直覺思維——開啟數學發現的金鑰匙

摘"要：學生的數學思維除了邏輯思維以外，直覺思維也是一種重要的思維方式，它在數學學習中有助于探索與發現，有助于概念的生成與知識的建構，有助于對結論或解題方向做出預見，有助于提高學生創造性思維品質等等.根據高中生數學直覺思維的現狀，在教育教學過程中可以通過夯實學生數學基礎、設置合適的問題情境和動機誘導、滲透數學的美學教育、在解題教學中通過學法指導培養學生的數學直覺思維.

關鍵詞：直覺思維；合情推理；邏輯演繹；數學解題

數學，作為自然科學之母，人類思維的體操，在培養人的聰明才智和發展思維能力方面具有其他學科不可替代的獨特作用.新的數學課程標準首次明確將學生數學合情推理能力的培養作為高中數學教學的重要目標之一，而合情推理離不開直覺思維.正是直覺思維賦予了合情推理想象的雙翼，引領人們不斷去探索、去發現、去創造.作為一名一線數學教師，本文根據學生的實際情況，結合自己的教學實踐，對培養學生的數學直覺思維做了些研究.旨在通過本文能給一些人帶來對數學認識上的轉變，并通過對學生數學直覺思維能力的培養，不斷提高學生數學學習興趣，變被動學習為主動學習，充分享受數學學習過程中的成功喜悅.

1"數學直覺思維的概述

數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動，是人腦對數學對象、關系以及結構的一種迅速的識別、直接的理解、綜合的判斷，也可以說是數學的洞察力.這種思維對一個問題無需逐步分析，僅依據內因的感知即可迅速地對問題答案做出判斷、猜想、設想，或者在對疑難問題百思不得其解時，突然對問題有“靈感”和“頓悟”，就如同古詩中講的“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺.從某種意義上說，數學直覺思維是合情推理的飛躍與突破，它使得合情推理更富建設性與創造性.

2"高中生數學直覺思維能力的現狀

中學數學在揭示客觀事物的形與數及其關系時，主要不是借助實驗的方法，而是通過嚴格的邏輯推理來實現的.正是這種原因，導致在傳統的數學教學中，我們教師過分偏重數學的邏輯演繹，過度強調數學的“嚴謹、準確、邏輯性”等形式成分，忽略了對學生數學直覺思維能力的培養，很少讓學生去觀察、去感悟、去猜想，使得原本生動有趣的數學變得枯燥乏味、晦澀難學，從而制約了學生健全數學思維品質的形成.因此當我們提到數學思維能力時，學生就把它等同于邏輯思維能力，以為只有邏輯思維才對數學學習與數學發現有作用.筆者對學生在數學學習中對數學直覺思維的認識、問題解決過程中直覺思維的應用傾向、數學學習能力高低對直覺思維在數學問題解決過程中運用的影響等方面做了份問卷調查.調查結果顯示，近30%的學生完全不清楚什么是數學的直覺思維；在問題解決過程中，近46%的學生靠以前的解題經驗、直覺判斷問題的類型和選擇解題策略；近54%的學生在探尋解題思路時更多的是從一個或其中幾個已知條件進行分析，邏輯思維運用多；33%的學生偶爾會出現一個問題思考很久卻不得其解，突然在某一時刻產生靈感，茅塞頓開的情況；75%的優秀學生在數學解題過程中主要還是通過嚴謹的推理和論證，即邏輯思維要多于直覺思維，而中等生更多運用的是形象思維和直覺思維——利用已有的知識經驗，直接對問題進行猜想判斷，然后才是邏輯思維.

3"如何在教學中培養高中生的數學直覺思維能力

高中生一方面喜歡“異想天開”，有強烈好奇心.另一方面受知識和思維能力的限制，對某個數學問題往往會有種“說不清，道不明”的感覺，所以高中階段是對他們進行直覺思維能力培養的最佳時期.在數學教學中，如何培養與激發學生的直覺思維呢？筆者認為創設良好的學習氛圍，在學習中注重學生觀察、實驗、歸納、類比的能力的培養，重視美學教育，加強數學思想方法的滲透和學法的指導是行之有效的方法.

3.1"扎實的數學基礎是產生數學直覺的源泉

直覺的獲得雖然具有偶然性，但絕不是完全靠憑空想象，靠“機遇”的，而要以堅實的數學知識為基礎.若學生沒有深厚的功底，是不會迸發出思維的火花的.學生常常驚訝教師解題思路的“快、簡、妙”，殊不知，教師一題在手，何嘗不是“十月懷胎”方可“一朝分娩”，所以學生數學直覺思維的培養首先要重視“三基”的夯實.

例1nbsp;已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）.

求證：不論m為何值，直線l與圓C恒相交.

分析：這是一個判斷直線與圓的位置關系問題，表面上是代數問題，但直覺告訴我們用代數方法來證明這個問題是很困難的.若能聯想到“直線過圓內一定點，則直線必與圓相交”這一結論，則會從求直線恒過定點入手去證題.此題若沒有堅實的數學知識基礎，學生就很難聯想到通過求直線恒過圓內定點來證題，或者即使想到了，不會求定點也不行，可見堅實的數學基礎對產生數學直覺的重要.

3.2"合適的問題情境和動機誘導是形成數學直覺的關鍵

興趣是最好的老師.教師在教學中創設合適的問題情境可以激發學生學習數學的興趣和求知欲.問題情境的設置要符合學生已有的認知水平，并與學生的現有認知水平之間存在著一定的認識沖突.這種沖突能誘發學生數學思維的積極性.當學生對數學問題給出自己大膽的見解和設想時，教師要給予充分的肯定和鼓勵，以此保護和激勵學生的自發性直覺思維.

例如，在推導球的體積公式時教師不是把公式作為結果直接拋給學生，而可以通過實物展示，在底半徑和高均為R的圓柱和圓錐中間放置一個半徑也為R的半球，學生由直覺目測就能得到V圓柱gt;V半球gt;V圓錐，圓柱和圓錐的體積學生已能求出來，即33πR3gt;V半球gt;13πR3，這時可以鼓勵學生大膽預測半球的體積，膽大的學生會猜測V半球=23πR3，這時對猜測出結果的同學既要鼓勵又要提出更高的要求，如何驗證？然后教師通過裝填細沙的實驗驗證半球體積即圓柱與圓錐體積之差與猜想吻合，最后通過尋找等積體的方法用數學工具去證明實驗結果.整個過程從猜想到最后的證明，既能激發學生的學習興趣，又對培養學生的直覺思維能力非常有利.

3.3"數學審美觀的滲透是培養數學直覺的動力

新課程對學生的評價是多元的.除了關注學生的知識和技能的獲得情況，更關注學生學習的過程與方法、情感態度與價值觀、審美藝術素養等方面的發展.數學直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，提高審美能力有利于感知研究對象的和諧與整體性.審美能力越強，則數學直覺能力也越強.數學的美推動了學生積極展開直覺思維——提出假設和猜想.數學的審美觀對學生思維活動的影響是潛在的、不易被覺察的，但這種審美情感卻是培養學生數學直覺的動力.

3.4"解題教學中的學法指導是開啟數學直覺的鑰匙

波利亞的名言：“掌握數學就是意味著善于解題”，可見數學的學習離不開數學解題.那么如何在解題教學中培養學生的數學直覺思維，從而提高學生的數學解題能力呢？筆者認為在解決問題的過程中，可以引導學生先對問題做整體分析，構建數學模型，再由表及里，揭示問題的實質.根據學生的認知規律，教師在解題教學中要有意識地訓練學生動腦思考、動手操作、動口表達相結合的能力.

3.4.1"解題注重整體性原則

直覺往往是面對問題的第一反應，直接由條件信息轉化為與之等價的簡單命題，對問題從總體上加以把握.運用直覺思維的整體性原則，可以使復雜問題簡單化.

例2"已知1+sinxcosx=-12，那么cosxsinx-1的值為"""".

分析：若該題利用二倍角公式將條件轉化為sinx2+cosx22cos2x2-sin2x2=sinx2+cosx2cosx2-sinx2=tanx2+11-tanx2=-12，通過求出tanx2的值，再利用同樣的方法轉化目標函數，最后由tanx2的值算出結果，此法顯然比較麻煩.但是直覺上告訴我們，1+sinxcosx與cosxsinx-1有關系.如果從整體上加以觀察和分析會發現，1+sinxcosx·sinx-1cosx=-1，于是迅速得出cosxsinx-1=12.

3.4.2"一般問題特殊化原則

在具體教學過程中教師還可以設置一些填空題，由于只要填寫正確運算結果，省略詳細解題過程，容許合理的猜想，有利于數學直覺思維的發展.

例3"過拋物線y=ax2（agt;0）的焦點F作一條直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF，FQ的長度分別為p，q，則1p+1q="""".

分析：本題如果采用一般方法來處理，有一定的運算量.考慮到題目是個填空題，從形式上看答案應該是一個定值，所以在解題過程中，我們不妨采用取特殊位置的方法，既可以減少運算量，又能迅速得到正確的答案.

當然并不是所有的填空題都能用特殊化的方法來處理.所以，在教學過程中教師需要培養學生這方面的直覺，到底怎樣的問題可以特殊化處理.在處理問題的過程中能產生這樣的直覺，筆者認為也是一種思維的飛躍.

3.4.3"選擇開放性問題教學

選擇開放性問題教學也是促進直覺思維形成的有效途徑.開放性問題的特點通常表現為條件或結論不夠明確，可以從多個角度尋找解題方法，猜想問題答案，并且因為答案的發散性，導致答案的不唯一性.通過這類問題的訓練有利于直覺思維能力的培養.

例4"已知a，b，m都是正數，并且alt;b，求證：ablt;a+mb+m.

這個例題不少數學教師都講過.假設有b克糖水，其中溶解了a克糖，那么ab就表示糖水的濃度，現在往糖水中再加入m克糖，糖水變甜，這就是原不等式的現實意義.但如果就到此為止，一個鍛煉直覺思維能力的機會就錯過了.筆者在教學中將這個例題嘗試改成了一個開放性問題——除了上述不等式，還可以得到哪些結論？以下是課堂上部分學生思考的結果.

（1）若a，b，m都是正數，并且alt;b，則a-mb-mlt;ab.

（2）若a，b，m，n都是正數，并且alt;b，nlt;m，則a+nb+nlt;a+mb+m.

（3）將兩杯濃度不一樣ablt;cd的糖水混合，得到糖水的濃度介于兩種濃度之間，即ablt;a+cb+dlt;cd.

可見，一個常見的例題，只要我們把它用好，同樣可以起到培養學生直覺思維能力的作用.近年來，各地模擬題和高考題中這樣的開放題層出不窮，在教學中適當把這些問題歸類講評，對于發展學生的數學直覺思維大有裨益.

反思我們的教育理念和目的、教學模式和方法，在數學教學中應以直覺與邏輯并重，將直覺與猜想引入課堂，通過創設問題情境，營造平等、開放、融洽的學習氛圍，激發學生的直覺思維和學習興趣，讓數學教學真正成為數學思維活動的教學，開闊視野，活躍思維，不斷培養學生的創新意識和能力，激發學生的學習興趣，才能更好地推進素質教育，實現新的課程改革的目的.

參考文獻

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