－d2sin θ+R）（L－d2cos θ）μ′］∫t0Fndt（29）

定義兩個中間量λ1和λ2：

λ1=L－d2sin θ+R" λ2=L－d2cos θ

對式（29）進行積分，可得到永久變形δr：

δr=∫T0vEydt=∫T0vidt+φ1∫T0∫t0Fndt（30）

φ1=IC+mλ22－μ′mλ1λ2mIC

同理，由式（28）可得到滑移長度Ls：

Ls=∫T0vExdt=φ2∫T0∫t0Fndt（31）

φ2=mλ1λ2+μ′（IC－mλ21）mIC

聯立式（30）和式（31），可得：

Ls=φ（δr－viT）（32）

φ=φ2φ1=mλ1λ2+μ′（IC－mλ21）IC+mλ22－μ′mλ1λ2（33）

式中，φ定義為比例因子。

結合圖3，分析式（32）可得以下關系：① δr≤0，vi≤0且T≥0；② δr－viT≥0。證明如下：因為|vEy|≤|vi|，那么|∫T0vEydt|≤|viT|，即|δr|=|∫T0vEydt|≤|viT|，所以δr－viT≥0。

由式（32）和式（33）可知：比例因子φ將滑移長度、永久變形和沖擊持時聯系起來，其正負實際上決定了滑移的方向；當桿件B的幾何參數確定后，比例因子φ是一個關于傾斜沖擊角θ和摩擦因數μ′的函數。圖5所示為不同摩擦因數μ′∈［0，1］下φ隨θ的變化規律。

分析圖5可知：①對于任意摩擦因數的比例因子變化曲線，均存在正負號變化的現象，這是因為隨著傾斜沖擊角的增大，摩擦力矩越來越大于法向力矩，越容易產生黏著摩擦；②不同摩擦因數下的比例因子變化曲線存在一個交點，即當θ=51°時，φ≈0.692；③當0≤θ≤51°時，隨著摩擦因數的增大，傾斜沖擊角對應的比例因子越大，且曲線形狀呈現上凸趨勢；而當51°lt;θ≤90°時，隨著摩擦因數的增大，對應的比例因子曲線形狀越來越呈現V形，即先增大后減小；④隨著摩擦因數的增大，比例因子出現符號變化所對應的傾斜沖擊角越小。

3 試驗數據

本文第一作者等的前期工作［8］中：采用3D高速攝像機跟蹤捕獲了沖擊對象上各標識點的運動學數據，完成了傾斜沖擊角θ為45°、墜落高度H為0.05～0.85 m（間隔0.05 m）的傾斜接觸沖擊試驗。其中，桿件B的長度L和直徑d分別為150 mm、18 mm。使用數字圖像處理方法分析所采集的視頻圖像，得到沖擊對象在接觸沖擊前后的運動試驗數據，如圖6～圖8所示。

由圖6可知：對于接觸點E的切向速度，其接觸沖擊前理論值均為零，沖擊前試驗值的最大絕對誤差與平均絕對誤差分別為0.1012 m/s、0.067 m/s；接觸沖擊后理論值隨墜落高度的增加而增大，試驗值盡管存在一定的波動，

但變化基本趨勢相似，當H≤0.2 m時，其誤差值較大，這是因為當墜落高度較小時，桿件B除接觸點之外的部分甚至還感覺不到沖擊，即受到應力分布速度的影響，而當0.2 m＜H≤0.85 m時，其最大相對誤差與平均誤差分別為16.84%、10.27%。

由圖7可知：對于接觸點E的法向速度，其接觸沖擊前后的理論值均隨墜落高度的增加而增大，相應試驗值盡管存在一定的波動，但變化基本趨勢相似；接觸沖擊前試驗值的最大相對誤差與平均相對誤差分別為12.04%、6.23%；受到應力分布速度的影響，與接觸點E切向速度沖擊后的情況類似，當H≤0.2 m時，接觸沖擊后的誤差值較大；而當0.2 m＜H≤0.85 m時，接觸沖擊后試驗值的最大相對誤差與平均相對誤差分別為19.36%、10.82%。

由圖8可知：對于桿件的角速度ω，其接觸沖擊前理論值均為零，沖擊前試驗值的最大絕對誤差與平均絕對誤差分別為0.2034 rad/s、0.093 rad/s；接觸沖擊后理論值（負號代表方向）隨墜落高度的增加而增大，試驗值盡管存在一定的波動，但變化基本趨勢相似，其最大相對誤差與平均誤差分別為20.44%、8.39%。

每次接觸沖擊事件完成后，用記號筆對變形區輪廓進行框選標記，再采用CLSM測量得到變形區域的三維輪廓。由于表面粗糙度（Ra≤1.6 μm）的影響可以忽略，故輪廓區域內距離表面的最小值點即最大深度對應永久變形，而變形區域內最小值點所在的輪廓最大長度與寬度之差對應滑移長度。圖9所示為初始墜落高度0.30 m、傾斜沖擊角45°下變形區域的三維輪廓，所測得的永久變形δr為347.9 μm，滑移長度Ls為42.8 μm。

4 結果與分析

桿件B和平面S的材料屬性參數如下：桿件B的密度7850 kg/m3，彈性模量206 GPa，泊松比0.28，屈服強度248 MPa；平面S的密度7737 kg/m3，彈性模量48 GPa，泊松比0.285，屈服強度66 MPa。本文重點關注永久變形和滑移長度這兩個表征參數，分別對基于Brake壓陷模型直接積分法和基于廣義動量定理建立的解析求解法進行數值求解，并與試驗結果進行對比分析。

4.1 摩擦因數

將運動試驗數據代入式（27）計算可以得到不同墜落高度H下的摩擦因數μ′，如圖10所示。由圖10可知：摩擦因數隨墜落高度（即初始沖擊速度）的增加而增大，且當墜落高度大于0.45 m時，摩擦因數趨于波動穩定，見圖10中虛線擬合線。

4.2 比例因子

當傾斜沖擊角θ=45°時，由式（33）計算得到不同墜落高度H下的比例因子φ，如圖11所示。由圖11可知：隨墜落高度的增加，比例因子先增大、后趨于波動穩定，見圖11中虛線擬合線；結合圖10分析可知：不同墜落高度下比例因子與摩擦因數的變化規律呈相似變化趨勢，存在正相關關系。

4.3 恢復系數

恢復系數e能夠表征接觸沖擊物體的變形恢復能力。圖12所示為Brake壓陷模型的恢復系數計算值與試驗值的對比分析。由圖12中試驗擬合線（虛線）可知：隨墜落高度的增加，恢復系數先減小、后趨于穩定，即當Hgt;0.45 m時，e≈0.1531；與試驗值相比，Brake模型的恢復系數計算值整體上偏大，但變化趨勢相一致，且當Hgt;0.65 m時，e≈0.1601，其平均相對誤差為3.88%，而當H≤0.65 m時，Brake模型計算值偏差較大，其平均相對誤差為19.65%。分析原因如下：由于巴氏合金材料本身具有良好的鑲嵌性與減摩性［24］，因而在低速沖擊下，其彈性域衰減可能會更快；再者巴氏合金力學性能受制造工藝的影響，那么應變硬化［25］是一個重要的修正量因素。由此，該模型彈塑性階段的表達式需要進一步分析與驗證。

4.4 永久變形

圖13所示為永久變形δr的試驗值與Brake模型數值解、廣義動量定理解析解的對比分析。由圖13可知：Brake模型、廣義動量定理解析法與試驗值的變化趨勢一致，即δr的試驗值隨墜落高度H的增加呈現遞增的變化趨勢；對于Brake模型，其最大相對誤差為13.24%，平均相對誤差為9.21%；而廣義動量定理解析法的最大相對誤差為6.07%，平均相對誤差為3.02%，可見，廣義動量定理解析法與試驗值吻合較好且與Brake模型相比，其計算結果更準確。分析原因如下：Brake模型中忽略了振動響應對運動參數及接觸變形的影響［8，14］，隨著墜落高度的增加，振動響應越明顯，而廣義動量解析法與沖擊前后質心C的運動參數（實驗數據）相關。

4.5 滑移長度

圖14所示為滑移長度Ls的試驗值與Brake模型數值解、廣義動量定理解析解的對比分析。由圖14可知：隨墜落高度H的增加，Ls的試驗值整體呈遞增趨勢；對于Brake模型，其滑移長度數值解均大于試驗值，約為試驗值的1.9倍，且曲線變化率逐漸減小，但明顯大于試驗曲線變化率；而廣義動量定理解析法求解的滑移長度變化曲線，則在試驗曲線附近存在一定的波動現象。廣義動量定理解析法求解的滑移長度變化曲線，其平均絕對誤差為10.5 μm，平均相對誤差為19.88%，但相比Brake模型，其計算結果與試驗值更接近。

分析原因如下：①結合圖6～圖8的分析，對于采用Brake壓陷模型直接積分數學方程求解方法，其接觸沖擊后運動參數（如接觸點E的切向/法向速度、桿件的角速度）與試驗值的平均絕對誤差約10%，這是造成求解滑移長度誤差很大的重要因素，在振動響應的影響研究方面已有發現［8，14］；②采用廣義動量定理所建立的求解方法，雖然在求解永久變形上，因為變量參數取自實驗數據而呈現較好的表現，但對于求解滑移長度，相較于共識的允許誤差仍較大，極可能的原因在于桿件接觸點處自身的變形影響（即碰撞兩物體均發生變形［18，26］），該變形雖對永久變形的求解有一定影響，但相當于系統誤差（接觸點E的y向速度），而對于滑移長度，則存在摩擦學要素的影響，例如摩擦類型、摩擦因數、應變硬化、硬度、摩擦蠕變等［27-28］，這都將導致接觸力變化的強非線性特征；③研究中的每個實驗數據是在不同墜落高度下的獨立沖擊事件，盡管是同一個沖擊平面S，但其接觸點局部性質并不完全相同，那么桿件B的運動參數誤差會對解析計算產生一定的影響；④由于巴氏合金的力學/摩擦學特性［29-30］，黏著摩擦很可能造成波動。因此，在后續研究中還需進行更多實驗設計，如碰撞兩物體材料互換、其他彈塑性材料等，修正與完善模型，以提高模型的精度與普適性。

5 結論

（1）本文以桿件B和平面S組成的桿件平面系統（彈塑性材料）為研究對象，首先建立了系統運動學模型，根據Brake壓陷模型建立了瞬時接觸力和接觸變形的計算式，系統地描述了彈塑性接觸沖擊過程，永久變形和滑移長度可由直接積分數學方程求解；其次結合沖擊對象在接觸沖擊前后的運動試驗數據，基于廣義動量定理對沖擊持時、永久變形和滑移長度的內在關系進行了解析分析，建立了永久變形和滑移長度的解析求解方法；最后通過運動參數、永久變形與滑移長度的試驗數據，對比分析了Brake模型數值解和廣義動量定理解析解。

（2）提出了比例因子φ的概念，從而將滑移長度、永久變形和沖擊持時聯系起來，其正負號決定了滑移的方向；φ是一個關于傾斜沖擊角θ和摩擦因數μ′的函數，對于任意摩擦因數的比例因子變化曲線，均存在正負號變化的現象，換言之，隨著傾斜沖擊角的增大，摩擦力矩越來越大于法向力矩，越容易產生黏著摩擦。

（3）對于傾斜沖擊角θ=45°、不同墜落高度H下的接觸沖擊事件：對于摩擦因數μ′和比例因子φ，兩變量的變化規律呈現相似變化趨勢，存在正相關關系；對于恢復系數e，Brake模型的恢復系數計算值整體上偏大，但變化趨勢與試驗值相一致；對于永久變形δr，Brake模型、廣義動量定理解析法與試驗值的變化趨勢一致，廣義動量定理解析法與試驗值吻合較好且與Brake模型相比，其計算結果更準確；對于滑移長度Ls，Brake模型的滑移長度數值解均大于試驗值（約1.9倍），而廣義動量定理解析法則是在試驗曲線附近存在一定的波動現象，相比Brake模型，其計算結果與試驗值更接近。

未來的研究方向如下：一方面對Brake模型彈塑性階段的表達式進行進一步的分析、修正與完善，以優化模型對恢復系數的表征效果；另一方面，考慮相關影響因素，如黏著摩擦判斷，優化廣義動量定理解析法，提高對滑移長度的求解精度，并且在后續研究中，需要進行更多的實驗設計（如碰撞兩物體材料互換等），以提高模型的普適性。

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（編輯 陳 勇）