幾何視角下翻折問題的求解策略

摘要：中考是初中階段的一場大型選拔性考試，全面考查學生的數學核心素養.幾何變換中的翻折（折疊、對稱）問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學生的識圖及靈活運用數學知識解決問題的能力.文章以2023年江蘇省各地中考試題為例，說明翻折問題的求解策略.

關鍵詞：幾何視角；翻折問題；求解策略

中圖分類號： G 632文獻標識碼： A 文章編號：1008-0333（2024）20-0026-03

收稿日期：2024-04-15

作者簡介：許安冉（2001.3—），女，江蘇省鎮江市人，碩士，從事數學教學研究.

翻折的本質是軸對稱變換，在翻折問題中，直角三角形、矩形、菱形是最常見的翻折對象.翻折問題形式變化多樣，但無論如何變化，其解題離不開全等三角形、相似三角形、勾股定理及三角函數等基礎知識.從已知條件出發，找到對折操作過程中隱藏的結論，往往是解決問題的關鍵.從試題特征來看，翻折問題可分為兩類，即直接計算型和復合計算型.文章通過對翻折問題的梳理和分析，為學生建立直觀印象，提高學生分析問題的解決問題的能力.

1直接計算型

點評本題主要考查勾股定理、等邊三角形的性質、菱形的性質及圖形的翻折.借助菱形的性質可求出有關角的度數及線段的長度，借助圖形的軸對稱變換可得到對應角、對應線段相等，最后在直角三角形中利用勾股定理可求得結果.

由以上兩例可以看出，這類問題最基本的特征是翻折前后的兩個圖形全等，從而得到相等的線段和相等的角，最后借助勾股定理列方程解決問題.在問題求解過程中，所涉及的圖形是等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形等基本圖形，所考查的知識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》規定的最基礎的知識，所運用的方法也是學生常見的解題方法，體現了體現試題的基礎性，其難度較小，這類問題多以選擇題和填空題的形式出現.因此，在初中數學教學中，教師要依標據本，立足基礎，強化基礎概念教學[1]，為后續學習奠定堅實基礎.

2復合計算型

點評本題主要考查等腰三角形的性質、菱形的性質、軸對稱變換等知識.根據已知條件，△ABF是等腰三角形，并沒有指定腰與底邊，故需結合圖形特征，將目標三角形分三種情況討論，這對培養學生的直觀想象素養與分析能力有積極作用.

由以上幾例可以看出，幾何圖形翻折的性質在問題解決過程中發揮了重要作用.翻折的本質是圖形的軸對稱，其對應線段、對應角相等.結合問題中的已知條件，利用全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識即可解決問題.這類問題綜合性較強，對學生而言具有一定的難度，這類問題大多以解答題的形式出現，某些特殊問題還需分情況討論.在初中數學教學中，教師應從簡單的模型入手，幫助學生理解知識本質，再利用例題及其變式訓練，促使學生在原有知識的基礎上發展創新，形成基本的解題思路與方法，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力.

3結束語

翻折問題實質是軸對稱變換與三角形、四邊形等基本圖形相結合的綜合性問題，在問題求解過程中，學生能夠經歷獲取知識的過程，在知識的融合中抽象、概括、提煉出翻折的基本模型.翻折問題的求解方法較為靈活，可以更好地考查學生對基礎知識的掌握程度及靈活運用所學知識解決問題的能力，這就需要教師在平時教學中確保學生掌握基礎知識.在“雙減”政策背景下，為提升教學質量，教師需優化教學方式，確保學生在課堂上學足學好，作業布置需更加科學合理，以此提升學生運算能力、推理能力、直觀想象能力、抽象能力和數學建模能力，使學生掌握翻折問題的同時養成良好的學習習慣，形成積極的情感、態度和價值觀，逐步形成核心素養[2].

參考文獻：

［1］ 錢洋，錢德春.以“折”引探探中尋果執果索因：2023年江蘇泰州卷第24題特點分析與命題思考[J].中學數學雜志，2023（10）：56-60.

[2] 蔡定宏，涂建華，肖英.基于模型培養思維提升素養：與翻折變換有關的計算問題主題復習[J].中學數學教學參考，2023（14）：57-60.

［責任編輯：李璟］