圓錐曲線中的最值問題探究

摘"要：圓錐曲線中的最值問題一直是高考命題中的一個重點題型，具有較好的選拔性與區分度.結合圓錐曲線實例，就最值問題突破的一些常見思維視角，結合參數范圍、基本不等式、函數單調性、平面幾何知識加以應用，總結規律，歸納技巧方法與策略，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：圓錐曲線；最值；范圍；基本不等式；函數

圓錐曲線中的最值問題是考查數學知識與數學能力的重點問題之一，倍受各方關注，本文介紹了四種解決圓錐曲線最值問題的基本策略，為教師提供教學參考和建議.

1"結合參數范圍求解最值

例1"（2023年湖南省懷化市高考數學二模試卷）如圖1所示，橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點.|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，滿足M·m=34a2.

（1）求該橢圓的離心率.

（2）設線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，O是坐標原點.記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，求2S1S2S21+S22的取值范圍.

解析：（1）設F（－c，0）（c＞0），則根據橢圓性質得M=a+c，m=a－c，而M·m=34a2，所以有a2－c2=34a2，即a2=4c2，即a=2c，因此橢圓的離心率為e=ca=12.

（2）由（1）可知，a=2c，則b=a2-c2=3c，故橢圓的方程為x24c2+y23c2=1.

根據條件可知，直線AB的斜率一定存在且不為零，設直線AB的方程為y=k（x+c），并設A（x1，y1），B（x2，y2），則由y=k（x+c），

x24c2+y23c2=1，消去y并整理，得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2－12c2=0，從而有x1+x2=－8ck24k2+3，y1+y2=k（x1+x2+2c）=6ck4k2+3，所以G－4ck24k2+3，3ck4k2+3.

設D（xD，0），由DG⊥AB，得3ck4k2+3-4ck24k2+3-xD·k=－1，可得xD=－ck24k2+3.

易證Rt△FGD∽Rt△EOD，則S1S2=GD2OD2=-4ck24k2+3+ck24k2+32+3ck4k2+32-ck24k2+32=9+9k2＞9.

令S1S2=t，則t＞9，從而2S1S2S21+S22=2t+1t＜29+19=941，即2S1S2S21+S22的取值范圍是0，941.

總結提煉：解決此類結合參數范圍求解圓錐曲線中的最值問題時，尋找不等關系的突破口是關鍵，切入點主要包括以下方面.①利用判別式來構造不等式，從而確定所求范圍；②利用已知參數的取值范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數之間建立相等關系；③利用隱含的不等關系，從而求出所求范圍；④利用已知不等關系構造不等式，從而求出所求范圍.

2"利用基本不等式求解最值

例2"（2023年吉林省吉林市高考數學第二次調研試卷）在平面內，動點M（x，y）與定點F（2，0）的距離和它到定直線l：x=12的距離比是常數2.

（1）求動點M的軌跡方程.

（2）若直線m與動點M的軌跡交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標原點），求|OP|2+|OQ|2的最小值.

解析：（1）由已知可知，（x-2）2+y2x-12=2，整理化簡，可得3x2－y2=3，即x2－y23=1.

所以動點M的軌跡方程為x2－y23=1.

（2）由OP⊥OQ，可設直線OP的方程為y=kx，直線OQ的方程為y=－1kx，由y=kx，

3x2-y2=3，得x2=33-k2

y2=3k23-k2，所以|OP|2=x2+y2=3（1+k2）3-k2，同理可得|OQ|2=3（k2+1）3k2-1.

又由|OP|2＞0且|OQ|2＞0，可得13＜k2＜3，所以1｜OQ｜2

+1｜OP｜2=3-k2+3k2-13（1+k2）=23，由基本不等式有｜OP｜2+｜OQ｜2=32（|OP|2+|OQ|2）·1｜OQ｜2+1｜OP｜2=322+｜OP｜2｜OQ｜2+｜OQ｜2｜OP｜2≥32（2+2）=6，當且僅當|OP|=|OQ|=3時等號成立，所以|OP|2+|OQ|2的最小值為6.

總結提煉：解決此類利用基本不等式求解圓錐曲線中的最值問題時，關鍵在于將函數關系式或代數式等價變形為兩項和或積的形式，然后利用基本不等式求出最值即可達到目的.

3"借助函數單調性求解最值

例3"（2023年廣東省廣州市番禺區象賢中學高三（上）段考數學試卷）已知拋物線E：y2=2px（p＞0），點Q14，m為E上一點，且Q到E的準線的距離等于其到坐標原點O的距離.

（1）求E的標準方程.

（2）設AB為圓（x+2）2+y2=4的一條不垂直于y軸的直徑，分別延長AO，BO交E于C，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值.

解析：（1）設拋物線的焦點為Fp2，0，由題意知，|QO|=|QF|，故p2=2×14，解得p=1，故拋物線E的標準方程為y2=2x.

（2）由題意，直線AC斜率存在且不為0，設直線AC的方程為y=kx，設點A（x1，y1），C（x2，y2），聯立y=kx，

（x+2）2+y2=4，得（k2+1）x2+4x=0，由x1≠0，得x1=－4k2+1.

聯立y=kx，

y2=2x，得k2x2－2x=0，由x2≠0，得x2=2k2，可得|AC|=k2+1|x2－x1|=2（3k2+1）k2k2+1."

易知AC⊥BD，用－1k代替k，得|BD|=23k2+11k21k2+1=2（k2+3）｜k｜k2+1.故四邊形ABCD的面積S=12|AC|·|BD|=2（3k2+1）（k2+3）｜k｜（k2+1）=6k2+6k2+20｜k｜+1｜k｜.

令|k|+1｜k｜=t（t≥2），則S=6t2+8t=6t+8t，設函數f（t）=6t+8t（t≥2），則f′（t）=6－8t2=6t2-8t2＞0，故f（t）單調遞增.故當t=2，即|k|=1時，S取到最小值16，所以四邊形ABCD面積的最小值是16.

總結提煉：解決此類借助函數單調性求解圓錐曲線中的最值問題時，解題的關鍵在于根據已知條件設出自變量，構造目標函數，利用二次函數或函數求導等可分析函數的單調性，從而確定最值或范圍.

4"通過平面幾何知識求解最值

例4"（2024屆安徽省皖東名校聯盟體高三上學期9月第二次質量檢測數學試題）如圖2所示，橢圓Г：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點為F，離心率為e，點P是橢圓Г上第一象限內任意一點，且tan∠POFlt;1，FQ⊥OP，OQ=λOP（λgt;0）.若λgt;e，則離心率e的最小值是"""".

解析：設A，B分別為橢圓Г的右頂點和上頂點，過點A作直線OP的垂線，垂足為M（圖略）.

若AP⊥OP，則有｜OQ｜｜OP｜=｜OF｜｜OA｜=ca=e，則曲線段AP上的點P1滿足｜OQ｜｜OP1｜gt;e，曲線段BP上的點P2滿足｜OQ｜｜OP2｜lt;e.

由于點P是橢圓Г上第一象限內任意一點，且tan∠POFlt;1，則知∠POF∈0，π4，此時滿足｜OQ｜｜OP｜gt;e，則當∠POF=π4時，｜OQ｜｜OP｜≥e，即點M在橢圓Г上或橢圓Г外.

而當∠POF=π4時，Ma2，a2，則有a24a2+a24b2≥1，解得a2b2≥3，則0＜b2a2≤13.

所以e=ca=1-b2a2≥1-13=63，即離心率e的最小值為63.

總結提煉：解決此類通過平面幾何直觀求解圓錐曲線中的最值問題時，抓住平面幾何圖形的直觀性質是解決最值問題的關鍵，利用圓錐曲線的定義、幾何性質加以轉化，合理利用平面幾何中的定理、性質等相關知識來求解最值.

圓錐曲線中的最值問題，可以較好地將解析幾何知識與其他相關的知識加以交匯與融合，具有較好的綜合性與應用性.在實際解題與應用過程中，關鍵在挖掘題目條件與實質，從函數與方程視角、不等式視角以及平面幾何視角等切入，或單一應用，或多方法綜合，實現最值問題的求解與突破，有效提升數學能力與培養數學核心素養.

參考文獻

［1］楊文金.圓錐曲線綜合題的解答思路與方法分類例說［J］.教學考試，2021（11）：14-19.

［2］練中彬.圓錐曲線中最值或取值范圍問題的突破［J］.中學生數理化（高考數學），2023（4）：41-43.